1、2017-2018学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.）1（5分）过两点A（2，1），B（3，1）的直线的斜率为 2（5分）若，则y的最小值为 3（5分）已知直线m的倾斜角为，直线l：kxy0，若lm，则实数k的值为 4（5分）在等差数列an中，a33，a75，则公差d 5（5分）已知正四棱锥底面正方形边长为2，体积为，则此正四棱锥的侧棱长为 6（5分）在ABC中，则角A的大小为 7（5分）已知空间两平面，和两直线l，
2、m，则下列命题中正确命题的序号为 （1），ll； （2）lm，lm；（3），ll； （4）lm，lm8（5分）若直线l与直线2xy+10垂直，且与圆x2+y2+4x2y+10相切，则直线l的方程为 9（5分）已知数列an的通项公式为，前n项和为Sn，则Sn 10（5分）若关于x的不等式（x+1）（x3）m的解集为（0，n），则实数n的值为 11（5分）已知圆M：（x+m）2+（y+1）21与圆N关于直线l：xy+30对称，且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为，则实数m的值为 12（5
3、分）已知a，b，c，d为正实数，若，成等差数列，a，db，c成等比数列，则d的最小值为 二、解答题（本大题共8小题，共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13已知直线l：2xy+40在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n（1）求实数m，n的值；（2）求点（m，n）到直线l的距离14在数列an中，a15，a24，数列an的前n项和（A，B为常数）（1）求实数A，B的值；（2）求数列an的通项公式15已知x0，y0，且2x+y4（1）求xy的最大值及相应的x，y的值；（2）求9x+3y的最小值及相应的x，y的值16已知实数x，y满足，记点（x，y）所对应的平面区域为D
4、（1）在平面直角坐标系xOy中画出区域D（用阴影部分标出），并求区域D的面积S；（2）试判断点是否在区域D内，并说明理由17已知三棱锥ABCD中，E是底面正BCD边CD的中点，M，N分别为AB，AE的中点（1）求证：MN平面BCD；（2）若AE平面BCD，求证：BE平面ACD18如图，圆C的圆心在x轴上，且过点（7，0），（5，2）（1）求圆C的方程；（2）直线l：xy40与x轴交于点A，点D为直线l上位于第一象限内的一点，以AD为直径的圆与圆C相交于点M，N若直线AM的斜率为2，求D点坐标19如图，在ABC中，BC1P是ABC内一点，且（1）若，求线段AP的长度；（2）若，求ABP的面积20
5、已知数列an，bn满足bnan+1an，数列bn前n项和为Tn（1）若数列an是首项为正数，公比为q（q1）的等比数列求证：数列bn为等比数列；若Tn+14bn对任意nN*恒成立，求q的值；（2）已知an为递增数列，即若对任意nN*，数列an中都存在一项am使得bn+1aman，求证：数列an为等差数列2017-2018学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.）1（5分）过两点A（2，1），B（3，1）的直线的斜率为2【分析】直接利用斜率公式求解【解答】解：A（2，1），B（3，1），故
6、答案为：2【点评】本题考查由两点求斜率公式求直线的斜率，是基础的计算题2（5分）若，则y的最小值为4【分析】根据x20，由基本不等式可得出，从而求出y的最小值【解答】解：x20；即y4；y的最小值为4故答案为：4【点评】考查函数最值的定义及求法，基本不等式的应用3（5分）已知直线m的倾斜角为，直线l：kxy0，若lm，则实数k的值为【分析】利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：直线m的倾斜角为，斜率tan直线l：kxy0，lm，则实数k故答案为：【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）在等差数列an中，a33，a75，则公差d
7、【分析】利用等差数列通项公式列方程组能求出公差d【解答】解：等差数列an中，a33，a75，解得d故答案为：【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5分）已知正四棱锥底面正方形边长为2，体积为，则此正四棱锥的侧棱长为【分析】根据体积求出正四棱锥的高h，计算底面对角线的长，再求出侧棱长【解答】解：正四棱锥底面正方形边长为2，体积为，设正四棱锥的高为h，则VSh22h，解得h1，又底面对角线的长为：2，侧棱长为：l故答案为：【点评】本题考查了正四棱锥的体积以及棱长的计算问题，是基础题6（5分）在ABC中，则角A的大小为
8、【分析】根据正弦定理和同角的三角函数关系，利用特殊角的三角函数值求得A的值【解答】解：ABC中，sinAsinBsinBcosA，又B（0，），sinB0，sinAcosA，tanA，又A（0，），A故答案为：【点评】本题考查了正弦定理与同角的三角函数关系应用问题，是基础题7（5分）已知空间两平面，和两直线l，m，则下列命题中正确命题的序号为（1）（4）（1），ll； （2）lm，lm；（3），ll； （4）lm，lm【分析】在（1）中，由线面垂直的判定定理得l；在（2）中，ma或m；在（3）中，l与相交、平行或l；在（4）中，由线面垂直的判定定理得m【解答】解：由
