2019年高考数学教师版(含解析)之分类讨论思想、转化与化归思想
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1、分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类,如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列a n的前 n 项和公式等,然后分别对每类问题进行解决.解 决此问题可以分解为三个步骤:分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例 1.若一条直线过点(5,2),且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这条直线的方程为( )A.xy70B.2x5y0C.xy70 或 2x5y0D.xy70 或 2y5x0例 2. 已知 Sn为数列a n的前 n 项和,且 Sn2a n2,则 S5S 4的值为 ( )A
2、.8 B.10 C.16 D.32来源:例 3.已知集合 A ,Bx|mx 10,mR,若 ABB,则所有符合条件的实 1,12数 m 组成的集合是( )A.0,1,2 B.12, 0, 1C.1,2 D. 1, 0,12例 4.设函数 f(x)Error!若 f(1)f(a)2,则实数 a 的所有可能取值的集合是_.题型二、图形位置、形状分类整合来源:图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论,这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.例 5.已知正三 棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为( )A.
3、 B.4 C. D.4 或8 33 3 2 39 3 8 33例 6.已 知变量 x,y 满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数 k 等于( )A. B. C.0 D.0 或12 12 12例 7.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F 2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|F 1F2|PF 2|432,则曲线 C 的离心率为_.例 8.抛物线 y24px(p0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若OPF 为等腰三角形,则这样的点 P 的个数为_.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题, 由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需对参
4、数进行讨论,如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准,讨论中做到不重不漏,结论整合要周全.例 9.已知实数 a,x,a0 且 a1,则“a x1”的充要条件为( )A.01,x0 C.(a1)x0 D.x0例 10.若函数 f(x)ax 24x3 在0,2上有最大值 f(2),则实数 a 的取值范围为( )A.(,1 B.1,)C.(,0) D.(0,)例 11.设函数 f(x)x 2axa3, g(x)ax2a,若存在 x0R,使得 f(x0)0)的焦点 F,作一直线交抛物线于 P,Q 两点.若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p,q,则 等于( )
5、1p 1qA.2a B. C.4a D. 来源:Z+xx+k.Com12a 4a例 3.已知函数 f(x)(a3 )xax 3在1,1上的最小值为3,则实数 a 的取值范围是( )A.(,1 B.12,)C.1,12 D.32, 12例 4.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等差数列,则_.cos A cos C1 cos Acos C五、命题的等 价转化将 题目已知条件或结论进行转化,使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化,让题目得以解决.一般包括数与形的转化,正与反的转化,常量与变量的转化,图形形体及位置的转化.例5.由命题“存在 x0R,使 0|1
6、exm0”是假命题,得 m 的取值范围是(,a),则实数a 的值是( )A.(,1) B.(,2)C.1 D.2例 6.如图所示,已知三棱锥 PABC,PABC2 ,PBAC10,PCAB2 ,则三34 41棱锥 PABC 的体积为( )A.40 B.80C.160 D.240例 7.对于满足 0p4 的所有实数 p,使不等式 x2px4xp3 成立的 x 的取值范围是_.例 8.如果实数 x,y 满足等式(x2) 2y 21,那么 的取值范围是_.y 3x 1题型六、 函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟” ,解决方程、不等式的问题需要函数的帮助,解决函数的问题需要
7、方程、不等式的协作.例 9.已知函数 f(x)lg ,若对任意 x2,),恒有 f(x)0,则实数 a 的取(xax 2)值范围是_.例 10.在平面直角坐标系 xOy 中,A(12,0),B(0,6),点 P 在圆 O:x 2y 250 上,若 20,则点 P 的横坐标的取值范围是_.PA PB 例 11.已知函数 f(x)x 33ax1,g(x)f(x)ax5,其中 f(x)是 f(x)的导函数.对满足1a1 的一切 a 的值,都有 g(x)0.若该曲线为椭圆,则有|PF 1|PF 2|6t2a,|F1F2|3t2c,e ;ca 2c2a 3t6t 12若该曲线为双曲线,则有|PF 1|P
8、F 2|2t2a,|F1F2|3t2c,e .ca 2c2a 3t2t 32综上,曲线 C 的离心率为 或 .12 32例 8.抛物线 y24px(p0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若OPF 为等腰三角形,则这样的点 P 的个数为_.答案 4解析 当|PO|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的位置有两个;当|OP|OF|时,点 P 的位置也有两个;对|FO|FP|的情形,点 P 不存在.事实上,F(p,0),若设 P(x,y),则|FO|p,|FP| ,x p2 y2若 p,则有 x22pxy 20,x p2 y2又y 24px,x 22px0,解得
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