1、9.4直线与圆的位置关系考情考向分析考查直线与圆的位置关系的判断，根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等题型以填空题为主判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系dr相离(2)代数法：概念方法微思考1过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况提示三种情况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条2求圆的弦长有几种常用方法提示三种(1)用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形(3)利用弦长公式若斜率为k的直线与圆交于A(x1，
2、y1)，B(x2，y2)，AB|x1x2|y1y2|(其中k0)，特别地，当k0时，AB|x1x2|，当斜率不存在时，AB|y1y2|.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交()(2)直线ykx1和圆x2y24一定相交()(3)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()题组二教材改编2P11
3、5T1圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是_答案相交解析圆心(1，2)到直线2xy50的距离为2，点A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1,2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线方程为5x12y450或x30.6(2018苏北四市摸底)若直线axy10被圆x2y22axa0截得的弦长为2，则实数a的值是_答案2解析圆x2y22axa0可化为(xa)2y2a2a，圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d.直线axy10被圆
4、x2y22axa0截得的弦长为2，a211a2a，a2.题型一直线与圆的位置关系的判断1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是_答案相交解析因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1.所以直线与圆相交2圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为_答案相交解析直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50，点(1，2)在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交3在ABC中，若asinAbsinBcsinC0，则圆C：x2y21与直线l：axbyc
5、0的位置关系是_答案相切解析因为asinAbsinBcsinC0，所以由正弦定理，得a2b2c20.故圆心C(0,0)到直线l：axbyc0的距离d1r，故圆C：x2y21与直线l：axbyc0相切4(2018苏州、无锡、常州、镇江三模)若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点，则实数m的取值范围是_答案0,10解析圆的方程x2y22x4y40化为标准方程为(x1)2(y2)21，所以圆心为(1,2)，半径r1，圆心到直线3x4ym0的距离d，直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点，01，解得0m10，实数m的取值范围是0,10思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方
6、法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题题型二切线问题例1已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1)解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy
7、110.思维升华解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系求解跟踪训练1已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_答案2解析如图，由题意知，圆x2y22x2y10的圆心是C(1,1)，半径为1，由PAPB易知，四边形PACB的面积为(PAPB)PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小由于PA，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x4y80，P为垂足，PC3，PA2，所以四边形PACB面积的最小值是2.题型三直线与圆相交问题命题点1圆的弦长例2直线xy20与圆x2y24相
8、交于A，B两点，则弦AB的长为_答案2解析圆x2y24的圆心为点(0,0)，半径r2，圆心到直线xy20的距离d1，弦长AB22.命题点2直线与圆相交求参数范围例3已知直线l：kxy2k0，圆C：x2y22x2y20.(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；(2)若k1，求直线l被圆C截得的弦长；(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由(1)证明直线l的方程可化为k(x2)y0，所以直线l过定点(2,0)由于2202222020，故点(2,0)在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个交点(2)解当k1时，直线l的方程为x
9、y20，圆C：x2y22x2y20的圆心C(1,1)，半径r2.圆心C到直线l的距离d，所以直线l被圆C截得的弦长为222.(3)解存在设A(x1，y1)，B(x2，y2)由kxy2k0与x2y22x2y20消元得(k21)x2(4k22k2)x4k24k20，x1,2，所以x1x2，x1x2.因为以线段AB为直径的圆过原点，所以x1x2y1y20，所以(k21)x1x22k2(x1x2)4k20，所以(k21)2k24k20，所以k1.思维升华(1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程，通过交点坐标满足的关系式解题，往往“设而不求”(2)弦长问题可采用几何法，利用半弦、半径和圆心
10、到弦的垂线段构成的直角三角形跟踪训练2(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则MN_.答案4解析由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以MN|y1y2|4.(2)(2018江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y22，直线xby20与圆C相交于A，B两点，且|，则b的取值范围是_答案解析设AB中点为M，则|，即2OM2AM，即OMOA.又直线xby20与圆C相交于A
11、，B两点，所以OM，而OM，所以，解得1b2，即b的取值范围是.1(2019如皋调研)已知圆x2y29被直线mxy2m10所截得弦长为3，则实数m的值为_答案1或7解析因为圆x2y29的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为3，所以圆心到直线的距离为d，所以d，解得m1或m7.2圆x2y24x4y100上的点到直线xy80的最大距离与最小距离的差是_答案5解析圆的方程可化为(x2)2(y2)2(3)2，圆心到直线的距离为20，a4.9已知圆C的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线交l于点A，则PA的最小值为_答案2解析方法一由题意可知，直线PA与坐标
12、轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cos，sin)，则A(cos，2cos)，PA|2cossin|，PA的最小值为2.方法二由题意可知圆心(0,0)到直线xy2的距离d，圆C上一点到直线xy2的距离的最小值为1.由题意可得PAmin(1)2.10在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_答案解析由题意得AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OCCD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2xy40的垂线，垂足为E)的长度由点到直线的距离公式得
13、OE.圆C面积的最小值为2.11已知圆C：x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件PMPO的点P的轨迹方程解把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则PM2PC2MC2(x
14、1)2(y2)24，PO2x2y2，PMPO，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10.12已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设圆心C(a,0)，则2，解得a0或a5(舍)所以圆C的方程为x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t,0)，A(x1
15、，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)x22k2xk240，x1,2，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN，即0，则0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，亦即2t0，解得t4，所以当点N坐标为(4,0)时，能使得ANMBNM总成立13若a，b是正数，直线2axby20被圆x2y24截得的弦长为2，则ta取得最大值时a的值为_答案解析由已知可得圆心(0,0)到直线2axby20的距离d，则直线被圆截得的弦长为22，化简得4a2b24.ta(2a)(2a)2()2(8a22b21)，当且仅当时等号成立，即t取最大值，此时a(舍负值)14(2018江苏盐城东台中学监测)
16、在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y21，圆C：(x4)2y24，动点P在直线xy20上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB2PA，则线段EF的长度为_答案解析由PB2PA，得PB24PA2，所以PC244(PO21)，所以PC24PO2，设P(x，y)，所以x2y2x0，即2y2，点P在圆2y2上及圆内，圆心到直线xy20的距离为d，因为EF为直线截圆所得的弦，所以EF22.15已知圆O：x2y29，点P为直线x2y90上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB恒过定点_答案(1,2)解析因为P是直线x2y90上的任一点，所以
17、设P(92m，m)，因为PA，PB为圆x2y29的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，易知圆C的方程是22，又x2y29，得，(2m9)xmy90，即公共弦AB所在直线的方程是(2m9)xmy90，即m(2xy)(9x9)0，由得所以直线AB恒过定点(1,2)16已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，求实数t的取值范围解由题意可得直线AB的方程为xy1，与y24x联立消去x，可得y24y40，显然16160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1,2，y1y24，y1y24，设E(xE，yE)，则yE2，xEyE13，又ABx1x22y11y2128，所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，即圆E上存在点P，Q，使得DPDQ，设过D点的两直线分别切圆E于P，Q点，要满足题意，则PDQ，所以，整理得t24t0，解得2t2，故实数t的取值范围为.14
