1、2018年中考复习卷之动点问题专练一解答题（共14小题）1已知：如图，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，点P从C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3cm/s的速度向B运 动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动从运动开始（1）经过多少时间，四边形AQPD是平行四边形？（2）经过多少时间，四边形AQPD成为等腰梯形？（3）在运动过程中，P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？2如图，直线y=x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒
2、1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0t3）（1）写出A，B两点的坐标；（2）设AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标3如图，直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于
3、点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值4如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，3），动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒（1）请写出APD的面积S关于t 的函数关系式 ，此时t的取值范围是 （2）若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停止时，
4、点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CPPQ？（3）在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，OAB=90，OC=50点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m已知t=40时，直线l恰好经过点C（1）求点A和点C的坐标；（2）当0t30时，求m关于
5、t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当PMB+POC=90，且PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标6如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=x+b也随之移动，设移动时间为t秒（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上7如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OAOB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负
6、半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由8如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐
7、标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标9如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，
8、沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由10如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另
9、一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积11如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx3（a0）与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛
10、物线上存在点K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K点坐标12如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由13边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系
11、中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DEDC，DE=DC以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒过点P作PFCD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的
12、一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D（1）求b、c的值；（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由2018年中考复习卷之动点问题专练参考答案与试题解析一解答题（共14小题）1已知：如图，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，点P从C出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从A出发，以3cm/s的速度向B运 动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动从运动开始（
13、1）经过多少时间，四边形AQPD是平行四边形？（2）经过多少时间，四边形AQPD成为等腰梯形？（3）在运动过程中，P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？【分析】（1）设P、Q运动了t秒，则PC=t，AQ=3t，根据DP=AQ，得出24t=3t求出即可；（2）当PCBQ=2cm时，推出t（263t）=2，求出即可；（3）若能构成正方形则PC=BC=8cm，求出t=8，不符合题意，即可判断【解答】解：设P、Q运动了t秒，则PC=tcm，AQ=3tcm （1）当DP=AQ时，四边形AQPD是平行四边形 即：24t=3t，解得：t=6，答：经过6秒四边形AQPD是平行四边形（2）解：过D作DM
14、AB于M，过P作PNAB于N，四边形AQPD是等腰梯形，AM=QN=ABDC=2cm，即当NQ=2cm时，四边形AQPD成为等腰梯形，CP=t=BN，BQ=263t，QN=BNBQ，t（263t）=2，解得：t=7，答：经过7秒四边形AQPD是等腰梯形（3）答：不可能构成正方形，理由是：若能构成正方形则PC=BC=8cm，此时t=8，而QB=263t=2cm即QBPC，所以不可能构成正方形【点评】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行计算是解此题的关键2如图，直线y=x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点
15、出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0t3）（1）写出A，B两点的坐标；（2）设AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，AQP的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标【分析】（1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标；（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得
16、解；（3）根据相似三角形对应角相等，分APQ=90和AQP=90两种情况，利用OAB的余弦列式计算即可得解【解答】解：（1）令y=0，则x+8=0，解得x=6，x=0时，y=y=8，OA=6，OB=8，点A（6，0），B（0，8）；（2）在RtAOB中，由勾股定理得，AB=10，点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，AP=2t，AQ=ABBQ=10t，点Q到AP的距离为AQsinOAB=（10t）=（10t），AQP的面积S=2t（10t）=（t210t）=（t5）2+20，0，0t3，当t=3时，AQP的面积最大，S最大=（35）2+20=；（3）若APQ=90，则cosOAB
