1、2.10函数模型及其应用考情考向分析考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn
2、(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax概念方法微思考请用框图概括表示解函数应用题的一般步骤提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(3)不存在x0，使x0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()题组二教材改编2P10
3、4习题T1某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2%，则y关于x的函数关系式是_答案y100(11.2%)x(xN*)解析本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y100(11.2%)x(xN*)3P99例3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件答案18解析利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值4P77例8某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企2016年全年投入研发资
4、金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)答案2020解析设从2016年起，过了n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(112%)n200，则n3.8，由题意取n4，则n20162020.题组三易错自纠5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_答案1解析设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.6已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y
5、alog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到_只答案200解析由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)当x8时，y100log39200.题型一已知函数模型的实际问题例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟答案3.75解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去
6、c化简得解得所以p0.2t21.5t222，所以当t3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)_元答案23000解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211700p166000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0,30)时，L(p)0，当p(30，
7、)时，L(p)0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元答案4.24解析m6.5，m6，则f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元答案2500解析L(Q)40QQ210Q2000Q230Q2000(Q300)22500.则当Q300时，L(Q)的最大值为2500万元题型二构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质
8、量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0x0)型函数例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据
9、市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_答案5解析根据图象求得y(x6)211，年平均利润12，x10，当且仅当x5时等号成立要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x_米答案2解析由题意可得BC(2x
10、6)，y26.当且仅当(2x6)，即x2时等号成立命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7360.所以W(2)当040时，W16x7360，由于16x21600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值5760.综合
11、，当年产量x32万只时，W取最大值6104万美元思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤_次才能达到市场要求(参考数据：lg20.3010，lg30.4771)答案8解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%n0.1%，即n，所以nlg1lg2，所以n7.39，所以n8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为2000
12、0元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)则当总利润最大时，该门面经营的天数是_答案300解析由题意，总利润y当0x400时，y(x300)225000，所以当x300时，ymax25000；当x400时，y60000100x20000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征例(1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法
13、规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过_小时他才可以驾驶机动车(精确到小时)答案4解析设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(10.5)n0.2，即2n15，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子
14、不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为_元答案3300解析设利润为y元，租金定为300050x(0x70，xN)元则y(300050x)(70x)100(70x)(290050x)(70x)50(58x)(70x)502，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为30003003300(元)时，公司获得最大利润素养提升例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题1用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_答案3解析设隔墙的长度为x(0x280)，则有(p0.25)%，
15、解得x320.故该公司的年收入为320万元5某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_m3.答案13解析设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.6某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时答案24解析由题意得e22k，e11k，x
16、33时，ye33kb(e11k)3eb319219224(小时)7.某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿_千克答案解析前10天满足一次函数关系，设为ykxb(k0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k，b，所以yx，则当x6时，y.8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.答案20解析设内接矩形另一边长为ym，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x2
17、0)2400(0x0)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)(1)写出y关于x的函数关系式，并求其定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大时，求k的取值范围解(1)ykxkx(0xm)(2)y2，当x时，y取到最大值，即鱼群年增长量的最大值为.(3)依题意0xym，则有0m，解得2k0，所以0k2.12某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位
18、：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)，此时每套供货价格为3032(元)，书商所获得的总利润为5(10032)340(万元)(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0x150.依题意，单套丛书利润Pxx30，所以P120.因为0x0，则(150x)221020，当且仅当150x，即x140时等号成立，此时，Pmax20120100.所以每套丛书售价定为140元时，单
19、套丛书的利润最大，最大值为100元13一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为_海里/时时，总费用最小答案40解析设每小时的总费用为y元，则ykv296，又当v10时，k1026，解得k0.06，所以每小时的总费用y0.06v296，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为Wy(0.06v296)0.6v248，当且仅当0.6v，即v40时等号成立故总费用最小时轮船的速度为40海里/时14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商
20、品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba)这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得，最佳乐观系数x_.答案解析由题意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，两边同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.15物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用85热水冲的速溶咖啡，放在21的房间中，如果咖啡降到37需要16min，那么这杯咖啡要从37降到29，还需要_min.答案8解析由题意知Ta21.令T085，T37，得h8.令T037，T29，则t8.16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间解(1)由题中图象，设y当t1时，由y4，得k4；由1a4，得a3.所以y(2)由y0.50，得或解得t4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4(小时)16
