1、一、函数与方程思想,-2-,函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识从知识运用的交汇处,从思想方法和相关能力的结合处进行考查.,-3-,1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决. 2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 3.函
2、数思想与方程思想的联系: 函数思想与方程思想密切相关,对于函数y=f(x),当y=0时,转化为方程f(x)=0,也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0. 函数与方程的问题可相互转化.求方程f(x)=0的解就是求函数y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题.,-4-,应用一 函数思想与方程思想的转换 例1设函数f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,bR,a0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当a0 B.当a0,
3、y1+y20时,x1+x20时,x1+x20,y1+y20,答案,解析,-5-,思维升华 求两个函数f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数F(x)的零点问题也可以转化为两个函数的交点问题.,-6-,对点训练1(2019湖南怀化高三一模,文12)已知函数f(x)=|ln x|-ax(x0,0e,答案,解析,-7-,应用二 函数与方程思想在解三角形中的应用 例2为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1 m,且AC比AB长 m,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( ),答案,解析,-8-,思维升华
4、 函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.,-9-,答案,解析,-10-,应用三 函数与方程思想在不等式中的应用,答案,解析,-11-,思维升华 1.在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题. 2.函数f(x)0或f(x)0或f(x)max0.已知恒成立求参数范围可先分离参数,再利用函数最值求解.,-12-,对点训练3(2019四川凉山高三二诊,文12)若x(0,+), x-ln x+a恒成立,则a的最大值为 ( ) A
5、.1 B. C.0 D.-e,答案,解析,-13-,应用四 函数与方程思想在数列中的应用 例4若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4,答案,解析,-14-,思维升华 因为数列是自变量为正整数的函数,所以根据题目条件构造函数关系,把求式子最小值问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.,-15-,对点训练4已知在数列an中,前n项和为Sn,且 最大值为( ) A.-3 B.-1 C.3 D.1,答案,解析,-16-,应用五 函数与方程思想在导数中的应用 例5(2019河北衡水高三模拟,文21)已知
6、函数f(x)=2ln x+ x2-ax, aR. (1)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+)上的单调增函数,求x0的值; (2)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点?并说明理由.,-17-,解 (1)依题意,切线方程为y=f(x0)(x-x0)+f(x0)(x00), 从而g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0)(x00). 记p(x)=f(x)-g(x),则p(x)=f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)在(0,+)上为单调增函数, 所以p(x)=f(x)-f(x0)0在(0,+)上恒成立,-18-,(2
7、)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),不妨设0x1x2,则在T1处切线l1的方程为y-f(x1)=f(x1)(x-x1), 在T2处切线l2的方程为 y-f(x2)=f(x2)(x-x2). 因为l1,l2为同一直线,所以,-19-,所以p(t)为(0,1)上的单调递减函数,所以p(t)p(1)=0. 从而式不可能成立,所以假设不成立,从而不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.,-20-,思维升华 本题第二步是通过假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2),分别写出T1,T2处
8、的切线方程l1,l2,消去一个变量x2,根据方程构造函数,利用导数研究函数的最小值大于零,否定假设,得出结论.根据导数的几何意义求解参数,一般都是解方程,构造新函数,然后利用导数研究函数的最值、极值等.,-21-,对点训练5(2019湖北高三调研,文12)已知函数 的图象上存在两个点关于y轴对称,则实数m的取值范围为( ) A.(1,+) B.(2,+) C.(1,2) D.(0,1),答案,解析,-22-,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面: (1)借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题; (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.,