17、=，=，解得t=，若AQP=90，则cosOAB=，=，解得t=，0t3，t的值为，此时，OP=62=，PQ=APtanOAB=（2）=，点Q的坐标为（，），综上所述，t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与ABO相似，此时点Q的坐标为（，）【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论3如图，直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀
18、速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值【分析】（1）根据直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EPBO，得出=，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与
19、t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可【解答】解：（1）直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B，x=0时，y=4，y=0时，x=8，=，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，=，AP=2t，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，83t=t，解得：t=2；如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=82t，QP=t（82t）=3t8，t=3t8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，
20、OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，S矩形PEFQ=QPQF=（83t）t=8t3t2，当t=时，S矩形PEFQ的最大值为：=，如图2，当Q在P点的右边时，OQ=t，PA=2t，2t8t，t，QP=t（82t）=3t8，S矩形PEFQ=QPQF=（3t8）t=3t28t，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，t4，当t=时，S矩形PEFQ的最大，t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：34284=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键4如图，矩形OABC的边OA
21、、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，3），动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒（1）请写出APD的面积S关于t 的函数关系式S=t+，此时t的取值范围是0t2（2）若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CPPQ？（3）在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）过点D作DEOA，然后根据勾股定
22、理求出AC的长度，再根据平行，利用对应边成比例列式求出DE的长度，然后根据三角形的面积公式列式即可得解，再根据路程、速度与时间的关系求t的取值范围；（2）过点Q作QFOA于点F，然后判定COP和PQF相似，利用OAC的正弦求出QF的长度，再表示出PF的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可求出t的值；（3）因为等腰三角形的腰不明确，所以分AD=AP时，AD=PD时，底边为AP，AP=PD时，底边为AD，然后分别列式进行计算求解【解答】解：（1）过点D作DEOA，交OA于点E，点B（4，3），四边形ABCD是矩形，OA=BC=4，AB=OC=3，点A（4，0），点C（0，3），A
23、C=5，DEOA，DEOC，=，AD=2，=，解得DE=，P的速度是每秒2个单位长度，OP=2t，AP=OAOP=42t，SAPD=APDE=（42t）=t+，AC=4，AC=2，t的取值范围是0t2；（2）如图，过点Q作QFOA于点F，CPPQ，CPQ=90，QPA+CPO=90，CPO+OCP=90，QPA=OCP，COPPQF，=，Q的速度是每秒1个单位长度，AQ=t，QF=AQsinOAC=t=t，AF=AQcosOAC=t=t，PF=OAOPAF=42tt=4t，故=，解得t=，当t=秒时，CPPQ；（3）存在三种情况，使PDA为等腰三角形AD=AP时，AD=2，AD=AP，AP=2
24、，OP=OAAP=42=2，=1（秒），当t=1秒时，PDA是等腰三角形；AD=PD时，底边为AP，AD=PD，DEOA，AE=PE，DEOC，=，=，解得AE=，AP=2AE=，OP=OAAP=4=，OP=，即当t=秒时，PDA是等腰三角形；AP=PD时，底边为AD，过点P作PFAD，AP=PD，AF=DF=AD=2=1，EFAD，CAO=DAE，APFACO，=，=，解得AP=，OP=OAAP=4=，OP=，即当t=秒时，PDA是等腰三角形【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形的面积以及等腰三角形的判定，综合性较强，难度较大，需要仔细分析并细心进行计算，（3）中要注意分情况进行讨论5如图
25、，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，OAB=90，OC=50点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m已知t=40时，直线l恰好经过点C（1）求点A和点C的坐标；（2）当0t30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当PMB+POC=90，且PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理
26、结合B点坐标得出A，C点坐标；（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；（3）利用（2）中所求，利用当0t30时，当30t60时，分别利用m与t的关系式求出即可；（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可【解答】解：（1）如图1，过点A作ADOB，垂足为D，过点C作CEOB，垂足为E，OA=AB，OD=DB=OB，OAB=90，AD=OB，点B的坐标为：（60，0），OB=60，OD=OB=60=30，点A的坐标为：（30，30），直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，OE=40，在RtOCE中，OC=50，由勾股定理得：CE=30，点C的坐标为
27、：（40，30）；（2）如图2，OAB=90，OA=AB，AOB=45，直线l平行于y轴，OPQ=90，OQP=45，OP=QP，点P的横坐标为t，OP=QP=t，在RtOCE中，OE=40，CE=30，tanEOC=，tanPOR=，PR=OPtanPOR=t，QR=QP+PR=t+t=t，当0t30时，m关于t的函数关系式为：m=t；（3）由（2）得：当0t30时，m=35=t，解得：t=20；如图3，当30t40时，m=35显然不可能；当40t60时，OP=t，则BP=QP=60t，PRCE，BPRBEC，=，=，解得：PR=90t，则m=60t+90t=35，解得：t=46，综上所述：
28、t的值为20或46；（4）如图4，由题意可得：PB=60t，PMB+POC=90，PMB+PBM=90，POC=PBM，tanPBM=，PM=（60t），BM=（60t），PMB的周长为60，PB+PM+BM=60，即60t+（60t）+（60t）=60，解得：t=40，即当PMB+POC=90且PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，则MBP=COP，故此时BMPOCP，则=，即=，解得：x=15，故M1（40，15），同理可得：M2（40，15），综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，15）【点评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性
29、质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键6如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=x+b也随之移动，设移动时间为t秒（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；（3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标
