1、9.5圆与圆的位置关系及圆的应用考情考向分析考查圆与圆的位置关系的判断，两圆的公共弦和圆的实际应用问题，题型以填空题为主，有时可能出现解答题圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解概念方法微思考1两圆的公切线条数有几种情况提示有5种情况内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；
2、外离：4条2怎样得到两圆公共弦所在直线的方程？提示当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()题组二教材改编2P115例1圆C1：x2y22x0，圆C2：x2y24y0，则两圆的位置关系是_答案相交解析圆C1：(x1)2y21，圆C2：x2(y2)222，所以C1C2，且210)，点N为圆M上任意一点若
3、以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_答案3解析由题意，得圆N与圆M内切或内含，即MNON1ON2，又ON的最小值为OM1，所以OM3，3a3或a0，因此a的最小值为3.思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|.(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论跟踪训练1(1)圆x2y24x4y70与圆x2y24x10y130的公切线有_条答案4解析两圆的标准方程分别为(x2)2(y2)21，(x2)2(y5)216.两圆圆心分别为(2,2)，(2，
4、5)两圆的圆心距d，半径分别为r11，r24，则dr1r2，即两圆外离，因此它们有4条公切线(2)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_答案相交解析圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心为N(1,1)，半径r21，MN，r1r23，r1r21.r1r2MNr1r2，两圆相交题型二两圆的公共弦问题例2已知圆C：x2y210x10y0与圆M：x2y26x2y400相交于A，B两点(1)求圆C
5、与圆M的公共弦所在直线的方程；(2)求AB的长解(1)直线AB的方程为x2y210x10y(x2y26x2y40)0，即4x3y100.(2)由题意知，圆C的标准方程为(x5)2(y5)250，因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d5，圆C的半径r5，所以AB210.思维升华当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程跟踪训练2(1)圆C1：x2y22x80与圆C2：x2y22x4y40的公共弦长为_答案2解析由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为xy10，得点C1(1,0)到直线l的距离为d，圆C1的半径为r13，所以圆C1与圆C2的
6、公共弦长为222.(2)已知圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y24y60，则公共弦所在直线的方程为_答案3x2y0解析圆C1：x2y26x60，即(x3)2y215，圆心坐标为(3,0)，半径r1；圆C2：x2y24y60，即x2(y2)210，圆心坐标为(0,2)，半径r2.C1C2(，)，圆C1与圆C2相交由圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y24y60，得6x4y0，即3x2y0.两圆公共弦所在直线的方程为3x2y0.题型三圆的应用命题点1利用两圆位置关系求参数例3(1)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_答案(2，0)(0
7、,2)解析圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，0|a|0)，因为直线PF与圆C相切，所以25，解得k(k0舍去)所以直线PF的方程为y(x50)，即4x3y2000.(2)以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，设直线PF的方程为yk(x50)(k0)，圆C的方程为x2(yr)2r2(r0)由已知得直线PE的倾斜角为.因为tanAPFtan(GPFGPA)，所以k，所以直线PF的方程为y(x50)，即40x9y20000.因为直线PF与圆C相切，所以r，解得r40或62.5(舍)故该圆形标志物的半径为40m.思维升华(1)利用两圆位
8、置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1r2的关系(2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决跟踪训练3(2014江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解(1)如图，过点B
9、作BEOC于点E，过点A作AFBE于点F.ABC90，BEC90，ABFBCE，tanABFtanBCO.设AF4x(m)，则BF3x(m)，AOEAFEOEF90，OEAF4x(m)，EFAO60(m)，BE(3x60)m.tanBCO，CEBE(m)，OC(m)，4xx45170，解得x20.BE120m，CE90m.综上所述，BC150m.(2)如图，设BC与M切于点Q，延长QM，CO交于点P，POMPQC90.PMOBCO.设OMxm，则OPxm，PMxm.PCm，PQm.设M的半径为R，RMQm，A，O到M上任一点的距离不少于80m，则即解得10x35.当且仅当x10时R取到最大值当
10、OM10m时，保护区面积最大，综上所述，当OM10m时，保护区面积最大高考中与圆交汇问题的求解与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质一、与圆有关的最值问题例1(1)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为_(2)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AO
