1、第4课时线面垂直的综合应用一、选择题1.下列命题：ab； b；ab； a；b； b或b.其中正确的命题的个数为()A.4 B.5 C.6 D.3答案A2.如图，在ABC中，BAC90，PA平面ABC，ABAC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A.8 B.7 C.6 D.5答案A解析在RtABC中，BAC90，PA平面ABC，ABPA，PADA，PAAC.ABAC，D是BC的中点，ADBC，BPCP，可得PDBC，图中直角三角形有PAC，PAB，PAD，ABC，ABD，ADC，BPD，DPC，共8个.3.在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平
2、面AA1C1C所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案A解析如图，取C1A1，CA的中点E，F，连结B1E与BF，EF，则B1E平面CAA1C1，过D作DHB1E，则DH平面CAA1C1，连结AH，则DAH即为所求的线面角.DHB1E，DA.所以sinDAH.4.在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是()A. B.2 C.3 D.4答案D解析如图所示，作PDBC于D，连结AD.PA平面ABC，PABC.又PAPDP，BC平面PAD，ADBC.在ACD中，AC5，CD3，AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，PD4.5.圆O的半径为4，PO垂直于圆O所
3、在的平面，且PO3，那么点P到圆上各点的距离为()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析设A为圆上任意一点，连结OA，PA.PO垂直于圆O所在的平面，OA圆O所在的平面，OA4，PO3，在POA中，POOA，PA5.6.如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的个数为()BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；过点A1与异面直线AD和CB1成90角的直线有2条.A.3 B.2 C.1 D.0答案B解析由题图可知，在正方体ABCDA1B1C1D1中，由于BDB1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD平面CB1D1，故正确；由正方体的性质可得B1D1A1C1，CC1B1D1，故
4、B1D1平面ACC1A1，故B1D1AC1.同理可得B1CAC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得AC1平面CB1D1，故正确；过点A1与直线AD成90角的直线必和BC也垂直，过点A1与CB1成90角的直线必和CB1垂直，则该直线必和平面B1C1CB垂直，满足条件的只有直线A1B1，故不正确.二、填空题7.已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则AB的中点P到平面的距离是_.答案3或1解析若A，B在同侧，如图，则P到的距离为3；若A，B在异侧，如图，则P到的距离为POOO321.8.ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为_.答案解析
5、由P到三个顶点距离相等，可知P在平面ABC上的射影为ABC的外心，由题意知ABC为直角三角形，P到平面ABC的距离为hPD.9.如图，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为_.答案解析连结EF，根据题意知，BCAF，BCDF.又AFDFF，BC平面ADF.BEF是直线BE和平面ADF所成的角，设BC2，则BF1，BE，sinBEF.10.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_.答案45解析如图，设C在平面内的射影为O点，连
6、结AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角.设ACBC1，则AB，CM，CO.sinCMO，CMO45.三、解答题11.如图，PD平面ABCD，ADDC，ADBC，PDDCBC11，求直线PB与平面PDC所成角的大小.解PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.ADDC，ADBC，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.BPC为PB与平面PDC所成的角.令PD1，则DC1，BC，可求得PC.由BC平面PDC，PC平面PDC，得BCPC.在RtPBC中，由PCBC，得BPC45.直线PB与平面PDC所成的角为45.12.如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点
7、.(1)求证：MN平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45，求证：MN平面PCD.证明(1)取PD的中点E，连结NE，AE，如图.又N是PC的中点，NEDC且NEDC.又DCAB且DCAB，AMAB，AMCD且AMCD，NEAM，且NEAM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PDA即为PD与平面ABCD所成的角，PDA45，APAD，AEPD.又MNAE，MNPD.PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，PA，AD平面PAD，CD平面PAD.AE平面PAD，CDAE，CDMN.
8、又CDPDD，CD，PD平面PCD，MN平面PCD.13.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BC2，BB1，求证：(1)A1C平面AB1D；(2)BC1平面AB1D.证明(1)连结A1B，交AB1于点O，连结OD，则点O是A1B的中点.又点D是BC的中点，所以A1COD.又OD平面AB1D，A1C平面AB1D，所以A1C平面AB1D.(2)因为D为BC的中点，所以ADBC.在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AD平面ABC，所以ADBB1.又BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1.又BC1平面BCC1B1，所以A
9、DBC1.设B1DBC1F，在RtDBB1和RtBB1C1中，所以DBB1BB1C1，所以BDFC1BB1.又C1BB1FBD90，所以BDFFBD90，所以BC1B1D.又BC1AD，ADB1DD，AD平面AB1D，B1D平面AB1D，所以BC1平面AB1D.14.如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB2，AC1，P为O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45.(1)求证：BC平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明PA平面ABC，PABC.AB是圆O的直径，C为圆上一点，BCAC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.(2
10、)解如图，过点A作ADPC于点D，BC平面PAC，AD平面PAC，BCAD，AD平面PBC，AD即为点A到平面PBC的距离.PBA为PB与平面ABC所成的角，即PBA45，PAAB2，AC1，可得PC.ADPCPAAC，AD，即点A到平面PBC的距离为.15.如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1底面ABC，M为A1B1的中点.(1)证明：MCAB；(2)若AA12，侧棱CC1上是否存在点P使得MC平面ABP？若存在，求出PC的长；若不存在，请说明理由.(1)证明取AB的中点N，连结MN，CN，则MN底面ABC，MNAB.因为ABC是正三角形，所以NCAB，又MNNCN，MN平面MNC，NC平面MNC，可得AB平面MNC，从而ABMC.(2)解存在点P且当PC时，使得MC平面ABP.由(1)知，MCAB，若存在点P使得MC平面ABP，则必有MCBP.过M作MQB1C1，垂足为Q，连结QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QCBP即可，此时RtQC1CRtPCB，所以PC，点P恰好是CC1的中点.
