1、微专题六向量中数量积的最值经验分享在平面向量的问题中,存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”,通过对该类问题的多解探究,进一步提高分析、解决此类问题的能力题目(2018南通调研)如图1,已知AC2,B为AC的中点,分别以AB,AC为直径在AC同侧作半圆,M,N分别为两半圆上的动点(不含端点A,B,C),且BMBN,则的最大值为_答案解析方法一由题设可知ABBCBN1.因为点M在以AB为直径的半圆上,所以AMBM,又BMBN,所以AMBN,若设MAB,则NBC.如题图2,建立平面直角坐标系xBy,则点A(1,0),M(sin2,sincos),C(1,0),N(cos,sin),所
2、以(sin21,sincos)(cos2,sincos),(cos1,sin)于是,cos2(cos1)sin2coscos3cos2(1cos2)coscos2cos2.又易知00),则因为BMBN,所以直线BM的方程为yx.注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点,所以将ykx与x2y21联立,可求得点N的坐标为.注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点,所以将yx与2y2联立,可求得点M的坐标为.又点A(1,0),C(1,0),所以向量,所以2,故当,即k时,可得的最大值为.评注上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的斜率),并借助直线和圆的方程,灵活求解点M,N的坐标,整
3、个求解过程显然比方法一增加了许多运算量方法三由题设可知ABBCBN1,因为点M在以AB为直径的半圆上,所以AMBM,又BMBN,所以AMBN,所以|1cos0|.因为AMBM,AB1,所以|1cosMABcosMAB,所以|1cosMAB|2.于是,()|22.又0|1,所以,当|时,可得的最大值为.评注上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式ab|a|b|cos,将目标问题等价转化为求解关于“|”的二次函数在区间(0,1)上的最大值方法四如图3,分别延长AM,CN,设其交点为E,并设ME与大半圆的交点为D,连接CD,则易知AMMB,ADDC,所以BMCD,又B为AC的中点,图3所以M
4、为AD的中点,所以.又易知,且B为AC的中点,所以N为CE的中点,所以.于是,()0|cos0|.因为BN为ACE的中位线,所以|2|2.从而,|22,当且仅当|,即D为AE的中点时不等式取等号故所求的最大值为.评注上述求解过程的关键是巧作辅助线,充分利用相关平面几何知识,先获得和,然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基本不等式的变形式“ab2”加以灵活求解方法五如图4,以BC为直径画半圆,交BN于点D,连接CD,则BDCD.又易知AMBD,且AMBD,所以图4()0|cos0|22,当且仅当|,即D为BN中点时不等式取等号故所求的最大值为.评注上述求解过程的关键是巧作“半圆”,先将目标问题等价转化为求|的最大值,再灵活利用基本不等式的变形巧求最大值显然,该解法最简单,故值得我们细细品味、深思!综上,不同的思维切入点,往往可获得不同的解题体验,真可谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,需要我们在学中“悟”,在“悟”中不断提升解题技巧4