2019全国中考数学真题分类汇编:二次函数代数方面的应用

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一、选择题 1. (2019·潍坊)抛物线yx2+bx3的对称轴为直线x1.若关于x的一元二次方程x2+bx3-t0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是( ) A.2≤t<11 B.t≥2 C.6<t<11 D.2≤t<6 【答案】A 【解析】由题意得,b-2,抛物线解析式为yx2-2x3,当-1<x<4时,其图象如图所示 从图象可以看出当2≤t<11时,抛物线yx2-2x3与直线yt有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx3-t0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是2≤t<11,故选择A. 方法二把yx2-2x3-t(-1<x<4)的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点,向下平移11个单位时开始无交点,故2≤t<11,故选择A. 2. (2019·淄博)将二次函数的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则的取值范围是 ( ) A.B.C.D. 【答案】D. 【解析】∵,向左平移一个单位,再向上平移一个单位后的解析式为 , 令,即, 由⊿,得. 3. (2019·湖州)已知a,b是非零实数,,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】由,解得,,故直线与抛物线的两个交点坐标分别为1,a+b和 -,0.对于D选项,从直线过第一、二、四象限可知a<0,b>0.∵,∴a+b<0.从而1,a+b在第四象限,因此D选项不正确,故选D. 二、填空题 1.(2019·安徽)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数yx﹣a1和yx2﹣2a x的图像相交于P,Q两点,若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 . 【答案】a>1或a<-1 【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质,二次函数图象及性质,平移的性质,以及数形结合,解题的关键是结合题意,画出图象,利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x在某个范围内,两个函数的值都小于0,即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x轴上,则x-a+1=0,x=a-1,代入二次函数的表达式中,得a-12-2aa-1=0,解得a=1或a=-1. 当a>1 时,随着a的变大,直线向右平移运动,抛物线向右、向下平移运算,如图,此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限;当a<-1时,随着|a|的变大,直线向左平移运动,抛物线向左、向下平移运算,此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述,a的取值范围为a>1或a<-1. 2. (2019·潍坊)如图,直线yx1与抛物线yx2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点.当△PAB的周长最小时,S△PAB . 【答案】 【解析】解方程组,得,. ∴A(1,2), B(4,5), 作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B交y轴于点P. 则A′(-1, 2). 设直线A′B解析式为ykxb, 则, 解得 ∴直线A′B. ∴当△PAB的周长最小时,点P的坐标为(0,). 设直线AB与y轴的交点为C,则C(0,1) ∴S△PABS△PCB-S△PCA . 3. (2019·乐山) 如图,点是双曲线()上的一点,过点作轴的垂线交直线于点,连结,.当点在曲线上运动,且点在的上方时,△面积的最大值是 . 【答案】3 【解析】∵点是双曲线()上的一点,∴可设点P坐标为(m,),∵⊥轴,在图像上,∴Q坐标为(m,),PQ-,∴△面积 m[-],当m2时,△面积的最大值为3. 三、解答题 1. (2019浙江省杭州市,22,12分)本题满分12分 设二次函数yx-x1x-x2 x1,x2是实数 (1)甲求得当x0时,y0;当x1时,y0;乙求得当x时,y-.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结果正确吗说明理由. 2写出二次函数图像的对称轴,并求该函数的最小值.用含x1,x2的代数式表示. 3已知二次函数的图象经过0,m和1,n两点m,n是实数,当0<x1<x2<1时. 求证 0<mn<. 