1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）下列两个变量具有正相关关系的是（）A正方形面积与边长B吸烟与健康C数学成绩与物理成绩D汽车的重量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程2（5分）已知随机变量满足E（）2，则E（2+3）（）A2B4C6D73（5分）圆5cos5sin的圆心的极坐标是（）A（5，）B（5，）C（5，）D（5，）4（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（）A（1，2）B（2，1）C（3，2）D（3，2）5（5分）极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）ABCD6（5分）已知随机变量服从正
2、态分布N（，2），若P（2）P（6）0.1，则P（24）为（）A0.7B0.5C0.4D0.357（5分）已知P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到xy40的距离的最大值为（）ABCD8（5分）若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是（）A14B14C7D79（5分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）A0.2B0.3C0.4D0.510（5分）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”
3、，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”若所出的拳相同，则为和局小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（）ABCD11（5分）已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则E（）ABCD12（5分）已知双曲线1（a，b0）的左右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2b2与双曲线在第一象限内的交点为M，若|M
4、F1|3|MF2|，则该双曲线的离心率为（）A2B3CD二填空题（每题5分，共20分）13（5分）将极坐标（2，）化为直角坐标为 14（5分）曲线x2+y21经过伸缩变换后对应的图形的方程是 15（5分）参数方程（为参数）表示的普通方程是 16（5分）已知函数，x（0，+），当x2x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为（0），且过点M（0，1）以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos（1）求直线l的参数方程（设t为
5、参数）与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l经过点（1，0），且与曲线C相交于A，B两点，求+的值18（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）（）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（）若射线与曲线C有两个不同的交点A，B，求的取值范围19（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表月收入（单位百元）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数4812521（）由以上统计数据填下面2乘2
6、列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成ac不赞成bd合计（）若对在15，25），25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列及数学期望参考公式：，其中na+b+c+d参考值表：P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）某发电厂新引进4台发电机，已知每
7、台发电机一个月中至多出现1次故障，且每台发电机是否出现故障时相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台发电机出现故障的概率为（1）若一个月中出现故障的发电机台数为X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力，每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生2万元的利润，否则将不产生利润，若该发电厂现有2名工人，要使该发电厂每月获利的均值不少于6万元，则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元？21（12分）已知曲线的左右顶点是A、B，点M是曲线C上异于A、B两点的动点且M关于x轴的对称点是N（1）若直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，求证：（2）若曲线C
8、：y22px的焦点F是曲线C的右焦点，过点F的直线l分别交曲线C和曲线C于P、Q和R、H，APQ与ARH面积分别为S1，S2，求的最大值22（12分）已知函数（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln22018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）下列两个变量具有正相关关系的是（）A正方形面积与边长B吸烟与健康C数学成绩与物理成绩D汽车的重量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程【分析】相关关系是一种不确定关系，故A不正确，B两者呈负相关，C成相关关
9、系，D负相关【解答】解：正方形的面积与边长是函数关系，A选项错误；吸烟越多，越不健康，所以吸烟与健康具有负相关，B选项错误；数学成绩越好，物理成绩也会越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系，C正确汽车越重，毎消耗1汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的重量与汽车毎消耗1汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，D选项错误；故选：C【点评】这个题目考查了相关关系的概念以及负相关的概念，属于基础题2（5分）已知随机变量满足E（）2，则E（2+3）（）A2B4C6D7【分析】利用线性随机变量的期望公式求出E（2+3）的值【解答】解：因为随机变量满足E（）2，则E（2+3）2E+37故选：D【点评】本题考
10、查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据变量符合二项分布，这样题目的解题过程要简单的多3（5分）圆5cos5sin的圆心的极坐标是（）A（5，）B（5，）C（5，）D（5，）【分析】先在极坐标方程5cos5sin的两边同乘以，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cosx，siny，2x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得【解答】解：将方程5cos5sin两边都乘以p得：p25cos5sin，化成直角坐标方程为x2+y25x+5y0圆心的坐标为（，）化成极坐标为（5，）故选：A【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和
11、平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（）A（1，2）B（2，1）C（3，2）D（3，2）【分析】求出直线的普通方程，代入各点坐标验证即可【解答】解：两式相加得直线的普通方程为x+y1，显然（3，2）不符合方程x+y1故选：D【点评】本题考查了直线的参数方程，属于基础题5（5分）极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）ABCD【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：AOB|AB|故选：C【点评】本题考查了极坐标的应用、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知随机变量服从正态分布N（，2），