9、空间两平面，和两直线l，m，知：在（1）中，l，由线面垂直的判定定理得l，故（1）正确；在（2）中，lm，l，则ma或m，故（2）错误；在（3）中，l，l与相交、平行或l，故（3）错误；在（4）中，lm，l，由线面垂直的判定定理得m，故（4）正确故答案为：（1）（4）【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题8（5分）若直线l与直线2xy+10垂直，且与圆x2+y2+4x2y+10相切，则直线l的方程为【分析】根据垂直关系设出所求直线l的方程，利用圆心到直线的距离dr列方程求出m的值即可【解答】解：设与直线2
10、xy+10垂直的直线l的方程为x+2y+m0，圆x2+y2+4x2y+10的圆心为C（2，1），半径为r2；圆心C到直线l的距离dr，即2，解得m2；直线l的方程为x+2y20故答案为：x+2y20【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了点到直线的距离应用问题，是基础题9（5分）已知数列an的通项公式为，前n项和为Sn，则Sn（n1）2n+1【分析】运用数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，化简整理可得所求和【解答】解：数列an的通项公式为，可得前n项和为Sn11+22+322+n2n1，2Sn12+222+323+n2n，两式相减可得Sn1+2+22+2n1n2nn
11、2n，化简可得Sn（n1）2n+1故答案为：（n1）2n+1【点评】本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于基础题10（5分）若关于x的不等式（x+1）（x3）m的解集为（0，n），则实数n的值为2【分析】由不等式的解集与不等式的关系知，0和n是关于x的方程（x+1）（x3）m的两实根，再利用韦达定理中两根之和可求出n的值【解答】解：由题意可知，0和n是关于x的方程（x+1）（x3）m的两实根，即方程x22x3m0的两根，由韦达定理可得，解得n2，故答案为：2【点评】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于中等题
12、11（5分）已知圆M：（x+m）2+（y+1）21与圆N关于直线l：xy+30对称，且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为，则实数m的值为2或6【分析】设圆N上任意一点的坐标为（x，y），其关于直线xy+30的对称点的坐标为（x0，y0），结合已知条件即可求出圆N的方程，再利用两点间的距离公式求解即可得答案【解答】解：设圆N上任意一点的坐标为（x，y），其关于直线xy+30的对称点的坐标为（x0，y0），则，即，点（x0，y0）在圆M：（x+m）2+（y+1）21上，（y3+m）2+（x+3+1）21，即（x+4）2+（y3+m）21，圆N的方程为（x+4）2+（y3+m）21，圆
13、M：（x+m）2+（y+1）21的圆心坐标为（m，1），半径为r11，圆N：（x+4）2+（y3+m）21的圆心坐标为（4，3m），半径为r21，由圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为，得，化简得|m4|2，解得m2或m6故答案为：2或6【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间的距离公式，是中档题12（5分）已知a，b，c，d为正实数，若，成等差数列，a，db，c成等比数列，则d的最小值为【分析】利用等差数列和等比数列列出方程组得，从而4bd23a+c22bd，由此能求出d的最小值【解答】解：a，b，c，d为正实数，成等差数列，a，db，c成等比数列，4bd23a+c22bd
14、，当且仅当3ac时，取等号，dd的最小值为故答案为：【点评】本题考查正数的最小值的求法，考查等差数列、等比数列、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题二、解答题（本大题共8小题，共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13已知直线l：2xy+40在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n（1）求实数m，n的值；（2）求点（m，n）到直线l的距离【分析】（1）分别令x0，y0，即可求出n，m的值，（2）根据点到直线的距离公式即可求出【解答】解：（1）l：2xy+40，当y0时，x2，所以m2；当x0时，y4，所以n4；（2）点（m，n）即为（2，4）
15、，所以点（m，n）到直线l的距离为【点评】本题考查了直线方程的截距和点到直线的距离公式，属于基础题14在数列an中，a15，a24，数列an的前n项和（A，B为常数）（1）求实数A，B的值；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）分别令n1，2，可得A，B的方程组，解方程可得A，B；（2）运用数列的递推式：a1S1；n2时，anSnSn1，计算可得所求通项公式【解答】解：（1）（A，B为常数），a15，a24，可得S1A2+Ba15，S2A4+Ba1+a29，解得A2，B1；（2）因为，所以【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查方程思想和运算能力，属于基础题15已知x
