1、2.1.2直线的方程第1课时点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率kyy0k(xx0)斜率存在的直线知识点二直线的斜截式方程(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b，可正，可负，也可为零.(2)直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb斜率存在的直线一、直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)过点P(4,3)，斜率
2、k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2,3)，Q(5，4)两点；(4)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y2x7的倾斜角相等.解(1)直线过点P(4,3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4).(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3).(3)过点P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2,3).直线的点斜式方程为y3(x2).(4)所求直线的斜率k2，又直线过点A(2,5)，直线的点斜式方程为y52(x2).反思感悟求直线的点斜式方程的步骤提示：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与
3、x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0.跟踪训练1(1)经过点(3,1)且平行于y轴的直线方程是_.(2)一直线l1过点A(1，2)，其倾斜角等于直线l2：yx的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为_.答案(1)x3(2)y2(x1)解析(1)直线与y轴平行，该直线斜率不存在，直线方程为x3.(2)直线l2的方程为yx，设其倾斜角为，则tan ，30，那么直线l1的倾斜角为23060，则l1的点斜式方程为y2tan 60(x1)，即y2(x1).二、直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的
4、截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150.由斜截式可得直线方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，斜率ktan 60.直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.反思感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线.(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2已
5、知直线l在y轴上的截距为2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程.(1)直线l经过点M(m，n)，N(n，m)(mn)；(2)直线l与坐标轴围成等腰三角形.解(1)由题意得直线l的斜率为k1，所以直线l的斜截式方程为yx2.(2)因为直线l在y轴上的截距为2，所以l与y轴的交点为P(0，2)，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴的交点坐标为(2,0)或(2,0).由过两点的斜率公式得k1或1，所以直线l的斜截式方程为yx2或yx2.三、直线方程的简单应用例3求经过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解方法一(点斜式)设直线方程为y4k(x3)(k0
6、).当x0时，y43k，当y0时，x3，3k4312，即3k211k40，k4或k.故直线方程为y44(x3)或y4(x3).方法二(斜截式)设直线方程为ykxb，直线经过点A(3,4)，3kb40.直线在两坐标轴上的截距之和为12，b12.由得或故直线方程为y4x16或yx3.反思感悟利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率.(2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距.跟踪训练3已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的直线方程.解设直线方程为yxb，则当x0时，yb；当y0时，x6b.由已知可得|b|6b|3，即6|
7、b|26，b1.故所求直线方程为yx1或yx1.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程.1.已知直线的方程是y2x1，则()A.直线经过点(1
8、,2)，斜率为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为1答案C解析由y2x1，得y2(x1)，所以直线的斜率为1，过点(1，2).2.方程yax表示的直线可能是图中的()答案B解析直线yax的斜率是a，在y轴上的截距为.易知a0.当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第二、三、四象限，仅有选项B符合.3.过点(1,0)且在y轴上的截距为的直线的斜截式方程是_.答案yx4.已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x4y30的斜率的2倍，则直线l的方程为_.答案y1(x2)解析由x4y30，得yx，其斜率为，故所求直线l的斜率为，又直线l过点P(2,1)，所以直线l的方程为y1(x2).5.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，求直线l的方程.解直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在.又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x3.
