1、第3讲 分类讨论思想,2.(2019全国,文20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当0a3时,记f(x)在区间0,1的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.,3.(2017全国,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)0,求a的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)
2、在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.,分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.,1.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如
3、等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数,对数式中对真数与底数的要求,指数运算中对底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.,(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.,2.
4、分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论. 3.解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象,即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论,即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结,将各类情况总结归纳.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,对应训练1,答案:2 101,考点1,考点2,考点3,由图形位置或形状引起的讨论 (2)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2,若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线的离心
5、率为 .,考点1,考点2,考点3,解析:(1)画出不等式组表示的平面区域(如图). 当x=-1时,1y2,有2个整点; 当x=0时,0y3,有4个整点; 当x=1时,-1y4,有6个整点; 当x=2时,-2y5,有8个整点; 所以平面区域内的整点共有2+4+6+8=20(个).,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,对应训练2 抛物线y2=4px(p0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若OPF为等腰三角形,则这样的P点的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案:C,考点1,考点2,考点3,由参数变化引起的分类讨论 例3已知函数f(x)=ex
6、-ax2. (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a. 解:(1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,对应训练3 已知函数f(x)=ln x-ax,aR. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)存在两个零点x1,x2,使ln x1+ln x2-m0,求m的最大值.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,当m1时,h(t)在(0,1)上单调递增,所以当0h(0)=1,所以g(t)0, g(t)在(0,1)上单调递增,所以g(t)0在(0,1)上恒成立,所以g(t)0, g(t)在(0,1)上单调递增,所以g(t)2时,h(t)在(0,1)上单调递减,因为h(0)=1,h(1)=4-2m0,g(t)0;当t(t0,1)时,h(t)g(1)=0, 所以g(t)0在(0,1)上不恒成立. 综上所述,m的取值范围是(-,2,所以m的最大值为2.,
