1、微专题六向量中数量积的最值经验分享在平面向量的问题中，存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”，通过对该类问题的多解探究，进一步提高分析、解决此类问题的能力题目(2018南通调研)如图1，已知AC2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BMBN，则的最大值为_答案解析方法一由题设可知ABBCBN1.因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AMBM，又BMBN，所以AMBN，若设MAB，则NBC.如题图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(1,0)，M(sin2，sincos)，C(1,0)，N(cos，sin)，所
2、以(sin21，sincos)(cos2，sincos)，(cos1，sin)于是，cos2(cos1)sin2coscos3cos2(1cos2)coscos2cos2.又易知00)，则因为BMBN，所以直线BM的方程为yx.注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将ykx与x2y21联立，可求得点N的坐标为.注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，所以将yx与2y2联立，可求得点M的坐标为.又点A(1,0)，C(1,0)，所以向量，所以2，故当，即k时，可得的最大值为.评注上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的斜率)，并借助直线和圆的方程，灵活求解点M，N的坐标，整
3、个求解过程显然比方法一增加了许多运算量方法三由题设可知ABBCBN1，因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AMBM，又BMBN，所以AMBN，所以|1cos0|.因为AMBM，AB1，所以|1cosMABcosMAB，所以|1cosMAB|2.于是，()|22.又0|1，所以，当|时，可得的最大值为.评注上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式ab|a|b|cos，将目标问题等价转化为求解关于“|”的二次函数在区间(0,1)上的最大值方法四如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连接CD，则易知AMMB，ADDC，所以BMCD，又B为AC的中点，图3所以M
4、为AD的中点，所以.又易知，且B为AC的中点，所以N为CE的中点，所以.于是，()0|cos0|.因为BN为ACE的中位线，所以|2|2.从而，|22，当且仅当|，即D为AE的中点时不等式取等号故所求的最大值为.评注上述求解过程的关键是巧作辅助线，充分利用相关平面几何知识，先获得和，然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基本不等式的变形式“ab2”加以灵活求解方法五如图4，以BC为直径画半圆，交BN于点D，连接CD，则BDCD.又易知AMBD，且AMBD，所以图4()0|cos0|22，当且仅当|，即D为BN中点时不等式取等号故所求的最大值为.评注上述求解过程的关键是巧作“半圆”，先将目标问题等价转化为求|的最大值，再灵活利用基本不等式的变形巧求最大值显然，该解法最简单，故值得我们细细品味、深思！综上，不同的思维切入点，往往可获得不同的解题体验，真可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，需要我们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技巧4
