1、2019-2020学年河北省石家庄市正定县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，共32分.18小题各3分，912小题各2分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3分）数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是A5，4B8，5C6，5D4，52（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程是ABCD3（3分）射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为，则四人中成绩最稳定的是A甲B乙C丙D丁4（3分）如图，已知直线，直线、与直线、分别交于点、，则A7B7.5C8D8.55（3分）在美丽乡村的建设中，某村加大对绿化的投资年用于绿化投资
2、50万元，2018年用于绿化投资72万元，求这两年绿化投资的年平均増长率设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为ABCD6（3分）如图，在中，、分别是、的中点，下列说法中不正确的是ABCD7（3分）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5 的位置上，则球拍击球的高度应为ABCD8（3分）如图，在中，于点，则下列结论不正确的是ABCD9（3分）如图，中，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCD10（3分）兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在
3、地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4米，则树高为A7.3米B7.5米C11.8米D12.25米11（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有人参加这次聚会，则列出方程正确的是ABCD12（3分）如图，在直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，点的坐标为，线段的端点从点出发，沿的边按运动一周，同时另一端点随之在轴的非负半轴上运动，如果，那么当点运动一周时点运动的总路程是AB16C12D8二、填空题（共4小題，每小题3分，满分12分）13（3分）若，则14（3分）关于的一元二次方程有两个不相等
4、的实数根，则整数的最大值是 15（3分）有一块直角边，的的铁片，现要按图中方式把它加工成一个正方形铁片（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为16（3分）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，小球从点出发沿直线向点运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于人射角当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为；当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为；当小球第为正整数）次碰到点时，小球所经过的路程为三、解答题（本大题共6个大题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）（1）（2）（3）（4）18（6分）备战中考，初三的学子们感觉到睡眠的不足，经抽样调查了同学们的睡眠时
5、间，制成了如下两幅统计图请根据两幅图形解决下列问题（1）将条形统计图补充完整；求扇形统计图中代表的扇形的圆心角是（2）睡眠时间的中位数是（3）如果把睡眠时间低于7小时称为严重睡眠不足，请估算全校1080个初三同学中睡眠严重不足的人数19（8分）如图，已知，是直角坐标系平面上三点（1）把向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到画出平移后的图形，并写出点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形20（10分）如图，某社会实践活动小组实地测量滹沱河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东45方向，然后向西
6、走到达点，測得点在点的北偏东方向，如图（1）直接写出，的度数（2）求出这段河的宽（结果保留根号）21（10分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产56件，每件利润为10元调査表明：每生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕提高了几个档次？属于第几档次产品？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的总利润为720元，为尽量提高档次，该烘焙店生产的是第几档次的产品？22（10分）已知：如图，在矩形中，是对角线，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点
7、从点出发，沿方向匀速运动，速度为过点作于点，连接，设运动时间为，解答下列问题：（1）时，；写出四边形的面积为与时间的函数关系式；（2）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）当为何值时，与相似？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，共32分.18小题各3分，912小题各2分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3分）数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是A5，4B8，5C6，5D4，5【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可【解答】解：出现了2次，出现的次数最多，众数是4；这组数据的平均数是：
8、；故选：【点评】此题考查了众数和平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个2（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程是ABCD【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可【解答】解：、方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；、方程是一元二次方程，故本选项符合题意；、方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；、方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键3（3分）射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为，则四人中成绩最稳定的是A甲B乙C丙D丁【分析】根据方差
9、是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案【解答】解：，丁成绩最稳定，故选：【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大4（3分）如图，已知直线，直线、与直线、分别交于点、，则A7B7.5C8D8.5【分析】由直线，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，即可求得的长，则可求得答案【解答】解：，解得：，故选：【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用5（3分）在美丽乡村的建设中，某村加大对绿化的投资年用于绿化投资50万元，2018年用于绿化投
10、资72万元，求这两年绿化投资的年平均増长率设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为ABCD【分析】设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据2016年及2018年用于绿化投资的金额，即可得出关于的一元二次方程，此题得解【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为，依题意，得：故选：【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键6（3分）如图，在中，、分别是、的中点，下列说法中不正确的是ABCD【分析】根据中位线的性质定理得到，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定【解答】解：、分别是、的中点，正确，错误；故选：【点评】该题
11、主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明7（3分）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5 的位置上，则球拍击球的高度应为ABCD【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解【解答】解：，即，则，故选：【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题8（3分）如图，在中，于点，则下列结论不正确的是ABCD【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答【解答】解：在中，综上，只有不正确
12、故选：【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义9（3分）如图，中，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCD【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误故选：【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键10（3分）兴趣小组
13、的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4米，则树高为A7.3米B7.5米C11.8米D12.25米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似据此可构造出相似三角形【解答】解：根据题意可构造相似三角形模型如图，其中为树高，为树影在第一级台阶上的影长，为树影在地上部分的长，的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知即
