1、2019-2020学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）二次函数与轴交点坐标为ABCD2（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是ABCD3（3分）如图，在等腰直角中，将绕顶点逆时针旋转后得到，则的度数为ABCD4（3分）将二次函数化为的形式，结果为ABCD5（3分）如图，在矩形中，将绕点按逆时针旋转到、在同一直线上），连接，则的长为A5BCD6（3分）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为ABCD7（3分）如图，是的弦，于点，若，则弦的长为ABC2D48（3分）如
2、图，在中，在轴正半轴上，把绕点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标为A，BCD9（3分）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为ABCD10（3分）己知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示01233676下列说法错误的是A函数图象开口向下B抛物线的对称轴是直线CD当时，11（3分）如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为ABC1D312（3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：；（其中其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）把抛物线向左平移3个单位长度所得图象的
3、解析式是14（3分）在半径为的圆中，长为的弦所对的圆周角的度数为 15（3分）已知点与点关于坐标原点对称，则 16（3分）如图，是的内切圆，与、分别相切于点、，若，则17（3分）如图，是圆的弦，点是圆上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是18（3分）如图，在中，为直角顶点，为斜边的中点，将绕着点逆时针旋转至，当恰为轴对称图形时，的值为 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，已知点的坐标为，点的坐标为（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标（2）求的面积20（8分）四边形是正方形
4、，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，求（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求的长度；（3）与的位置关系如何？请说明理由21（10分）如图，内接于，为的直径，、若，（1）求证：四边形为菱形（2）求的长22（10分）如图，的弦，过点的切线交的延长线于点，交于点，及延长线分别交、于点、（1）求证：垂直平分；（2）求证：；（3）若弦，求的半径23（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元为整数）时，月销售利润为元（1）分析数量关系填表：每台售价（元303132月销售量（台180170160（2）求
5、与之间的函数解析式和的取值范围（3）当售价（元台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（元最大？最大利润是多少？24（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点，分别是线段和上的点，将绕点逆时针旋转一个角度（1）若，在旋转过程中当点，在同一直线上时，连接，如图2求证：，且（2）若，恰好是线段和上的中点，在旋转过程中，当时，求的值及点的坐标25（10分）如图，抛物线过点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，点是线段上的动点（1），抛物线的顶点坐标为；（2）求直线的解析式；（3）过点的直线垂直于轴，交抛物线于点，连接，当的面积等于的面积的一半时，求点的坐标2019-2020学年天津市滨海新区
6、九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）二次函数与轴交点坐标为ABCD【分析】二次函数图象与轴交点横坐标就是的根，解方程即可【解答】解：二次函数图象与轴交点横坐标就是的根，解方程，得：，二次函数图象与轴交点坐标为；故选：【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、方程的解法；明确二次函数图象与轴交点横坐标就是的根是解题关键2（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做
7、轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心【解答】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意故选：【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合3（3分）如图，在等腰直角中，将绕顶点逆时针旋转后得到，则的度数为ABCD【分析】根据等腰直角三角形的
8、性质得到，根据旋转的性质得到，结合图形计算即可【解答】解：是等腰直角三角形，由旋转的性质可知，故选：【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键4（3分）将二次函数化为的形式，结果为ABCD【分析】根据配方法整理即可得解【解答】解：故选：【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键5（3分）如图，在矩形中，将绕点按逆时针旋转到、在同一直线上），连接，则的长为A5BCD【分析】由于按逆时针方向绕点旋转到，显然，则有，那么，即在中，利用勾股定理可求，同理在中，利用勾股定理可求【解答】解：按逆时针方向绕点旋转到，又四边形是矩形，又
9、在中，在中，故选：【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质以及勾股定理的运用，证明是等腰直角三角形是解题的关键6（3分）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为ABCD【分析】连接，先根据圆周角定理得出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】解：连接，为的直径，故选：【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键7（3分）如图，是的弦，于点，若，则弦的长为ABC2D4【分析】在中，由，解直角三角形求得，然后利用垂径定理解答即可【解答】解：于，在中，故选：【点评】本题考查了垂径定理的应用，解直角三角形等，难度不大8（3分）如图，在中，在轴正半轴上，把绕
10、点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标为A，BCD【分析】如图，作轴于解直角三角形求出，即可解决问题【解答】解：如图，作轴于在中，故选：【点评】本题考查坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型9（3分）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为ABCD【分析】根据圆内接四边形的性质求出，然后根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：四边形是的内接四边形，故选：【点评】本题考查的圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键10（3分）己知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示01233676下列说法
11、错误的是A函数图象开口向下B抛物线的对称轴是直线CD当时，【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线，故选项正确，该函数的顶点坐标是，有最大值，开口向下，故选项正确，该函数与轴有两个交点，故，故选项正确，当时，故选项错误，故选：【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答11（3分）如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为ABC1D3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点可得答案【
12、解答】解关于的方程，有一个根为4，抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为，抛物线与轴的另一个交点为，方程的另一个根为故选：【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性12（3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，经过点，有下列结论：；（其中其中正确的结论有A1个B2个C3个D4个【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得到，则可对进行判断，利用时，可对进行判断；把代入中可对进行判断；利用时，函数的最大值为可对进行判断【解答】解：抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点在轴上方，所以正确；时，即，
