1、2019-2020学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）下列实数中，为无理数的是A0.1BCD2（3分）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨将数67500用科学记数法表示为ABCD3（3分）下列运算中，正确的是ABCD4（3分）某校篮球队13名同学的身高如下表：身高175180182185188人数（个15421则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是A182，180B180，180C180，182D188，1825（3分）下列命题中，真命题是A两对角线相等的四边形是矩形B两对角线互相平分的四边形
2、是平行四边形C两对角线互相垂直的四边形是菱形D两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形6（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是ABCD7（3分）如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论不成立的是ABCD8（3分）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和12，则的面积为A4B17C16D559（3分）已知，则一次函数的大致图象为ABCD10（3分）如图，在中，将在平面内绕点旋转到的位置若，则的度数为ABCD11（3分）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润200元，其利润率为现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为A475元B875元C
3、562.5元D750元12（3分）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；，其中正确结论的个数是ABCD二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是 14（3分）若，则 15（3分）如图，直线，点、分别在直线、上若，则 度16（3分）如图，是圆的弦，半径于点，且，则的长为 17（3分）设、是实数，且满足，则的值为18（3分）如图，正方形与正方形的边长都为1，正方形绕正方形的顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长取值范围为三、解答题（本题共2小题，每题6分，满分12分）19（6分）计算：20（6分）先化简，再求值：，其中四、解答题（本题共2小题
4、，每题8分，满分16分）21（8分）博才中学校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）博才中学共有7200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？22（8分）已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图）（1）求证：；（2）若大圆的半径，小圆的半径，且圆到直线的距离为6，求的长五、解答题（本题共2小题，每题9分，满分18分）23（9分）某商场要经营一种新上市的文具，
5、进价为20元件，试营销阶段发现：当销售单价25元件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了、两种营销方案：方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案：每件文具的利润不低于25元且不高于29元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由24（9分）如图，四边形中，是边的中点已知，（1）若，求的度数；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当为直角三角形时，求边的长六、解答题（本题共2小题，每题
6、10分，满分20分）25（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的“开心值”在函数存在“开心值”时，该函数的最大“开心值”与最小“开心值”之差称为这个函数的“开心长度”特别地，当函数只有一个“开心值”时，其“开心长度” 为零（1）分别判断函数，有没有“开心值”？如果有，直接写出其“开心长度”；（2）函数若其“开心长度”为零，求的值；若，求其“开心长度” 的取值范围；（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，函数的图象由和两部分组成，求函数 “开心长度” 取值范围为多少？26（10分）如图1，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，
7、交轴于点点为抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，过点作于点，连接，设点的横坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）当为等腰直角三角形时，求线段的长；（3）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，且旋转角，当点的对应点落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标2019-2020学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）下列实数中，为无理数的是A0.1BCD【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定
8、选择项【解答】解：0.1是有限小数，属于有理数，故选项不合题意；是分数，属于有理数，故选项不合题意；是无理数，故选项符合题意；是整数，属于有理数，故选项不合题意故选：【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数2（3分）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨将数67500用科学记数法表示为ABCD【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数【解答】解：将67500用科学记数法表示为：故
9、选：【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值3（3分）下列运算中，正确的是ABCD【分析】根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可【解答】解：、与不能合并，错误；、，正确；、，错误；、，错误；故选：【点评】此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算4（3分）某校篮球队13名同学的身高如下表：身高175180182185188人数（个15421则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是A182，180B180，180C180，182D188，182【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位
