1、8.4空间几何体的表面积与体积考情考向分析考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度1侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧ch，底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱柱体的体积公式是V柱体Sh.2如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱锥正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧ch；锥体的体积公式为V锥体Sh.3正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧(cc)h；台体的体积公式是V台体h(SS)4圆柱、圆锥、圆台的侧
2、面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是S圆柱侧cl2rl，圆锥的侧面积公式为S圆锥侧clrl，圆台的侧面积公式为S圆台侧(cc)l(rr)l.5若球的半径为R，则球的体积VR3，球的表面积S4R2.概念方法微思考1如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和2如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差(
3、)(3)锥体的体积等于底面积与高之积()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.()(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()题组二教材改编2P54T2把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为_答案4R解析设圆柱的高为h，则有R2h3R3，h4R.3P49T1已知正三棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长为3cm，则这个正三棱柱的侧面积是_cm2.答案54解析因为正三棱柱的高为6(cm)，所以侧面积为33654(cm2)4P54T3一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为5cm，则它的体积为_cm3.答案270解析体积
4、VSh6665270(cm3)题组三易错自纠5体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_答案12解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212.6已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_答案或解析设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l2a时，2ra，r，这时V圆柱2a2；当la时，2r2a，r，这时V圆柱a2.综上，该圆柱的体积为或.题型一求空间几何体的表面积1(2018全国改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为_
5、答案12解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.2若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4，则其侧棱长为_答案解析依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径设侧棱长为a，外接球的半径为r.由外接球的表面积为4，得r1，a2r2，a.3正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为_cm2.答案解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1cm，下底长为2cm，高为正六棱台的斜高又边长为1cm的正六边形的中心到各边的距离是cm，边长为2cm的正六边形的中心到各边的距离是cm，
6、则梯形的高为(cm)，所以正六棱台的侧面积为6(12)(cm2)思维升华求空间几何体表面积的注意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积例1(1)(2018宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_答案解析三棱锥PABA1的体积等于三棱锥BAPA1的体积，点B到面APA1的距离为，APA1的面积为，故三棱锥PABA1的体积为.(2)(2018南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC9
7、0，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为_答案解析几何体展开图如图所示：ABDACC1，AB1，BC2，BB13，AC3，CC13，BD1，则121.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解跟踪训练1(1)(2018江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是_答案解析由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的
8、边长为1，侧棱长也为1，该正四棱锥的高h，其体积V12.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_答案解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中点O，连结GO，易得GO，SAGDSBHC1，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC21.(3)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_答案1解析如题图，因
9、为ABC是正三角形，且D为BC中点，则ADBC.又因为BB1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱锥AB1DC1的高所以AD1.题型三表面积和体积的综合问题命题点1侧面展开图的应用例2(1)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_答案解析将直三棱柱ABCA1B1C1沿棱BB1展开成平面图形，连结AC1到AC1与BB1的交点即满足AMMC1最小，此时AC1，MC12，AM，cosAMC1，sinAMC1，2.(2
10、)(2018无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于_答案解析设圆锥侧面母线长为l，底面半径为r，圆锥高h2，V圆锥2.命题点2和球有关的表面积、体积问题例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_答案解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切
11、球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.思维升华 (1)侧面展开图体现的是一种转化思想用于寻找两种情况下图形长度或角度间的关系(2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径跟踪训练2(1)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有
12、两个动点E，F，且EF，则三棱锥BAEF的体积为_答案解析连结AC，BD，易知AC平面BDD1B1，则V三棱锥BAEFV三棱锥ABEFSBEFEFBB11.(2)(2018全国改编)设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为_答案18解析由等边ABC的面积为9，可得AB29，所以AB6，所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246，所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.1已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该
13、直四棱柱的侧面积为_答案16解析由题意得，直四棱柱的侧棱长为2，所以该直四棱柱的侧面积Scl42216.2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3cm，AD2cm，AA11cm，则三棱锥B1ABD1的体积为_cm3.答案1解析三棱锥B1ABD1的体积A1D13121.3设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若，则的值为_答案解析由，得ar，.4(2018南京学情调研)已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的高为_答案6解析设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长
14、为2r，从而它的高为r，由圆柱M与圆锥N的体积相等，得46r2r，解得r2，因此圆锥N的高hr6.5(2018南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_答案2解析设圆锥的底面半径为r，高为h，因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，且扇形的弧长等于底面圆的周长，故有2r3，解得r1，又圆锥的母线l3，所以h2.6现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_cm.答案解析圆锥的高为4cm，体积V圆锥32412(cm3)设球的半径为rcm，则r312，即r39，
15、所以r.7算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式Vl2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取_答案解析Vr2h2hl2h，由，得.8将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面，若这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1r2r3_.答案5解析半径为5的圆的周长是10，由题意知2r12r22r310，所以r1r2r35.9.如图
16、，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_答案8解析过点C作CDAB于点D，在正三角形ABC中，AB4，则CD2，因为CC1平面A1ABB1，则点F到平面A1ABB1的距离为2，所以2468.10(2018苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_答案3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面由题意，得r2r22rh，得rh.经检验，只有r3符合要求，此时在89的面上打孔11.如图，在三棱
17、锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，点M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积(1)证明AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)解AB平面BCD，ABBD.ABBD1，SABD.点M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.12.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥
18、PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积(1)证明由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD.又PDAPP，PD，AP平面PAD，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)解如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABAD，ABPE，ADABA，AD，AB平面ABCD，所以PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx，由ABCD，ABCD，ABAD，得四边形ABCD为矩形故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而PAPDABDC2，ADBCPBPC2，可得四棱锥
19、PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.13已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积为_答案解析设球O的半径为R，因为SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC，OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱锥OABCV三棱锥COABOCOAOBsinAOBR3sinAOB.14有一根长为3cm、底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕两圈，并使铁丝的两个端点落在
20、圆柱的同一母线的两端，则铁线的最短长度为_cm.答案5解析把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC3cm，AB4cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度AC5(cm)15已知A，B是球O的球面上两点，AOB150，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为18，则球O的表面积为_答案144解析如图，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大设球O的半径为R，此时VOABCVCAOBR2Rsin150R318，故R6，则球O的表面积为S4R2462144.16.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的
21、直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB4，EB2.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC，DCAC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCBCC，DC，BC平面BCDE，AC平面BCDE，ACDE，ACDCC，AC，DC平面ACD，DE平面ACD.(2)解由(1)可知BEAC，BEBC，又BCACC，AC，BC平面ABC，BE平面ABC，在RtABC中，ACx，BC(0x4)，SABCACBCx，V(x)V三棱锥EABCx(0x4)x2(16x2)264，当且仅当x216x2，即x2时取等号，当x2时，V(x)有最大值.15
