1、微专题九立体几何中的动态问题解题策略立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜1去掉枝蔓见本质大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键例1如图1，直线l平面，垂足为
2、O.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.点A是直线l上的动点，点B1在平面内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为_图1答案2解析从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，从而OPOQQPAB122，当且仅当OQAB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面成45角2极端位置巧分析穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案例2在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与平面AC
3、D所成二面角的正弦值的取值范围是_答案解析本例可用极端位置法来加以分析先寻找垂直：记O为ACD的中心，G为OC的中点，则BO面ACD，EG面ACD.如图2，过点A，E，G的平面交直线BD于点F.此时，平面AEF与平面ACD所面二面角的正弦值为1.由图形变化的连续性知，当点F在直线BD的无穷远处时，看成EF和BD平行，此时平面AEF与平面ACD所成二面角最小(如图3)，其正弦值为.图2图3综上可知，平面AEF与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为.3用法向量定平面定海神针在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角例3在长方体ABCDA1
4、B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是_答案解析如图4，过点A作AEBD于点E，连接A1E，则A1EA.过点A作AHA1E于点H，则为平面A1BD的法向量，且A1AH.因为l与直线CC1所成角的大小为，即l与直线AA1所成角的大小为，那么l与直线AH所成角的取值范围为.又因为l与直线AH所成的角和l与平面A1BD所成的角互余，所以直线l与平面A1BD所成角的取值范围是.图44锁定垂面破翻折独挡一面在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的
5、核心例4如图5，在等腰RtABC中，ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段BM上一个动点(异于两端点)，ABD沿AD翻折至B1DDC，点A在平面B1CD上的投影为点O，当点D在线段BM上运动时，以下说法错误的是()图5A线段NO为定长BCO(1，)CAMOB1DA180D点O的轨迹是圆弧答案C解析如图6，记B2为B1在平面ADC上的射影，由B1DDC可得B2DDC.记B2D交AB于点K，则DC平面B1B2K.在B1DC中，作EMB1D交B1C于点E，连接AE，则平面AEM平面B1B2K，平面AEM平面B1DC，从而点A在平面B1DC上的射影O在直线EM上取AM的中点H，则N
6、HMC，OHAM，ON均为定长易知点O的轨迹是以点H为圆心、为半径的圆弧，因为CO2MO2MC2，且MO(0,1)，所以CO(1，)又AMOAME180，AMEB1DK，由最小角定理知B1DB2B1DA，于是AMOB1DA180.故选C.图65觅得定值明轨迹动中有静在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段例5如图7，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是O上的两个点，H是点B在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是()图7A圆B椭圆C抛物线D不是平面图形答案A解析如图8，设O的半径为r，取BC的中点M，则图8OMBC，MHMC.因为AB平面
7、BCD，所以BC是AC在平面BCD上的射影，从而OM平面ABC，得OMMH，于是OH2MO2MH2MO2MC2r2，即OHr，亦即动点H在以O为球心、r为半径的球面上又因为BHAD，B为定点，所以动点H又在过点B且垂直于直线AD的定平面上，故点H运动的轨迹是圆6构建函数求最值以数解形在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型(规律)的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形例6(2016浙江)如图9，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外一点P和线段AC上一点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_图9答案解析设M，N分别为AC，AP的
8、中点，因为BABPBC，PDDA，所以点B在平面PAC上的射影为PAC的外心O，且点O在直线ND上又因为ABBC2，ABC120，所以AC2，图10BO1，当且仅当点O与点M重合时取到等号设ADx，PDC，因为AC2，所以DC2x，则SPDCx(2x)sinx(2x)2，当且仅当点M与点D重合时取到等号因此，四面体PBCD的体积为VPBCDSPCDOB1，此时点O，M，D重合，即点D为AC的中点，且平面PBD与平面ABC垂直相交于BD.总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历5
