1、一、选择题1. （2019潍坊）抛物线y=x2bx+3的对称轴为直线x=1若关于x的一元二次方程x2bx+3t=0（t为实数）在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）A2t11 Bt2 C6t11 D2t6【答案】A【解析】由题意得：，b=2，抛物线解析式为y=x22x+3，当1x4时，其图象如图所示：从图象可以看出当2t11时，抛物线y=x22x+3与直线y=t有交点，故关于x的一元二次方程x2bx+3t=0（t为实数）在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是2t11，故选择A 方法二：把y=x22x+3t（1x4）的图象向下平移2个单位时图象与x轴开始有交点，向下平移11个单位时
2、开始无交点，故2t11，故选择A2. （2019淄博）将二次函数的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y2有两个交点，则的取值范围是 （ ）A.B.C.D.【答案】D.【解析】，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为，令，即，由，得.3. （2019湖州）已知a，b是非零实数，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1ax2bx与一次函数y2axb的大致图象不可能是（ ）A B C D【答案】D【解析】由，解得，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，ab)和(，0)对于D选项，从直线过第一、二、四象限可知：a0，b0，ab0从而(1，ab)在第四象限，因此D选
3、项不正确，故选D 二、填空题1（2019安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=xa+1和y=x22a x的图像相交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 .【答案】a1或a1【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x轴上，则xa10，xa1，代入二次函数的表达式中，得：(a1)22a(a1)0，解得：a1或a1.当a1
4、时，随着a的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a的取值范围为a1或a1.2. （2019潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x24x5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点当PAB的周长最小时，SPAB= 【答案】【解析】解方程组，得：，A（1，2）, B（4，5）,作点A关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点P则A（1， 2）.设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得：直线AB：当PAB的周长最小时，点P的坐
5、标为（0，）设直线AB与y轴的交点为C，则C（0，1）SPAB=SPCBSPCA = =.3. （2019乐山） 如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动，且点在的上方时，面积的最大值是 .【答案】3【解析】点是双曲线：（）上的一点，可设点P坐标为（m，），轴，在图像上，Q坐标为（m，），PQ=-()，面积=m-(=，当m=2时，面积的最大值为3.三、解答题1. （2019浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分)设二次函数y=(x-x1)(x-x2)( x1,x2是实数)（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=时，y=-
6、.若甲求得的结果都正确你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x1,x2的代数式表示).(3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n是实数)，当0x1x21时.求证: 0mn.【解题过程】（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；二次函数经过点（0，0），（1，0），x1=0，x2=1，y=x（x-1）=x2-x，当x=时，y=-，乙说点的不对；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，mn=-0x1x21，0-，
7、0-，0mn2（2019淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3).(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED=EF，求点E的坐标；(3)试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得ADG的面积是BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.第2题图 第2题备用图【解题过程】解：（1）二次函数的顶点D的坐标为(1，3)，且函数图象过点B(5，0)，设函数解析式为，则，该二次的数的解析式为，即.（2）如图所示，第26题答图 1DCx轴，EFx轴，BEFBDC，设E
8、F=ED=m，则，m=，BF=，E（）（3）根据题意知A、B两点直线DG的距离之比为5:3，分两种情形：A、B两点在直线DG的同旁，如图2，则有， 第2题答图 2由HANHBN得，AH=12，H(-15，0)，又D的坐标为(1，3).设DH的解析式为：y=kx+b，则，解得，DH的解析式为.点G为直线DH与抛物线的另个交一个交点，由得或，G(0，).A、B两点在直线DG的两旁，如图3，则有，第2题答图3 ，直线DG经过点O，其解析为y=3x.由得或，G(-15，-45).综上所述，存在符合条件的点G，其坐标为(0，)或(-15,-45).3(2019泰州) 已知一次函数y1kxn(n0)和反比
9、例函数y2 (m0,x0)(1)如图1,若n2,且函数y1、y2的图像都经过点A(3,4)求m、k的值;直接写出当y1y2时x的范围;(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数y3(x0)的图像相交于点C若k2,直线l与函数y1的图像相交于点D当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求mn的值;过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交于点E当mn的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值求此时k的值及定值第3题图【解题过程】(1)y2(m0,x0),过点A(3,4),4,m12,反比例函数表达式为y2.又
