1、一、分类讨论思想,-2-,从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.,-3-,1.分类讨论的思想含义 分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 2.分类讨论的原则 (1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分
2、明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.,-4-,应用一 由数的概念引起的分类讨论,答案,解析,-5-,答案,解析,-6-,应用二 由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论 例2设等比数列an的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是( ),答案,解析,-7-,思维升华 1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数
3、函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. 2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.,-8-,对点训练2(2019湖南高三高考冲刺预测卷,理9)已知抛物线x2=2y上一点P到焦点F的距离为1,M,N是直线y=2上的两点,且|MN|=2,MNP的周长是6,则sinMPN=( ),答案,
4、解析,-9-,应用三 根据字母的取值情况分类 例3(2019安徽皖西南名校高三联考,理21)已知函数f(x)=ex,g(x)=2asin x-be-x(a,bR). (1)当a=0时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值点; (2)当b=-1时,若f(x)g(x)对一切x(0,)恒成立,求实数a的取值范围.,-10-,-11-,(2)当b=-1时,f(x)g(x)可化为ex2asin x+e-x,即ex-e-x-2asin x0. 令p(x)=ex-e-x-2asin x. 当a0时,对于一切x(0,),有ex-e-x0,-2asin x0, 所以p(x)0恒成立. 下面考虑a0时的情况
5、. p(x)=ex+e-x-2acos x. 当0a1时,对于一切x(0,),有ex+e-x2,2acos x2,所以p(x)0恒成立,-12-,思维升华 含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.,-13-,对点训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是( ) C.(-,0) D.(0,+),答案,解析,-14-,1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等. 2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.,