30、，最后分别求出时间t的值【解答】解：（1）直线y=x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b0，t0，b=1+t当t=3时，b=4，故y=x+4（2）当直线y=x+b过点M（3，2）时，2=3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4当直线y=x+b过点N（4，4）时，4=4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4t7（3）如右图，过点M作MF直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点过点M作MDx轴于点D，则OD=3，MD=2已知MED=OEF=45，则MDE与OEF均为等腰直角三角形，DE=MD=2，OE=OF=1，
31、E（1，0），F（0，1）M（3，2），F（0，1），线段MF中点坐标为（，）直线y=x+b过点（，），则=+b，解得：b=2，2=1+t，解得t=1M（3，2），E（1，0），线段ME中点坐标为（2，1）直线y=x+b过点（2，1），则1=2+b，解得：b=3，3=1+t，解得t=2故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上【点评】本题是动线型问题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质难点在于第（3）问，首先注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法7如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OAOB）
32、且OA、OB的长分别是一元二次方程x2（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）通过解一元二次方程x2（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC
33、的长，从而得到C点的坐标；（2）分当点M在CB边上时；当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标【解答】解：（1）x2（+1）x+=0，（x）（x1）=0，解得x1=，x2=1，OAOB，OA=1，OB=，A（1，0），B（0，），AB=2，又AB：AC=1：2，AC=4，C（3，0）；（2）AB=2，AC=4，BC=2，AB2+BC2=AC2，即ABC=90，由题意得：CM=t，CB=2当点M在CB边上时，S=2t（0t）；当点M在CB边的延长线上时，S=t2（t2）；（3）存在当AB是菱形的边时，如
34、图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，2），当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在RtAP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（x）2，解得x=，所以Q4（1，）综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2），Q3（1，2），Q4（1，）【点评】考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类
35、思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度8如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标【分析】（1）将A，B点坐标
36、代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标（3）注意到P，Q运动速度相同，则APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示【解答】方法（1）：解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得 ，y=x2x4C（0，4）（2）存在如图1，过点Q作QDOA
37、于D，此时QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0），AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=|x|，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0），说明点E在x轴的负半轴上；以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，1当E在A点左边时，OAAE=34=1，E（1，0）2当
38、E在A点右边时，OA+AE=3+4=7，E（7，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（，）理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形，FQOC，AF=，FQ=，Q（3，），DQ=AP=t，D（3t，），D在二次函数y=x2x4上，=（3t）2（3t）4，t=，或t=0（与A重合，舍去），D（，）方法二：（1）略（2）点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动过点Q作x轴垂
39、线，垂足为HA（3，0），C（0，4），lAC：y=x4，点P运动到B点时，点Q停止运动，AP=AQ=4，QH=，Qy=，代入LAC：y=x4得，Qx=，则Q（，），点E在x轴上，设E（a，0），A（3，0），Q（，），AEQ为等腰三角形，AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，（a3）2=（a）2+（0+）2，a=，（a3）2=（3）2+（0+）2，a1=7，a2=1，（a）2+（0+）2=（3）2+（0+）2，a1=，a2=3（舍）点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）（3）P，Q运动到t秒，设P（3t，0），Q（3t，t），KPQ=，KPQ=2，ADPQ，KPQKAD=1，K
40、AD=，A（3，0），lAD：y=x，y=，x1=3（舍），x2=，D（，），DY=QY，即t=，t=，DQAP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目9如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E
41、点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在RtCOE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在RtADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t表示出CP、BP的长，可证明DBPDEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；（3）可设出N点
42、坐标，分三种情况EN为对角线，EM为对角线，EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标【解答】解：（1）CE=CB=5，CO=AB=4，在RtCOE中，OE=3，设AD=m，则DE=BD=4m，OE=3，AE=53=2，在RtADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4m）2，解得m=，D（，5），C（4，0），O（0，0），设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），5=a（+4），解得a=，抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；（2）CP=2t，BP=52t，BD=，DE=，BD=DE，在RtDBP和RtDEQ中，RtDBPRtDEQ（HL），BP=EQ，52t=t，t=；（3）抛物线的对称轴为直线x=2，设N（2，n），又由题意可知C（4，0），E（0，3），设M（m，y），当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为=1，线段CM中点横坐标为，EN，CM互相平分，=1，解得m=2，又M点在抛物线上，y=22+2=16，M（2，16）；当EM为对角
