1、2.6 对数与对数函数,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对数在简化运算中的作用. 2.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析
2、,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.对数的概念 一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_ ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(MN) ； loga ； logaMn (nR).,x,logaN,a,N,知识梳理,ZHISHISHULI,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,(2)对数的性质 ；logaaN (a0，且a1). (3)对数的换底公式 logab (a0，且a1；c0，且c1；b0).,N,N,3.对数函数的图象
3、与性质,4.反函数 指数函数yax(a0且a1)与对数函数y (a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.,(0，),R,(1,0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,logax,yx,1.根据对数换底公式：说出logab，logba的关系？,提示 logablogba1；,化简 .,【概念方法微思考】,提示 logab.,2.如图给出4个对数函数的图象.比较a，b，c，d与1的大小关系.,提示 0cd1ab.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.( ) (2)对数函数ylogax(a0且a
4、1)在(0，)上是增函数.( ) (3)函数y 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)， 函数图象只在第一、四象限.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.log29log34log45log52 .,1,2,3,4,5,6,2,7,cab,cab.,1,2,3,4,5,6,7,4.函数y 的定义域是 .,1,2,3,4,5,6,解析 由 (2x1)0，得02x11.,7,5.已知b0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是 A.dac
5、B.acd C.cad D.dac,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,6.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 A.a1，c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数， 0a1， 图象与x轴的交点在区间(0,1)之间， 该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的， 0c1.,1,2,3,4,5,6,7,7.若 0且a1)，则实数a的取值范围是 .,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 对数的运算,解析 由已知，得a
6、log2m，blog5m，,自主演练,lg 1021021020.,20,1,4.设函数f(x)3x9x，则f(log32) .,6,解析 函数f(x)3x9x，,f(log32) 246.,对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,题型二 对数函数的图象及应用,例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的大致图象为,解析 先作出当x
7、0时，f(x)ln(x1)的图象，显然图象经过点(0,0)， 再作此图象关于y轴对称的图象， 可得函数f(x)在R上的大致图象， 如选项C中图象所示.,师生共研,(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点.,当a1时，不符合题意，舍去.,若本例(3)变为方程4xlogax在 上有解，则实数a的取值范围为 .,(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结
8、合法求解.,跟踪训练1 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是,解析 函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A，B； 又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.,(2)已知函数f(x) 且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实 根，则实数a的取值范围是 .,(1，),解析 如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距. 由图可知，当a1时，直线yxa与yf(x)只有一个交点.,A.abc B.bac C.cab D.acb,题型三 对数函数的性质及应用,命题点1 比较对数值的大小,多维探究,解析 由幂函数性质，可知幂函数
9、f(x) 在(0，)上为单调递增函数，,命题点2 解对数方程、不等式,例3 (1)方程log2(x1)2log2(x1)的解为 .,解析 原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，,(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是 .,命题点3 对数函数性质的综合应用,例4 (1)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是 A.(，4) B.(4,4 C.(，4)2，) D.4,4),解析 由题意得x2ax3a0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，,解得实数a的取值范围是4,
10、4)，故选D.,(3)已知函数f(x) 若f(x)的值域为R，则实数a的取值 范围是 .,(1,2,解析 当x1时，f(x)1log2x1， 当x1时，f(x)(a1)x42a必须是增函数， 且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，,利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.,跟踪训练2 (1)设alog32，blog52，clog23，则 A.acb B.
11、bca C.cba D.cab,解析 alog32log221，所以c最大. 由1b， 所以cab.,(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立， 则实数a的取值范围是 .,解析 当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数， 由f(x)1在区间1,2上恒成立， 则f(x)minf(2)loga(82a)1，且82a0，,当01在区间1,2上恒成立， 知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0. a4，且a4，故不存在.,比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是： (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性
12、，引入中间量；有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,比较指数式、对数式的大小,例 (1)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是_.,cba,解析 a60.41，blog0.40.5(0,1)， clog80.4bc.,(2)已知alog23log2 ，blog29log2 ，clog32，则a，b，c的大小关系是 A.abc C.abc,(3)若实
13、数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是 .(填序号) abc；bac；cba；acb.,解析 由loga2logb2logc2的大小关系， 可知a，b，c有如下可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba1. 故中关系不可能成立.,(4)(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则 A.abab0 B.abab0 C.ab0ab D.ab0ab,解析 alog0.20.3log0.210， blog20.3log210，ab0.,1log0.30.3log0.30.4log0.310，,bac,所以bac.,3,课时作业,PART THR
14、EE,1.log29log34等于,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018宁夏银川一中模拟)设a0.50.4，blog0.40.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是 A.abc B.cba C.cab D.bca,解析 0log0.40.41，clog80.4log810， a，b，c的大小关系是cab.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意可知f(1)log210， f(f(1)f(0)3012，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
15、15,16,解析 当x0时，f(x)logax单调递减，排除A，B； 当x0时，f(x)loga(x)单调递减，排除D.故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当ab1时取等号.,解析 f(x)f(ex)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1 009(ab)2 018，ab2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以函数f(x)的单调递增区间为(0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知ab1.若
16、logablogba ，abba，则a ，b .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4 2,解析 令logabt，ab1，0t1，,8.设函数f(x) 则满足f(x)2的x的取值范围是 .,解析 当x1时，由21x2，解得x0，所以0x1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0，),综上可知x0.,9.设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是 .,(0,1),解析 由题意知，在(0,10)上， 函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点， ab1,0c
17、lg 101，abc的取值范围是(0,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知函数f(x)ln ，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围 是 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,化简得ab1，,又0ab1，,11.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域；,解 f(1)2，loga42(a0，且a1)，,函数f(x)的定义域为(1,3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
18、16,解 f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24， 当x(1,1时，f(x)是增函数； 当x(1,3)时，f(x)是减函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，f(x) x. (1)求函数f(x)的解析式；,解 当x0，则f(x) (x). 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x). 所以x0时，f(x) (x)，所以函数f(x)的解析式为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
19、16,(2)解不等式f(x21)2.,解 因为f(4) 42，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x21)2可化为f(|x21|)f(4). 又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,而x210时，f(0)02，所以x1或x1.,13.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是 (参考数据：lg 30.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
20、,14,15,16,361lg 380lg 103610.4880193.28. 又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，,所以loga(1a)0，即1a1，解得a0，此时无解.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.若函数f(x)loga(x2x2)在区间0,2上的最大值为2，则实数a .,2,解析 令u(x)x2x2，,当a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)计算：f(2 020)f(2 020)；,函数的定义域为x|x1或x1.,f(x)为奇函数. 故f(2 020)f(2 020)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即m(x1)(7x)在2,6上恒成立. 又当x2,6时，(x1)(7x)x28x7 (x4)29. 当x4时，(x1)(7x)max9，m9. 即实数m的取值范围是(9，).,