12、若P（2）P（6）0.1，则P（24）为（）A0.7B0.5C0.4D0.35【分析】随机变量服从正态分布N（，2），由P（2）P（6）0.1，得到曲线关于x4对称，根据曲线的对称性从而得到所求【解答】解：由P（2）P（6）0.1，可得4，且P（24），故选：C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题7（5分）已知P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到xy40的距离的最大值为（）ABCD【分析】根据题意，设P的坐标为（cos，sin），由点到直线的距离公式可得点P到xy40的距离d，变形可得d，由正弦函数的性质分析可得答案
13、【解答】解：根据题意，P（x，y）是椭圆上任意一点，设P的坐标为（cos，sin），则点P到xy40的距离d，当sin（+）1时，d取得最大值，故选：B【点评】本题考查参数方程的应用，注意点到直线的距离公式的应用，属于基础题8（5分）若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是（）A14B14C7D7【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：因为2n128，所以n7，则展开式的通项为Tr+1（2x）7r（）r（1）r27rx，令，解得r6，即则展开式中的系数是214，得解【解答】解：因为的展开式中二项式系数之和为128，所以2n128，所以n7，则二项式（2x）7的展开式的通项为Tr+
14、1（2x）7r（）r（1）r27rx，令，解得r6，即则展开式中的系数是214，故选：A【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题9（5分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（）A0.2B0.3C0.4D0.5【分析】由条件概率的求法得：，得解【解答】解：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）0.4，P（B）0.5，P（AB）0.2，
15、所以，故选：D【点评】本题考查了条件概率的求法，属基础题10（5分）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”若所出的拳相同，则为和局小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（）ABCD【分析】小华获胜有三种情况：小华连胜三局，小华前三局中两胜另一局不胜，第三局小华胜，小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜，由此能求出小华获胜的概率【解答】解：根据“石头”胜“剪
16、刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小华胜小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为，小华获胜有三种情况：小华连胜三局，概率为p1（）3，小华前三局中两胜另一局不胜，第三局小华胜，概率为：p2，小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜，概率为：p3，小华获胜的概率是pp1+p2+p3+故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（5分）已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
17、E（）ABCD【分析】先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用期望公式可求得数学期望【解答】解：的可能取值为2，3，42表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故P（2）3表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故P（2）4表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故P（2）所以E2+3故选：A【点评】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望如果离散型随机变量服从二项分布B（n，p），也可以直接利用公式Enp求解期望12（5分）已知双曲线1（a，b0）的左右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2b2与双曲线在第一象限内的交点为M，
18、若|MF1|3|MF2|，则该双曲线的离心率为（）A2B3CD【分析】由双曲线的定义可得|MF2|a，设M（m，n），m0，由双曲线的定义可得|MF2|（m）a，求得m，再由M满足双曲线的方程可得M的坐标，再由|OM|b，结合双曲线的a，b，c的关系，运用离心率公式可得所求值【解答】解：由双曲线的定义可得|MF1|MF2|2a，若|MF1|3|MF2|，则|MF2|a，设M（m，n），m0，由双曲线的定义可得|MF2|（m）a，可得m，又1，即n2b2（1），由|OM|b，可得：m2+n2+b2，由b2c2a2，化为c23a2，则e故选：D【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率
19、的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题二填空题（每题5分，共20分）13（5分）将极坐标（2，）化为直角坐标为（0，2）【分析】利用xcos，ysin即可得出直角坐标【解答】解：由x20，y22极坐标（2，）化为直角坐标为（0，2）故答案为：（0，2）【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）曲线x2+y21经过伸缩变换后对应的图形的方程是【分析】利用伸缩变换，可得xx，yy，代入x2+y21，即可得出结论【解答】解：，xx，yy，x2+y21，故答案为：【点评】本题考查伸缩变换，考查圆的方程，比较基础15（5分）参数方程（为参数）表示的普通方程
20、是y2x21（x，1y）【分析】分别计算x2，y2，两式相减消去参数即可得到普通方程，根据三角函数的性质求出x，y的范围【解答】解；，x2sin2+cos2+2sincos1+siny22+siny2x21sin1，1，1+sin0，2，2+sin1，3x.1故答案为：y2x21（，1y）【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，求出x，y的范围是关键16（5分）已知函数，x（0，+），当x2x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（，【分析】根据题意可得函数g（x）xf（x）exax2在x（0，+）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：x（0，+），x1f（x
21、1）x2f（x2）即函数g（x）xf（x）exax2在x（0，+）时是单调增函数则g（x）ex2ax0恒成立2a，令，则，x（0，1）时m（x）0，m（x）单调递减，x（1，+）时m（x）0，m（x）单调递增，2am（x）minm（1）e，实数a的取值范围为（，故答案为：（，【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为（0），且过点M（0，1）以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为si
22、n24cos（1）求直线l的参数方程（设t为参数）与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l经过点（1，0），且与曲线C相交于A，B两点，求+的值【分析】（1）直线l的参数方程为（为参数），由sin24cos得2sin24cos，得曲线C的直角坐标方程为：y24x（2）若直线经过（1，0），M（0，1）则直线的斜率k1，倾斜角为，直线l的参数方程为，然后利用参数的几何意义可得【解答】解：（1）直线l的参数方程为（为参数），由sin24cos得2sin24cos，得曲线C的直角坐标方程为：y24x（2）若直线经过（1，0），M（0，1）则直线的斜率k1，倾斜角为，直线l的参数方程为，将其代入y24x