10、数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数【解答】解：由图表可得，众数是：，中位数是：故选：【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错5（3分）下列命题中，真命题是A两对角线相等的四边形是矩形B两对角线互相平分的四边形是平行四边形C两对角线互相垂直的四边形是菱形D两对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【分析】分别利用矩形、菱形、正方形及平行四边形的判定方法判定后即可确定正确的选项【解答
11、】解：、对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形，故错；、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确；、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错；、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误；故选：【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形及平行四边形的判定方法，难度不大6（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是ABCD【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：解不等式得：，解不等式得：，故不等式组的解集是：故选：【点评】此题考查不等式的解集问题，关键是根据不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表
12、示出来，向右画；，向左画），在表示解集时“，”要用实心圆点表示；“，”要用空心圆点表示7（3分）如图，是的直径，弦，垂足为，下列结论不成立的是ABCD【分析】先根据垂径定理得，再根据圆周角定理得到，而与的关系不能判断【解答】解：是的直径，弦，故选：【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理8（3分）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和12，则的面积为A4B17C16D55【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可【解答】解：由于、都是正方形，所以，；，即，；在中，由勾股定理得：，即故选：【点评】此题主要考查对全等三
13、角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强9（3分）已知，则一次函数的大致图象为ABCD【分析】根据、的符号确定直线的变化趋势和与轴的交点的位置即可【解答】解：，一次函数的图象从左到右是上升的，一次函数的图象交于轴的正半轴，故选：【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大10（3分）如图，在中，将在平面内绕点旋转到的位置若，则的度数为ABCD【分析】根据旋转的性质可知，所以理由角的和差求出度数即可【解答】解：，根据旋转的性质可知故选：【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决旋转问题的关键是找准旋转角和旋转后的对应相等的量11
14、（3分）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润200元，其利润率为现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为A475元B875元C562.5元D750元【分析】设该商品的标价为元，根据题意可以得到，的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润【解答】解：设该商品的标价为元，由题意，得解得：则（元故选：【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键12（3分）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；，其中正确结论的个数是ABCD【分析】令，代入抛物线判断出正确；根据抛物线与轴的交点判断出正确；根据抛物线
15、的对称轴为直线列式求解即可判断错误；令，代入抛物线即可判断出错误，根据与轴的交点判断出，然后求出正确【解答】解：由图可知，时，故正确；抛物线与轴有两个交点，故正确；抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，故错误；由图可知，时，故错误；当时，故正确；综上所述，结论正确的是故选：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出的取值范围【解答】解：根据二次根式有意义
16、的条件，故答案为：【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可14（3分）若，则【分析】根据两內项之积等于两外项之积列式整理即可得解【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键15（3分）如图，直线，点、分别在直线、上若，则120度【分析】根据两直线平行，同位角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后相加即可得解【解答】解：如图，故答案为：120【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键16（3分）如图，是圆的弦，半径于点，且，则的长为2【分析】利用勾股定理和垂径
17、定理即可求解【解答】解：，由勾股定理可得：，故答案为：2【点评】主要考查了垂径定理的运用垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解17（3分）设、是实数，且满足，则的值为【分析】直接利用非负数的性质分别得出，的值进而得出答案【解答】解：，解得：，故故答案为：【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键18（3分）如图，正方形与正方形的边长都为1，正方形绕正方形的顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长取值范围为【分析】由题意可求，且点是以为圆心，为半径的圆上一点，即可求的取值范围【解
18、答】解：正方形与正方形的边长都为1点是以为圆心，为半径的圆上一点当，三点共线且在线段之间时，最短为当，三点共线且在线段之间时，最长为故答案为【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用点的轨迹求的取值范围是本题的关键三、解答题（本题共2小题，每题6分，满分12分）19（6分）计算：【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用算术平方根的定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果【解答】解：原式【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（6分）先化简，再求值：，其中【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式
19、，再将的值代入计算可得【解答】解：原式，当时，原式【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则四、解答题（本题共2小题，每题8分，满分16分）21（8分）博才中学校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）博才中学共有7200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？【分析】（1）从两个统计图中可得到跳绳的人数是10人，占调查人数的，即可求出调