10、点A(3,4)y1kx+n的图象上,且n2,43k2,k2,所以一次函数表达式为y12x2.由图像可知,两个函数图象交点A的坐标为(3,4),所以当x3时,y1y2.(2)因为k2,所以一次函数表达式为y2x+n,直线l过点P(1,0),D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等,BDBC或BDDC或BCCD,2+ nmmn;或m(2+ n)2+ nn,或mnn(2+n),可得mn1或mn4或mn2;由题意可知,B(1,m),C(1, n),当y1m时,kx+nm,x即点E的横坐标为dBC+BE,mn的值取不大于1的任意实数时, d始终是一个定
11、值,k1,从而d1.4（2019株洲）已知二次函数（1）若al，b2，c1求该二次函数图像的顶点坐标；定义：对于二次函数，满足方程的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数有两个不同的“不动点”（2）设b，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴分别相交于不同的两点A(，0)，B(，0)，其中0，0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OCOD，又点E的坐标为(1，0)，过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足AFCABCFA的延长线与BC的延长线相交于点P，若，求该二次函数的表达式【解题过程】解：（1）al，b2，c1y=x2-2x-1=（x-
12、1)2-2顶点坐标为（1，-2）；当y=x时，x=x2-2x-1,x2-3x-1=0，=9+4=130有两个不相同的实数根，即有两个“不动点”。（2）AFCABC，AEFBEC，AEFCEB，DFOE，OC=OD,OE为CDF的中位线，E(1,0)， C(0，c);CE=EFA(x1,0),B(x2，0),AE=1-x1，BE=x2-1，1+c2=(1-x1)(x2-1)=x1+x2-x1x2-1，b，c=-2a.AFCABC，P=P PFCPBA，CF=2CE,AB=x2-x1,，b，c=-2a.，a2=1,a0,a=1.b=-4，c=-2，二次函数的表达式为y=x2-4x-25（2019安
13、徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）(0m4)且垂直于y轴的与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.【解题过程】解：（1）因为点（1，2）在一次函数y=kx+4的图像上，所以2=k+4，因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图像的另一个交点是该二次函数图像的顶点，则（0，c）在一次函数y=kx+4的图像上，即c=4，又点（1，2）也在二次函数y=ax2+c的图像上，所以2=a
14、+c，从而a=2； 6分（2）方法一：因为点A的坐标为（0，m）(0m4)，过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=2x2+4的图像交于点B，C，所以可设点B的坐标为（x0，m），由对称性得点C的坐标为（x0，m），故BC=2| x0 |，又点B在二次函数y=2x2+4的图像上，所以2x02+4=m，即x02=2，从而BC2=4 x02=82m，又OA=m，从而W=OA2+BC2=m22m+8=(m1)2+7(0m4)，所以m=1时，W有最小值7. 12分6. (2019台州)已知函数yx2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(2,4).(1)求b,c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标
15、是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.解：(1)将点(2,4)代入yx2+bx+c,得4(2)22b+c,c2b,b,c满足的关系式是c2b.(2) 把c2b代入yx2+bx+c,得yx2+bx+2b,顶点坐标是(m,n),nm2+bm+2b,且m,即b2m,n(3) m24m.n关于m的函数解析式为nm24m.(4) 由(2)的结论,画出函数yx2+bx+c和函数yx24x的图象.函数yx2+bx+c的图象不经过第三象限,(5) 40.当42,即4b8时,如图1所示,x1时,函数取到最大
16、值y1+3b,x时,函数取到最小值y,(1+3b)16,即b2+4b600,b16,b210(舍去);当20,即b0)的图象交于点A(m,8)与点B(4,2).求一次函数与反比例函数的解析式;根据图像说明,当x为何值时,k1x+b0),当y8时,8,所以x1,所以点A坐标为(1,8),将A(1,8),B(4,2)代入y1k1x+b,可得,所以,一次函数解析式为y12x+10;k1x+b0,即k1x+b,即y1y2,因为A(1,8),B(4,2),由图象可知x的取值范围为:0x4.10（2019长沙）（10分）已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b，c为常数)（1）若抛物线的
17、顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n( mn)，当mxn时，恰好有，求m，n的值【解题过程】(1)由题可设：y=2(x1)21，去括号得：y=2x24x1，解得(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，代入解析式可得：，两式相加可得：4x022(c2020)=0，c=2x022020，c2020(3) 由(1)可知抛物线y=2x24x1=2(x1)21，y1，0mn，当mxn时，恰好有，即m1，1mn，抛物线对称轴x=1，开口向下，当mxn时，y随x增大而减小，当x=m时，ymax=2m24m1，当x=n时，ymax=2n24n1，又，将整理得：2n34n2n1=0，变形得：(2n32n2)(2n2n1)=0，即2n2(n1)(2n1)(n1)=0，(n1)(2n22n1)=0，n1，2n22n1=0，n1=(舍去)，n2=，同理整理得：(m1)(2m22m1)=0，1mn，m1=1，m2=(舍去)，m3=(舍去)，综上所述：m=1，n=
