1、二、转化化归思想,-2-,转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.,-3-,1.转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法. 2.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则. 3.常见的转化与化归的方法 (1)直接转化法;(2)换元法;(
2、3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.,-4-,应用一 特殊与一般化,答案,解析,-5-,思维升华 1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略. 2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.,-6-,对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范
3、围是 .,答案,解析,-7-,应用二 命题等价化 例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,求a的取值范围.,而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线. 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象. 显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.,-8-,-9-,-10-,-11-,思维升华 所谓等价转化,是不改变命题的条件限制、将解方程或不等式(不等式组)在同解前提下变换为另一种形式的求解方法.注意变换时限制条件的等价转换.,-12-,对点训练2(1)(2019河
4、北衡水二中高三模拟,理4)已知定点P(2,0)及抛物线C:y2=2x,过点P作直线l与C交于A,B两点,设抛物线C的焦点为F,则ABF面积的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)(2019福建福州高三质检,理7)已知函数f(x)=x3-2ex2+mx-ln x,若f(x)x恒成立,则实数m的取值范围是( ),答案,解析,-13-,应用三 特殊与一般化 例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范围为 .,答案,解析,-14-,思维升华 在处理多变量的数学问题中,
5、在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.,-15-,对点训练3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为 .,答案,解析,-16-,应用四 函数、方程、不等式之间的转化,答案 t1,-17-,-18-,-19-,思维升华 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常将不
6、等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将不等式证明问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.,-20-,对点训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t-1,+),使得对任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.,-21-,解 因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0, 所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x. 所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+), 使得不等式t1+ln x-x对任意x1,m恒成立. 令h(x)=1+ln x-x(x1). 因为h(x)= -10,所以函数h(x)在1,
7、+)内为减函数. 又x1,m, 所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1. 且函数h(x)在1,+)内为减函数, 所以满足条件的最大整数m的值为3.,-22-,1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换. 2.转化与化归思想在解题中的应用 (1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化. (2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常
8、将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化. (3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解. (4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.,-23-,应用五 正难则反的转化 例5(2019河北井陉二中高三模拟,文5)若对于任意t1,2,函数 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是 .,答案,解析,-24-,思维升华 否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.,-25-,对点训练5(2019河北枣强中学六模,理14)安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为 .(用数字作答),答案,解析,