16、0，y0，且2x+y4（1）求xy的最大值及相应的x，y的值；（2）求9x+3y的最小值及相应的x，y的值【分析】（1）运用基本不等式可得所求最大值和此时x，y的值；（2）运用基本不等式和指数的运算性质和指数函数的值域，即可得到所求最值和此时x，y的值【解答】解：（1），所以xy的最大值为2，当且仅当2xy2，即x1，y2时取“”；（2），所以9x+3y的最小值为18，当且仅当9x3y，即2xy2x1，y2时取“”【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和运算能力，属于基础题16已知实数x，y满足，记点（x，y）所对应的平面区域为D（1）在平面直角坐标系xOy中画出区域D（用阴影
17、部分标出），并求区域D的面积S；（2）试判断点是否在区域D内，并说明理由【分析】（1）区域D是直角三角形，面积为两直角边积的一半；（2）用点的坐标代入不等式组，看是否满足【解答】解：（1）如图由，所以；（2）点在区域D内，因为，所以点在区域D内【点评】本题考查了二元一次不等式组与平面区域属中档题17已知三棱锥ABCD中，E是底面正BCD边CD的中点，M，N分别为AB，AE的中点（1）求证：MN平面BCD；（2）若AE平面BCD，求证：BE平面ACD【分析】（1）由M，N分别为AB，AE的中点，MNBE，由此能证明MN平面BCD（2）推导出AEBE，BECD，由此能证明BE平面ACD【解答】证明
18、：（1）在ABE中，M，N分别为AB，AE的中点，所以MNBE，而BE平面BCD，MN平面BCD，所以MN平面BCD（2）因为AE平面BCD，BE平面BCD，所以AEBE，因为E是底面正BCD边CD上的中点，所以BECD，又因为AE平面ACD，CD平面ACD，AECDE，所以BE平面ACD【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题18如图，圆C的圆心在x轴上，且过点（7，0），（5，2）（1）求圆C的方程；（2）直线l：xy40与x轴交于点A，点D为直线l上位于第一象限内的一点，以AD为直径的圆与圆C相交于点M，N若直线AM的斜率为2，求
19、D点坐标【分析】（1）由（7，0），（5，2）可得两点中垂线方程为yx5，当y0时得C点坐标，则可求圆的半径r，然后代入圆的标准方程得答案；（2）由AD为直径，可得kAMkDM1，而直线AM的斜率为2，求出，设D点坐标为（t，t4），则AM：y2（x4），DM：y（t4）（xt），联立AM，DM方程，可得M点坐标，把M点坐标代入圆的方程求解可得答案【解答】解：（1）由（7，0），（5，2）可得两点中垂线方程为yx5，当y0时得C（5，0），则圆的半径r2圆C的方程为（x5）2+y24；（2）AD为直径，kAMkDM1，而直线AM的斜率为2，设D点坐标为（t，t4），则AM：y2（x4），DM：
20、y（t4）（xt），联立，解得M（），由点M在圆C上可得：，解得t7或1，又点D位于第一象限，D（7，3）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的标准方程，是中档题19如图，在ABC中，BC1P是ABC内一点，且（1）若，求线段AP的长度；（2）若，求ABP的面积【分析】（1）由已知可求PB的值，进而在APB中，利用余弦定理即可解得AP的值；（2）设PBA，则PCB，可求PBsin，在APB中，ABP，BPsin，AB3，APB，由正弦定理可求sin2，进而根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）因为，所以在RtPBC中，BC1，所以，在APB中，所以AP2AB2+BP22AB
21、BPcosPBA，所以；（2）设PBA，则PCB，在RtPBC中，BC1，PCB，所以PBsin，在APB中，ABP，BPsin，由正弦定理得：，又【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题20已知数列an，bn满足bnan+1an，数列bn前n项和为Tn（1）若数列an是首项为正数，公比为q（q1）的等比数列求证：数列bn为等比数列；若Tn+14bn对任意nN*恒成立，求q的值；（2）已知an为递增数列，即若对任意nN*，数列an中都存在一项am使得bn+1aman，求证：数列an为等差数列【分析】（1）数列a
22、n是公比为q（q1）的等比数列及bnan+1an得bn0，由此能证明数列bn为等比数列，从而qn1（q2）21对任意nN*恒成立，由此能求出q的值（2）由数列an中都存在一项am使得bn+1aman，得aman+2an+1+an，再由anaman+2an+1+anan+2，得到an+2+an2an+1，由此能证明数列an为等差数列【解答】证明：（1）数列an是公比为q（q1）的等比数列及bnan+1an得bn0，为定值，数列bn为等比数列解：，qn1（q2）21对任意nN*恒成立，而q1，q2q1，q2，当时，qn1（q2）21矛盾综上，q2证明：（2）数列an中都存在一项am使得bn+1aman，aman+2an+1+an，而an为递增数列，则anaman+2an+1+anan+2，aman+2an+1+anan+1，即an+2+an2an+1，数列an为等差数列【点评】本题考查等比数列、等差数列的证明，考查实数值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
