1、3.1.3两角和与差的正切学习目标1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件 两角和的正切Ttan()，均不等于k(kZ)两角差的正切Ttan()，均不等于k(kZ)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T的变形：tan tan tan()(1tan tan ).tan tan tan tan tan()tan().tan tan 1.(2)T的变形：tan tan tan()(1tan tan ).tan tan
2、tan tan tan()tan().tan tan 1.1.对于任意角，总有tan() .()提示公式成立需，均不等于k，kZ.2.使公式tan()有意义，只需，k(kZ)即可.()提示还应使k，kZ.3.若，均不等于k，kZ，则tan()tan tan tan tan tan()恒成立.()4.k，且k，kZ时，tan.()题型一正切公式的正用例1(1)已知tan 2，tan()，则tan 的值为 .答案3解析tan tan()3.(2)已知，均为锐角，tan ，tan ，则 .答案解析因为tan ，tan ，所以tan()1.因为，均为锐角，所以(0，)，所以.反思感悟(1)注意用已知角
3、来表示未知角.(2)利用公式T求角的步骤：计算待求角的正切值.缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1设tan ，tan 是方程x23x20的根，则tan()的值为()A.3 B.1 C.1 D.3答案A解析由题意知tan tan 3，tan tan 2，所以tan()3.题型二正切公式的逆用例2(1) ；(2) .答案(1)(2)1解析(1)原式tan(4515)tan 60.(2)原式tan(3075)tan 451.反思感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变
4、角”的提示.跟踪训练2求下列各式的值.(1)；(2).解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式.题型三正切公式的变形使用例3(1)化简：tan 23tan 37tan 23tan 37；(2)若锐角，满足(1tan )(1tan )4，求的值.解(1)方法一tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.方法二tan(2337)，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.
5、(2)(1tan )(1tan )1(tan tan )3tan tan 4，tan tan (1tan tan )，tan().又，均为锐角，0180，60.反思感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan .当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3在ABC中，AB，且tan Atan Btan Atan B，则角C的值为()A. B. C. D.答案A解析tan Atan Btan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)(ta
6、n Atan B1)，若1tan Atan B0，则cos Acos Bsin Asin B0，即cos(AB)0.0AB，AB，与题设矛盾.由得tan(AB)，即tan C.又0C，C.和、差角公式的综合应用典例已知tan，tan，则tan .答案素养评析借助和、差角公式，将要求代数式与已知条件建立联系，需要具备较好的运算能力，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1.若tan 3，tan ，则tan()等于()A. B. C.3 D.3答案A解析tan().2.已知cos ，且，则tan等于()A. B.7 C. D.7答案D解析由cos ，且，得sin ，所以tan .所以tan7.故选
7、D.3.已知AB45，则(1tan A)(1tan B)的值为()A.1 B.2C.2 D.不确定答案B解析(1tan A)(1tan B)1(tan Atan B)tan Atan B1tan(AB)(1tan Atan B)tan Atan B11tan Atan Btan Atan B2.4.已知A，B都是锐角，且tan A，sin B，则AB .答案解析B为锐角，sin B，cos B，tan B，tan(AB)1.又0AB，AB.5.已知3，tan()2，则tan(2) .答案解析由条件知，3，则tan 2.tan()2，tan()2.故tan(2)tan().1.公式T的结构特征和符号规律(1)公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.应用公式T时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，(或)的终边不能落在y轴上，即不为k(kZ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 1，tan ，tan 等.特别要注意tan，tan.(3)公式的变形应用只要用到tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式T的意识，就不难想到解题思路.特别提醒：tan tan ，tan tan ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
