1、第2讲 不等式的证明1(2019安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求证：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由题意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.当x1时，原不等式等价于2x32，即x1；当1x2时，原不等式等价于12，即12时，原不等式等价于2x32，即2x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立2求证：2.证明：因为，所以1122.3已知函数f(
2、x)ax2bxc(a，b，cR)，当x1，1时，|f(x)|1.(1)求证：|b|1；(2)若f(0)1，f(1)1，求实数a的值解：(1)证明：由题意知f(1)abc，f(1)abc，所以bf(1)f(1)因为当x1，1时，|f(x)|1，所以|f(1)|1，|f(1)|1，所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1，f(1)1可得c1，b2a，所以f(x)ax2(2a)x1.当a0时，不满足题意，当a0时，函数f(x)图象的对称轴为x，即x.因为x1，1时，|f(x)|1，即|f(1)|1，所以|2a3|1，解得1a2.所以0，故|f|a(2a)1|1.整理得|
3、1|1，所以111，所以20，又a0，所以0，所以0，所以a2.4设a，b，c(0，)，且abc1.(1)求证：2abbcca；(2)求证：2.证明：(1)要证2abbcca，只需证14ab2bc2cac2，即证1(4ab2bc2cac2)0，而1(4ab2bc2cac2)(abc)2(4ab2bc2cac2)a2b22ab(ab)20成立，所以2abbcca.(2)因为，所以abc2a2b2c2(当且仅当abc时，等号成立)5已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|a|f.解：(1)f(x)f(x4)|x1|x3|当x1时，由2x28，解得x3.
4、所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x5或x3(2)证明：f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立1(2019武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)|x2|2x3，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)当xM时，证明：xf(x)2x2f(x)0.解：(1)由已知，得f(x)当x2时，由f(x)x11，解得x0，此时x0；当x2时，由f(x)3x51，解得x，显然不成立故f(x)1的解集为Mx|x0(2)证明：当xM时，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x.令g(x)，则函数g(x)在(，0
5、上是增函数，所以g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.2(2019沈阳模拟)设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc.(2)()证明：(1)要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3.而abbcca1，故只需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2).在(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明，即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c，所以abcabbcca(当且仅当abc时等号成立)所以原不等式成立3已知a，b，c均为正实数求证：(1)(ab)(abc2)4abc；(2)若abc3，则3.证明：(1)要证(ab)(abc2)4abc，可证a2bac2ab2bc24abc0，需证b(a2c22ac)a(c2b22bc)0，即证b(ac)2a(cb)20，当且仅当abc时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(ab)(abc2)4abc成立(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知，当且仅当a12时，取等号，当且仅当b12时，取等号，当且仅当c12时，取等号，以上三式相加，得()6，所以3，当且仅当abc1时，取等号5