13、所以错误；把代入中得，所以正确；抛物线的对称轴为直线，时，函数的最大值为，即，所以正确故选：【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左； 当与异号时，对称轴在轴右常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13（3分）把抛物线向左平移3个单位长度所得图象的解析式是【分析】根据“左加右减，上加下减”
14、的平移规律求解即可【解答】解：把抛物线向左平移3个单位长度所得图象的解析式是故答案为【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式14（3分）在半径为的圆中，长为的弦所对的圆周角的度数为或【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点，连接，在劣弧上取点，连接，易得是等边三角形，再利用圆周角定理，即可求得答案【解答】解：如图，首先在优弧上取点，连接，在劣弧上取点，连接，是等边三角形，所对的圆周角的度数为：或【点评】此题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键15（3分）已知点与点关于坐标原点对称
15、，则2【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于，的等式进而求出答案【解答】解：点与点关于坐标原点对称，故，则故答案为：2【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键16（3分）如图，是的内切圆，与、分别相切于点、，若，则【分析】连结、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，则，然后根据四边形内角和计算的度数【解答】解：连结、，如图，是的内切圆，与、分别相切于点、，故答案为：【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键17（3分）如图，是圆的弦，点是圆上的一个动点，
16、且，若点、分别是、的中点，则的最大值是20【分析】连接、，如图，根据圆周角定理得到，则，再根据三角形中位线性质得到，然后利用为直径时，的值最大可确定的最大值【解答】解：连接、，如图，为等腰直角三角形，点、分别是、的中点，当为直径时，的值最大，的最大值为20，故答案为：20【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了三角形中位线性质18（3分）如图，在中，为直角顶点，为斜边的中点，将绕着点逆时针旋转至，当恰为轴对称图形时，的值为或或【分析】如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当
17、时，如图2，连接并延长交于，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到【解答】解：恰为轴对称图形，是等腰三角形，如图1，连接，为斜边中点，当时，垂直平分，当时，如图2，连接并延长交于，垂直平分，；当时，如图3，连接并延长交于，连接，为斜边中点，垂直平分，综上所述：当恰为轴对称图形时，的值为或或，故答案为：或或【点评】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键三、解答题（本大题
18、共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，已知点的坐标为，点的坐标为（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标（2）求的面积【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；（2）由三角形的面积公式解答【解答】解：（1）把，分别代入，得：解得：，故该二次函数解析式为：；（2）由知，所以的面积是8【点评】考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，难度不大，但需要一定的计算能力20（8分）四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，求（1）指出旋转中心和旋转角度；（
19、2）求的长度；（3）与的位置关系如何？请说明理由【分析】（1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得，然后根据计算即可得解；（3）根据旋转可得和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）根据正方形的性质可知：，即，；可得旋转中心为点；旋转角度为或；（2）；（3），延长与相交于点，则，即与是垂直关系【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度21（10分）如图，内接于，为的直径，、若，
20、（1）求证：四边形为菱形（2）求的长【分析】（1）由已知条件和垂径定理以及圆周角定理易证四边形为平行四边形，再由邻边相等的平行四边形为菱形，问题得证；（2）由（1）可知，在中利用勾股定理即可求出的长【解答】解：（1）证明：，为的直径，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形；（2）由（1）可知，在中，【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键22（10分）如图，的弦，过点的切线交的延长线于点，交于点，及延长线分别交、于点、（1）求证：垂直平分；（2）求证：；（3）若弦，求的半径【分析】（
21、1）由是的切线，且过圆心，可得，又由，则，进而可知垂直平分；（2）可先证，四边形是平行四边形，即可证明；（3）连接可先求得，在中，由勾股定理得；设圆的半径为，则，在中，由勾股定理可求得【解答】（1）证明：是的切线，且过圆心，是的直径所在的直线，又，为的中点，即平分，则垂直平分；（2分）（2）证明：由（1）知：，又，；又，（4分）；且，四边形是平行四边形，；（5分）（3）解：连接，；在中，由勾股定理得，；（6分）设圆的半径为，则，在中，由勾股定理得，有：，解得，（8分）的半径为【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂
22、直构造直角三角形解决有关问题23（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元为整数）时，月销售利润为元（1）分析数量关系填表：每台售价（元303132月销售量（台180170160（2）求与之间的函数解析式和的取值范围（3）当售价（元台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（元最大？最大利润是多少？【分析】（1）由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；（2）由销售利润每件商品的利润上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值
23、；（3）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；【解答】解：（1），以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，所以当每件商品的售价上涨元为整数）时，则月销售量为，故答案为：；（2）由题意可知：，且为整数）；（3）由（2）知，且为整数），当时，元；每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最
24、小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得24（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点，分别是线段和上的点，将绕点逆时针旋转一个角度（1）若，在旋转过程中当点，在同一直线上时，连接，如图2求证：，且（2）若，恰好是线段和上的中点，在旋转过程中，当时，求的值及点的坐标【分析】（1）证明，可得，则结论得证；（2）由勾股定理求出长，可求出 的长，如图1，当时，求出点的坐标为，如图2，当时，求出点的坐标为【解答】（1）证明：点，垂直平分，根据旋转的性质得，又，即；（2）解：由（1）知，在，是线段和上的中点，如图1，当时，即，此时点的坐标为，如图2，当时，即，此时点的坐标为【点评】本题考查了旋转的性质
25、，全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，解题的关键结合题意画出图形，熟练掌握全等三角形的判定与性质25（10分）如图，抛物线过点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，点是线段上的动点（1）2，抛物线的顶点坐标为；（2）求直线的解析式；（3）过点的直线垂直于轴，交抛物线于点，连接，当的面积等于的面积的一半时，求点的坐标【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式求得的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；（2）结合（1）中抛物线解析式求得点的坐标，利用点、的坐标来求直线解析式；（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标，易得结合三角形面积公式求得设，则利用分割法得到：根据已知条件列出方程通过解方程求得的值，即可求得点的坐标【解答】解：（1）把代入，得解得故该抛物线解析式为：，即故顶点坐标是故答案是：2；（2）由（1）知，抛物线解析式为：当，则，点的坐标是设直线的解析式为：把，分别代入，得解得直线的解析式为：；（3）当时，解得，设，则当的面积等于的面积的一半时，解得，或【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系