23、得t2+6t+20，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t26，t1t22，+3【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题18（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）（）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（）若射线与曲线C有两个不同的交点A，B，求的取值范围【分析】（）将所给的参数方程消去参数即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；（）联立（）中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确定+的取值范围【解答】解：（）曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y）21，即x2
24、+y2+2x2+30，又x2+y22，xcos，ysin曲线C的极坐标方程为2+2（cos）+30（）把代入0得2+2（cos+30设A（1，），B（2，）则1+22（，123所以+sin（），又射线与曲线C有两个不同的交点A，B，）1，+，的取值范围为（，【点评】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力属中档题19（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表月收入（单位百元）15，25）25，35）35，45）4
25、5，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数4812521（）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成ac不赞成bd合计（）若对在15，25），25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列及数学期望参考公式：，其中na+b+c+d参考值表：P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.072
26、2.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（）根据数据统计，可得22列联表，利用公式计算K2，与临界值比较，即可得到结论；（）确定所有可能取值，计算相应的概率，即可得到的分布列与期望值【解答】解：（）22列联表月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a3c2932不赞成b7d1118合计104050没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异（6分）（）所有可能取值有0，1，2，3，P（0）P（1）+P（2）+P（3），所以的分布列是0123P所以的期望值是E0+1+2+3 （12分）【点评】本题考查概率与统计知识，考查独立
27、性检验的运用，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确计算概率是关键20（12分）某发电厂新引进4台发电机，已知每台发电机一个月中至多出现1次故障，且每台发电机是否出现故障时相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台发电机出现故障的概率为（1）若一个月中出现故障的发电机台数为X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有维修1台发电机的能力，每台发电机不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生2万元的利润，否则将不产生利润，若该发电厂现有2名工人，要使该发电厂每月获利的均值不少于6万元，则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为多少万元？【分析】（1）根据古典概型概率公式求得概率和分布列；（
28、2）设该发电厂每月需支付给每位工人的工资为y万元，该发电厂每月获利为万元，写出分布列算出期望后解不等式可得【解答】解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，P（X0）（1）4，P（X1）C（1）3，P（X2）C（）2（1）2，P（X3）C（）3（1），P（X4）（）4，X的分布列为： X 0 12 3 4 P （2）设该发电厂每月需支付给每位工人的工资为y万元，该发电厂每月获利为万元，则的分布列为： 8 8y 82y 62y 42y P E8+（8y）+（82y）+（62y）+（42y）6，解得y2要使该发电厂每月获利的均值不少于6万元，则该发电厂每月需支付给每位工人的工资最多为2万元
29、【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题21（12分）已知曲线的左右顶点是A、B，点M是曲线C上异于A、B两点的动点且M关于x轴的对称点是N（1）若直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，求证：（2）若曲线C：y22px的焦点F是曲线C的右焦点，过点F的直线l分别交曲线C和曲线C于P、Q和R、H，APQ与ARH面积分别为S1，S2，求的最大值【分析】（1）设M（m，n），N（m，n），可得，n2，k1k2（2）曲线C：y24x，F（1，0）设直线l：xty+1分别联立椭圆、抛物线方程，求得 PQRH则即可【解答】证明：（1）设M（m，n），N（m，n），则，可得，n2，k1k2（2
30、）曲线C：y22px的焦点F是曲线C的右焦点，曲线C：y24x，F（1，0）设直线l：xty+1P（x1，y1），Q（x2，y2）（3t2+4）y2+6ty90y1+y2，PQR（x3，y3），H（x3，y3）y24ty40，x3+x4t（y3+y4）+24t2+2，RH则即当且仅当直线l垂直x轴时，最大值为【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆、抛物线的相交弦问题，属于中档题22（12分）已知函数（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln2【分析】（I）先求出f（x）的定义域，对f（x）进行求导，求出f（x）的导数，令f（x）0，求
31、出极值点，利用导数研究函数的单调性；（II）根据第一问知道函数的单调性，可得方程f（x）0的两个根为x1，x2，代入f（x1）+f（x2），对其进行化简，可以求证f（x1）+f（x2）的最小值大于32ln2即可；【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，），f（x）2ax+1a0，设g（x）2ax2+x1，18a，（1）当a，0，g（x）0，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上递减，（2）当0a时，0，f（x）0可得x1，x2，若f（x）0可得x1xx2，f（x）为增函数，若f（x）0，可得0xx1或xx2，f（x）为减函数，函数f（x）的减区间为（0，x1），（x2，+）；增区间为（x
32、1，x2）；（II）由（I）当0a，函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1+x2，x1x2，f（x1）+f（x2）lnx1ax12+x1lnx2ax22+x2ln（x1x2）a（x12+x22）+（x1+x2）ln（x1x2）a（x1+x2）2+2ax1x2+（x1+x2）lna+2aln（2a）+1lna+ln2+1设h（a）lna+ln2+1，h（a）0（0a），所以h（a）在（0，）上递减，h（a）h（）ln+ln2+132ln2，所以f（x1）+f（x2）32ln2；【点评】此题主要考查利用导数研究函数的最值问题及其应用，第二问是一道证明题难度比较大，考查了学生的计算能力，是一道中档题；