11、B的面积取最大值时，直线l的斜率为_答案(1)7(2)解析(1)A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故2(4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y)故|，当x1时有最大值7.(2)SAOBOAOBsinAOBsinAOB.当AOB时，AOB的面积最大此时O到AB的距离d.设AB的方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d，得k.二、直线与圆的综合问题例2(1)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_.(2)已知直线yax3与圆x2y22x80相交于A，B两点，
12、点P(x0，y0)在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为_答案(1)6(2)(1,0)(0,2)解析(1)由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1)AC236440.又r2，AB240436.AB6.(2)由条件得圆心C(1,0)，它到直线l：yax3的距离为d0或a.由PAPB，CACB，得PCl，于是kPC，即.由0或0，得1x00或0x02.三、圆与圆的位置关系问题例3在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是_答案(22，2)
13、(2,22)解析由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4(m2)2416，所以22m22，且m2.1圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为_答案相交解析两圆圆心距d.又r12，r23，r2r11d0)，APO，则APB2，PO，sin .|cos 2x2(12sin2)，令y，则y，令tx2，则t0，yt1323.当且仅当t1，即x时取等号10在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y24分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为_答案44解析方法一由图形可得()()|2()4()4|44，当且仅当
14、P为直线yx与圆在第二象限交点处取得方法二设P(x，y)，又M(2,0)，N(0，2)，所以(2x，y)(x，2y)x22xy22y42(xy)设x2cos ，y2sin ，所以44(cos sin )44cos44.11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(
15、y7)225，圆心M(6,7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又BCOA2.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，2212(2018江苏五校联考)已知圆O1：x2y28x8y480，圆O2过点A(0，4)(1)若圆O2与圆O1相切于点B(
16、2，2)，求圆O2的方程；(2)若圆O2过点C(4,0)，圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程解(1)由已知得圆O1的圆心坐标为(4，4)，圆O2与圆O1相切于点(2，2)，圆O2的圆心在直线yx上，不妨设其圆心为(a，a)，圆O2过点(2，2)，(0，4)，a2(a4)22(a2)2，a0，a2(a4)216，圆O2的方程为x2y216.(2)圆O2过点(0，4)，(4,0)，圆O2的圆心所在的直线为yx，不妨设圆心坐标为(m，m)，两圆在交点处的切线相互垂直，且圆O1的圆心坐标为(4，4)，半径为4，(m4)2(m4)242m2(m4)2，m4，圆O2
17、的方程为(x4)2(y4)280，圆O1与圆O2的方程相减整理得直线MN的方程为x(32)y12(1)0.13在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：x2y216，点M(1,0)，动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MPMQ，则线段PQ的取值范围是_答案1，1解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则设PQ的中点N(x，y)，即N，则x2y25(x1x2y1y2)由MPMQ，得x1x2y1y2x1x212x1，所以x2y25x，即2y2.因为PQ2MN，MN，所以PQ1，114已知直线l：(m2)x(m1)y44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2y22x4y30的两条
18、切线互相垂直，则实数m的取值范围是_答案2,10解析如图，设切点分别为A，B.连结AC，BC，MC，由AMBMACMBC90及MAMB知，四边形MACB为正方形，故MC2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(1,2)到直线l的距离d2，即m28m200，2m10.15在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，若圆C：(xa)2(ya2)21上存在一点M满足MA2MO，则实数a的取值范围是_答案3,0解析由题意得圆C：(xa)2(ya2)21的圆心为(a，a2)，半径为1.设点M的坐标为(x，y)，MA2MO，2，整理得x2(y1)24，故点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆由题意得圆C和点M的轨迹有公共点，13，解得3a0.实数a的取值范围是3,016若圆C1：x2y22axa240(a0)与圆C2：x2y22byb210(b0)外切，求的取值范围解易得圆C1：(xa)2y24的圆心为C1(a,0)，半径为r12；圆C2：x2(yb)21的圆心为C2(0，b)，半径为r21.由题意可得a2b29，可看作平面直角坐标系aOb中的定点A(5,0)与圆a2b29上的动点P(a，b)连线的斜率，结合图形(图略)可知AP为圆a2b29的切线时斜率取得最值，此时kAP，的取值范围是.17