20、查人数，（2）求出喜欢足球的人数，跑步的人数即可补全条形统计图，（3）样本估计总体，样本中喜欢篮球比喜欢足球多，即求7200的即可【解答】解：（1）人，答：本次被调查的学生人数为40人（2）人，人，补全条形统计图如图所示：（3）人，答：博才中学7200名学生中最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多540人【点评】考查条形统计图、扇形统计图的意义及制作方法，从统计图获得数量及数量之间的关系是解决问题的关键22（8分）已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图）（1）求证：；（2）若大圆的半径，小圆的半径，且圆到直线的距离为6，求的长【分析】（1）过作，根据垂径定理得到，从而得到；（
21、2）由（1）可知，且，连接，再根据勾股定理求出及的长，根据即可得出结论【解答】（1）证明：过作于点，则，即；（2）解：由（1）可知，且，连接，【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键五、解答题（本题共2小题，每题9分，满分18分）23（9分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营销阶段发现：当销售单价25元件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情
22、况，提出了、两种营销方案：方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案：每件文具的利润不低于25元且不高于29元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较【解答】解：（1）由题意得，销售量，则；（2），函数图象开口向下，有最大值，当时，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）方案利润高理由如下：方案中：，故当时，有最大值，此时；方案中：故的取值范围为：，函数，对称轴为直线，当时，有最大值
23、，此时，方案利润更高【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得24（9分）如图，四边形中，是边的中点已知，（1）若，求的度数；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当为直角三角形时，求边的长【分析】（1）如图1，证明是等边三角形可得结论；（2）如图2，过作于，在中，依据勾股定理可得，进而得出关于的函数关系式；（3）分三种情况讨论：，利用全等三角形的性质以及相似三角形的性质，即可得到边的长为2或
24、【解答】解：（1）如图1，中，是等边三角形，；（2）如图2，过作于，由，得四边形为矩形，在中，则，关于的函数关系式；（3）分三种情况讨论：当时，如图2，垂直平分，而，则在中，；如图3，当时，设，则，而，即解得或（舍去）；易知，故不可能为直角；综上所述，边的长为2或【点评】本题考查了三角形综合题：熟练掌握勾股定理、平行线的性质、全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似比表示线段之间的关系和直角三角形的勾股定理是解决问题的关键；注意运用分类讨论的思想解决数学问题六、解答题（本题共2小题，每题10分，满分20分）25（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其
25、函数值等于，则称为这个函数的“开心值”在函数存在“开心值”时，该函数的最大“开心值”与最小“开心值”之差称为这个函数的“开心长度”特别地，当函数只有一个“开心值”时，其“开心长度” 为零（1）分别判断函数，有没有“开心值”？如果有，直接写出其“开心长度”；（2）函数若其“开心长度”为零，求的值；若，求其“开心长度” 的取值范围；（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，函数的图象由和两部分组成，求函数 “开心长度” 取值范围为多少？【分析】（1）若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，即，联立和并解得：，故有“开心值”， ，即可求解；（2）联立与并整理得：，其“开心长度”为零，
26、则，即，解得：，由知，当时，且越大，越大，即可求解；（3）分即、时即、，三种情况分别求解即可【解答】解：（1）若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，即，联立和并解得：，故有“开心值”， ；联立和并解得，；（2）联立与并整理得：，其“开心长度”为零，则，即，解得：，由知，当时，且越大，越大，当时，或1，同理时，故；（3），当时，设：的函数表达式为：，将点代入上式并解得：的函数表达式为：，求函数的“开心值”相对于求函数与函数（设为函数的交点，如下图，函数与函数在第一象限最多有3个交点，函数与函数的交点：联立与并解得：或1，故：两个函数在第一象限的交点为：，即点；联立函数与函数的表达式并整理
27、得：，设点、的横坐标为，则，当时，或（舍去负值），当，即时，存在点、，而点，故点不存在，当时，故；当时，则点不存在，函数与函数只有一个交点，则；时，即函数和函数有一个交点，则，综上，或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、韦达定理的运用，本题的难点是将定义的概念转化为求两个函数的交点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏26（10分）如图1，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，交轴于点点为抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，过点作于点，连接，设点的横坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）当为等腰直角三角形时，求线段的长；（3）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，且旋转角，当点的对应点
28、落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标【分析】（1）先求出直线的解析式，确定出点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由为等腰直角三角形，判断出，建立的方程计算出，从而求出；（3）分点落在轴和轴两种情况计算即可当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，交于点，先利用互余和旋转角相等得出，进而表示出，用，用，建立方程即可；同的方法即可得出结论【解答】解：（1）直线交轴于点，令，抛物线经过点，交轴于点，抛物线解析式为；（2）点的横坐标为，且点在抛物线上，轴，点坐标为，当为等腰直角三角形时，解得：（舍去），当为等腰直角三角形时，线段的长为或（3），当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，交于点，轴，由旋转知，如图1，由旋转知，在中，在中，解得（舍去），或，如图2，同的方法得，或（舍去），或，当点落在轴上时，如图3，过点作轴，交于，过点作轴，交的延长线于点，同的方法得，解得：，综合以上可得，或，或【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形，熟练掌握方程思想的运用
