1、章末复习 学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题1等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)递推公式an1andq中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等
2、差数列这时A叫做a与b的等差中项，并且A如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G通项公式ana1(n1)dana1qn1前n项和公式Snna1d当q1时，Sn，当q1时，Snna1性质am，an的关系aman(mn)dqmnm，n，s，tN*，mnstamanasatamanasatkn是等差数列，且knN*akn是等差数列akn是等比数列n2k1，kN*S2k1(2k1)aka1a2a2k1a判断方法利用定义an1an是同一常数是同一常数利用中项anan22an1anan2a利用通项公式anpnq，其中p，q为常数anabn(a0，b0)利用前n
3、项和公式Snan2bn (a，b为常数)SnA(qn1)，其中A0，q0且q1或Snnp(p为非零常数)2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.题型一方程思想求解数列问题例1等差数列an各项为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11且b2S264，ban是公比为64的等比数列，求an，bn
4、的通项公式解设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有由q(6d)64知q为正有理数，又由知d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an2n1，bn8n1.反思感悟在等比数列(等差数列)中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量跟踪训练1记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.解设数列an的公差为d，依题设有即解得或因
5、此Snn(3n1)或Sn2n(5n)，nN*.题型二转化与化归思想求解数列问题命题角度1实际问题转化为等差(比)数列例2从盛有2 kg质量分数为20%的盐水的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，再加入1 kg水，问：(1)第5次倒出的1 kg盐水中含盐多少千克？(2)经6次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加1 kg水后容器内盐水中盐的质量分数为多少？(质量分数100%)解(1)质量分数为20%的2 kg盐水中含盐 kg，每次倒出盐水中盐的质量是原来的一半，所以每次倒出盐水中含盐量构成以为首项、为公比的等比数列所以ann1(nN*)所以a54(kg)0.012
6、 5(kg)(2)设数列an的前n项和为Sn，则S60.393 75，100%0.312 5%.所以经6次倒出后，一共倒出0.393 75 kg盐，此时加1 kg水后容器内盐水中盐的质量分数为0.312 5%.反思感悟(1)在寻找实际问题的数量关系时，不妨先计算一下前若干项，从中寻找规律；(2)在把实际问题转化为数列时，要清楚地定义数列、数列的首项、项数等跟踪训练2某商店为了促进商品销售，特制订优惠方式购买2 150元的家用电器，付款方式：购买当天先付150元，以后每月这一天都交付200元，并加付欠款利息，每月利息按月利率1%计算，计算购买这件家用电器总共所付金额解购买时先付150元，欠2 0
7、00元，按要求知10次付清，所以第1次付款金额为a12002 0001%220(元)，第2次付款金额为a22001 8001%218(元)，第n次付款金额为an2002 000(n1)2001%220(n1)2(元)，不难看出每次的付款金额顺次构成以220为首项，2为公差的等差数列10次付款总额为S1022010(2)2 110.故实际共付2 1101502 260(元)命题角度2其他数列化归为等差(比)数列例3在数列an中，Sn14an2，a11.(1)设cn，求证：数列cn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 Sn14an2，当n2，nN*时，Sn4an12.得an14an4a
8、n1.对an14an4an1两边同除以2n1，得2，即2，即cn1cn12cn，数列cn是等差数列由Sn14an2，得a1a24a12，则a23a125，c1，c2，故公差d，cn是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，an(3n1)2n2(nN*)反思感悟由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出跟踪训练3设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列
9、Sn2是等比数列；(3)求an的通项公式考点等差等比数列综合应用题点等差等比数列其他综合问题(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的
10、等比数列(3)解由(2)知Sn242n12n1.Sn2n12.n2时，anSnSn12n12(2n2)2n.n1时，a1S12222适合上式an2n，nN*.1设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9答案A解析设等差数列an的公差为d，a4a66，a53，d2，a610，故当等差数列an的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.2数列1,12,1222，12222n1，的前99项和为()A2100101 B299101C210099 D29999考点数列前n项和的求法题点并项求和法答案A解析由数列可知an12222n12n1，所以
11、，前99项的和为S99(21)(221)(2991)22229999992100101.3在等比数列an中，已知a24，a616，则a4_.答案8解析aa2a641664，a48.若a48，则aa2a40.a48舍去a48.4等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.答案5解析log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a5)log2a，又a1a5a4，且a30，a32.log2alog2255.5(2018常州高二检测)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6_.答案12解析S3a1a2a33a212，a24. da2a1422.ana1(n1)d2(n1)22n.a62612.1等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题2数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和3在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题