14、为树影在地上的全长；延长交于，则，物高：影长又，即树高为7.3米故选：【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目11（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有人参加这次聚会，则列出方程正确的是ABCD【分析】如果有人参加了聚会，则每个人需要握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于的方程【解答】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：（次；依题意，可列方程为：；故选：【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键
15、；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制12（3分）如图，在直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，点的坐标为，线段的端点从点出发，沿的边按运动一周，同时另一端点随之在轴的非负半轴上运动，如果，那么当点运动一周时点运动的总路程是AB16C12D8【分析】首先根据题意正确画出从运动一周的图形，分四种情况进行计算：点从时，路程是线段的长；当点从时，为垂足），点从运动到，计算的长就是运动的路程；点从时，点由向左运动，路程为；点从时，点运动的路程就是点运动的路程；最后相加即可【解答】解：在中，当点从时，如图1、图2所示，点运动的路程为，如图3所示，则，即运动到与垂直时，垂足
16、为，当点从时，则点运动的路程为，当点从时，如图3所示，点运动的路程为，当点从时，点运动的路程为，点运动的总路程为：故选：【点评】本题考查了轨迹，主要是应用三角函数定义来解直角三角形；解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题二、填空题（共4小題，每小题3分，满分12分）13（3分）若，则【分析】根据已知求出，再代入要求的式子，然后进行计算即可【解答】解：，；故答案为：【点评】本题考查了比例的基本性质，比较简单，掌握比例的性质是解题的关键14（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是0【分析】若一元二次方程有两不等实数根，
17、则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，解得，故整数的最大值为0，故答案为0【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根15（3分）有一块直角边，的的铁片，现要按图中方式把它加工成一个正方形铁片（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为【分析】过点作，垂足为，交于，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度可得【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于，设，则有：，解得，故答案为：【
18、点评】本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键16（3分）如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，小球从点出发沿直线向点运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于人射角当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为；当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为；当小球第为正整数）次碰到点时，小球所经过的路程为【分析】根据已知中的点，的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度【解答】解：根据已知中的点，的位置，可知入
19、射角的正切值为，第一次碰撞点为，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为，在上，且，第三次碰撞点为，在上，且，第四次碰撞点为，在上，且，第五次碰撞点为，在上，且，第六次回到点，由勾股定理得：，当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为，当小球第为正整数）次碰到点时，小球所经过的路程为，故答案为：，【点评】本题主要考查了轨迹、反射原理、勾股定理与三角形相似知识的运用通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道学科综合试题，有一定难度三、解答题（本大题共6个大题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
20、步骤）17（8分）（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）将特殊锐角的三角函数值代入计算可得【解答】解：（1），则或，解得，；（2），则，即，；（3），则，或，解得，；（4）原式【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18（6分）备战中考，初三的学子们感觉到睡眠的不足，经抽样调查了同学们的睡眠时间，制成了如下两幅统计图请根据两幅图形解决下列问题（1）将条形统计图补充完整；求扇形统计图中
21、代表的扇形的圆心角是（2）睡眠时间的中位数是（3）如果把睡眠时间低于7小时称为严重睡眠不足，请估算全校1080个初三同学中睡眠严重不足的人数【分析】（1）先求出总人数，继而根据的百分比可得对应的人数，再用总人数减去、人数可得的数量，用占总人数的比例乘以可得；（2）根据中位数的定义可得答案；（3）用总人数乘以睡眠时间低于7小时的人数所占的百分比即可【解答】解：（1）调查的总人数为人，及以下的人数为（人，的人数为，将条形统计图补充完整如下：图中代表的扇形的圆心角是，故答案为：；（2）把这些数从小到大排列，则中位数是（小时），故答案为：7小时；（3）根据题意得：（人答：初三同学中睡眠不足的人数为48
22、6人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19（8分）如图，已知，是直角坐标系平面上三点（1）把向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到画出平移后的图形，并写出点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形【分析】（1）直接利用平移的性质，可分别求得各点的坐标，继而画出图形；（2）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形【解答】解：（1）如图所示，其中的坐标为：；（2）符合条
23、件有两个，如图所示【点评】此题考查了位似变换与平移的变换注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键20（10分）如图，某社会实践活动小组实地测量滹沱河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东45方向，然后向西走到达点，測得点在点的北偏东方向，如图（1）直接写出，的度数（2）求出这段河的宽（结果保留根号）【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；（2）作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可【解答】解：（1），；（2）过点作于点，设，在中，在中，即河宽为【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向
24、角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键21（10分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产56件，每件利润为10元调査表明：每生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕提高了几个档次？属于第几档次产品？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的总利润为720元，为尽量提高档次，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【分析】（1）根据提升的档次（每件的利润，即可求出提升的档次，加1后可得出产品所属的档次；（2）设提高了个档次，则每天可生产件，每件的利润为元，根据
25、总利润单件利润生产数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论【解答】解：（1）（个，答：提高了三个档次，属于第四档次产品（2）设提高了个档次，则每天可生产件，每件的利润为元，依题意，得：，整理，得：，解得：，为尽量提高档次，提高了五个档次，应生产第六档的产品【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键22（10分）已知：如图，在矩形中，是对角线，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为过点作于点，连接，设运动时间为，解答下列问题：（1）时，；写出四边形的面积为与时间的函数关系式；（2）是否存在某一时刻
26、，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）当为何值时，与相似？【分析】（1）利用相似三角形的性质分别求出，的面积即可解决问题（2）存在，使首先根据四边形是矩形，求出的值是多少；然后分别求出、的面积各是多少，再根据，求出的值是多少即可（3）当或时，与相似根据题意，分两种情况讨论：当时，与相似；当时，与相似；求出当为何值时，与相似即可【解答】解：（1）如图1，由题意，四边形是矩形，即，解得，故答案为，（2）存在，使由题意：四边形是矩形，整理，可得解得或（舍去），存在，使（3）当或时，与相似当时，即，解得，当为时，与相似当时，与相似，即，在中，解得或（舍去）综上，可得当或时，与相似【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，四边形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