【解题过程】(1)当x0时,y0;当x1时,y0;∴二次函数经过点(0,0),(1,0), ∴x10,x21,∴yx(x-1)x2-x, 当x时,y-,∴乙说点的不对; (2)对称轴为x,当x时,y-是函数的最小值; (3)二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点,∴mx1x2,n1-x1-x2x1x2, ∴mn[-][-] ∵0<x1<x2<1,∴0≤-≤,0≤-≤, ∴0<mn<. 2.(2019·淮安)如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点,D为顶点,其中点B的坐标为5,0,点D的坐标为1,3. 1求该二次函数的表达式; 2点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且EDEF,求点E的坐标; 3试问在该二次函数图像上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BDG的面积的若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由. 第2题图 第2题备用图 【解题过程】解(1)∵二次函数的顶点D的坐标为1,3,且函数图象过点B5,0, ∴设函数解析式为,则,∴, ∴该二次的数的解析式为,即. (2)如图所示, 第26题答图 1 ∵DC⊥x轴,EF⊥x轴, ∴△BEF∽△BDC, ∴, 设EFEDm,则, ∴m, ∴BF,, ∴E() (3)根据题意知A、B两点直线DG的距离之比为53,分两种情形 ①A、B两点在直线DG的同旁,如图2,则有, 第2题答图 2 由△HAN∽△HBN得, ∴AH12,∴H-15,0, 又∵D的坐标为1,3. 设DH的解析式为ykxb, 则,解得, ∴DH的解析式为. ∵点G为直线DH与抛物线的另个交一个交点, ∴由得或, ∴G0,. ②A、B两点在直线DG的两旁,如图3,则有, 第2题答图3 ∵, ∴直线DG经过点O,其解析为y3x. ∴由得或, ∴G-15,-45. 综上所述,存在符合条件的点G,其坐标为0,或-15,-45. 3.2019·泰州 已知一次函数y1=kx+nn<0和反比例函数y2= m>0,x>0. 1如图1,若n=-2,且函数y1、y2的图像都经过点A3,4. ①求m、k的值; ②直接写出当y1>y2时x的范围; 2如图2,过点P1,0作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数y3=x>0的图像相交于点C. ①若k=2,直线l与函数y1的图像相交于点D.当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求m-n的值; ②过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交于点E.当m-n的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值. 第3题图 【解题过程】1∵y2=m0,x0,过点A3,4,∴4=,∴m=12,∴反比例函数表达式为y2=.又∵点A3,4y1=kxn的图象上,且n=-2,∴4=3k-2,∴k=2,所以一次函数表达式为y1=2x-2. ②由图像可知,两个函数图象交点A的坐标为3,4,所以当x3时,y1y2. 2①因为k=2,所以一次函数表达式为y=2xn,∵直线l过点P1,0,∴D1,2 n,B1,m,C1, n,又∵点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等,∴BD=BC或BD=DC或BC=CD,∴2 n﹣m=m﹣n;或m﹣2 n=2 n﹣n,或m-n=n-2n,∴可得m﹣n=1或m﹣n=4或m-n=-2; ②由题意可知,B1,m,C1, n,当y1=m时,kxn=m,∴x=即点E的横坐标为∴d=BCBE==,∵m-n的值取不大于1的任意实数时, d始终是一个定值,∴,∴k=1,从而d=1. 4.(2019·株洲)已知二次函数. (1)若a=l,b=﹣2,c=﹣1.①求该二次函数图像的顶点坐标;②定义对于二次函数,满足方程的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证二次函数有两个不同的“不动点”. (2)设b=,如图所示,在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与x轴分别相交于不同的两点A,0,B,0,其中<0,0,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为1,0,过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足∠AFC=∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P,若,求该二次函数的表达式. 【解题过程】解(1)①∵a=l,b=﹣2,c=﹣1 ∴yx2-2x-1(x-12-2 ∴顶点坐标为(1,-2); ②当yx时,xx2-2x-1, ∴x2-3x-10, ∴△94130 ∴有两个不相同的实数根,即有两个“不动点”。 (2) ∵∠AFC=∠ABC,∠AEF=∠BEC, ∴△AEF∽△CEB, ∴, ∵DF∥OE,OCOD, ∴OE为△CDF的中位线, ∵E1,0, C0,c; ∴CEEF ∵Ax1,0,Bx2,0, ∴AE1-x1,BEx2-1, ∴ ,∴1c21-x1x2-1x1x2-x1x2-1, ∴, ∵b=, ∴ ∴c-2a. ∵∠AFC=∠ABC,∠P∠P ∴△PFC∽△PBA, ∴ ∵,CF2CE,ABx2-x1, ∴ ∵,b=,c-2a., ∴a21, ∵a0, ∴a1. ∴b-4,c-2, ∴二次函数的表达式为yx2-4x-2 5.(2019安徽)一次函数ykx4与二次函数yax2c的图像的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图像的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)0﹤m﹤4且垂直于y轴的与二次函数yax2c的图像相交于B,C两点,点O为坐标原点,记WOA2BC2,求W关于m的函数解析式,并求W的最小值. 【解题过程】解(1)因为点(1,2)在一次函数ykx4的图像上,所以2k4,因为一 次函数ykx4与二次函数yax2c图像的另一个交点是该二次函数图像的顶点,则(0,c) 在一次函数ykx4的图像上,即c4,又点(1,2)也在二次函数yax2c的图像上,所 以2ac,从而a﹣2; 6分 (2)方法一因为点A的坐标为(0,m)0﹤m﹤4,过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y﹣2x24的图像交于点B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(﹣x0,m),故BC2| x0 |,又点B在二次函数y﹣2x24的图像上, 所以﹣2x024m,即x022﹣,从而BC24 x028﹣2m,又OAm, 从而WOA2BC2m2﹣2m8m﹣1270﹤m﹤4,所以m1时, W有最小值7. 12分 6. 2019·台州已知函数y=x2bxcb,c为常数的图象经过点-2,4. 1求b,c满足的关系式; 2设该函数图象的顶点坐标是m,n,当b的值变化时,求n关于m的函数解析式; 3若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值. 解1将点-2,4代入y=x2bxc,得4=-22-2bc,∴c=2b,∴b,c满足的关系式是c=2b. 2 把c=2b代入y=x2bxc,得y=x2bx2b,∵顶点坐标是m,n,n=m2bm2b,且m=-,即b=-2m,∴n= 3 -m2-4m.∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m. 4 由2的结论,画出函数y=x2bxc和函数y=-x2-4x的图象.∵函数y=x2bxc的图象不经过第三象限, 5 ∴-4≤-≤0.①当-4≤-≤-2,即4≤b≤8时,如图1所示,x=1时,函数取到最大值y=13b,x=-时,函数取到最小值y=,∴13b-=16,即b24b-60=0,∴b1=6,b2=-10舍去;②当-20的图象交于点Am,8与点B4,2. ①求一次函数与反比例函数的解析式; ②根据图像说明,当x为何值时,k1xb-0,当y=8时,8=,所以x=1,所以点A坐标为1,8,将A1,8,B4,2代入y1=k1xb,可得,所以,一次函数解析式为y1=-2x10; ②k1xb-4. 10.(2019·长沙)(10分)已知抛物线y-2x2b-2xc-2020b,c为常数. (1)若抛物线的顶点坐标为1,1,求b,c的值; (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围; (3)在(1)的条件下,存在正实数m,n m<n,当m≤x≤n时,恰好有≤≤,求m,n的值. 【解题过程】1由题可设y﹣2x-12+1,去括号得y﹣2x2+4x-1 ∴,解得 2设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为x0,y0,﹣x0,﹣y0, 代入解析式可得, ∴两式相加可得﹣4x02+2c-20200, ∴c2x02+2020,∴c≥2020 3 由1可知抛物线y﹣2x2+4x-1﹣2x-12+1,∴y≤1, ∵0<m<n,当m≤x≤n时,恰好有,∴, ∴即m≥1,∴1≤m≤n, ∵抛物线对称轴x1,开口向下,∴当m≤x≤n时,y随x增大而减小, ∴当xm时,ymax﹣2m2+4m-1,当xn时,ymax﹣2n2+4n-1, 又∵∴, 将①整理得2n3-4n2+n+10, ∴变形得2n3-2n2-2n2-n-10,即2n2n-1-2n+1n-10, ∴n-12n2-2n-10, ∵n>1, ∴2n2-2n-10, ∴n1舍去,n2, 同理整理②得m-12m2-2m-10, ∵1≤m<n,∴m11,m2舍去,m3舍去, ∴综上所述m1,n.
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