1、第二节万有引力定律的应用知识目标核心素养1.掌握利用万有引力定律计算天体质量的方法2了解发现未知天体海王星、冥王星的过程3理解人造卫星的运动规律4知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度.1.了解万有引力定律对人类探索未知世界的作用2了解人造卫星的相关知识3知道科学的发展是人类认识世界和推动人类进步的强大动力.一、计算天体的质量1地球质量的计算：若月球绕地球做匀速圆周运动，则月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，根据Gm()2r可得M，知道月球绕地球运动的周期T以及它和地心之间的距离r就可以算出地球的质量2行星(或中心天体)的质量计算：已知卫星绕行星(或行星绕中心天体
2、)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，可以计算出行星(或中心天体)的质量二、发现未知天体1海王星的发现：英国剑桥大学青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，柏林天文台的望远镜在他们笔下计算出来的位置附近发现了这颗行星海王星2其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体三、人造卫星和宇宙速度1牛顿的设想：如图1所示，把物体水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造卫星图12近地卫星的速度(1)原理：卫星绕地球做匀速圆
3、周运动，运动所需的向心力由万有引力提供，所以m，解得：v.(2)结果：用地球半径R代表近地卫星到地心的距离r，可算出：v m/s7.9 km/s.3宇宙速度：数值意义第一宇宙速度7.9 km/s卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度第二宇宙速度11.2 km/s使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度第三宇宙速度16.7 km/s使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度1判断下列说法的正误(1)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量()(2)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量()(3)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的()(4)第一宇宙速度
4、是发射卫星的最小速度()(5)无论从哪个星球上发射卫星，发射速度都要大于7.9 km/s.()(6)当发射速度v7.9 km/s时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动()2已知月球半径为R，月球质量为M，引力常数为G，则月球的第一宇宙速度v_.答案一、天体质量和密度的计算1卡文迪许在实验室测出了引力常数G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”(1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度答案(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力(2)由mgG，得：M.2如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r
5、，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案由m地r知M太，可以求出太阳的质量由密度公式可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径天体质量和密度的计算方法重力加速度法环绕法情景已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgG行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Gm()2r(Gm或Gm2r)天体质量天体(如地球)质量：M中心天体质量：M(M或M)天体密度(以T为例)说明利用mg求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度由F引F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周
6、运动的行星或卫星的质量例1假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常数为G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？答案(1)(2)解析设卫星的质量为m，天体的质量为M.(1)卫星贴近天体表面运动时有GmR，M根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为.(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有Gm(Rh)M.注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，rRh.针对训练
7、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.则该中心恒星与太阳的质量的比值约为()A. B1 C5 D10答案B解析由Gmr得M已知，则()3()21，B项正确例2有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：(1)星球半径与地球半径之比；(2)星球质量与地球质量之比答案(1)41(2)641解析(1)由mg得M，所以，R，.(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍根据M得.二、第一宇宙速度的理解
8、与计算1不同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？答案不同由m得，第一宇宙速度v，可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关2把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？答案越大向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力1第一宇宙速度：第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的绕行速度2推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g9.8 m/s2，则3推广由第一宇宙速度的两种表达式看出，第一宇宙速度的值由中心天体
9、决定，可以说任何一颗行星都有自己的第一宇宙速度，都应以v或v表示，式中G为引力常数，M为中心天体的质量，g为中心天体表面的重力加速度，R为中心天体的半径4理解(1)“最小发射速度”与“最大绕行速度”“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力所以近地轨道的发射速度(第一宇宙速度)是发射人造卫星的最小速度“最大绕行速度”：由Gm可得v，轨道半径越小，线速度越大，所以近地卫星的线速度(第一宇宙速度)是最大绕行速度(2)发射速度与发射轨道当7.9 km/sv发11.2 km/s时，卫星绕地球运动，且发射速度越大，卫星的轨道半径越大，绕行速度越小当11.2
10、 km/sv发16.7 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系一颗“小行星”当v发16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去例3我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为()A0.4 km/s B1.8 km/sC11 km/s D36 km/s答案B解析星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度卫星所需的向心力由万有引力
11、提供，Gm，得v，又由，故月球和地球的第一宇宙速度之比，故v月7.9 km/s1.8 km/s，因此B项正确例4某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中已知该星球的半径为R，求该星球的第一宇宙速度答案解析根据匀变速直线运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g，该星球的第一宇宙速度即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力，则mg，该星球的第一宇宙速度为v1 .1(天体质量的估算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图2所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2106 km，已知引力常数G6.671011
12、 Nm2/kg2，则土星的质量约为()图2A51017 kg B51026 kgC71033 kg D41036 kg答案B解析“泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力Gmr，其中T16243 600 s1.4106 s，代入数据解得M51026 kg.【考点】计算天体的质量【题点】天体质量的综合问题2(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要()A测定飞船的运行周期 B测定飞船的环绕半径C测定行星的体积 D测定飞船的运行速度答案A解析取飞船为研究对象，由GmR及MR3，知，故选A.【考点】天体密度的计算【题点】已知周期、半径求密度3(对宇
13、宙速度的理解)(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是()A第一宇宙速度v17.9 km/s，第二宇宙速度v211.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度答案CD解析根据v可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v17.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫
14、星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确4(第一宇宙速度的计算)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为()A16 km/s B32 km/sC4 km/s D2 km/s答案A【考点】第一宇宙速度的计算【题点】用万有引力提供向心力求解第一宇宙速度5(第一宇宙速度的计算)某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，水平射程为bR，a、b均为数值极小的常数，则这个星球的第一宇宙速度为()A.v0 B.v0C.v0 D.v0答案A解析设该星球表面的重力加速度为g，小球落地时间为t，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规律得aRgt2，bRv0t，联立以上两式解得g，第一宇宙速度即为该星球表面卫星线速度，根据星球表面卫星重力充当向心力得mgm，所以第一宇宙速度vv0，故选项A正确
