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2017-2018学年江苏省泰州市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年江苏省泰州市高一(下)期末数学试卷一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)1(5分)过两点A(2,1),B(3,1)的直线的斜率为   2(5分)若,则y的最小值为   3(5分)已知直线m的倾斜角为,直线l:kxy0,若lm,则实数k的值为   4(5分)在等差数列an中,a33,a75,则公差d   5(5分)已知正四棱锥底面正方形边长为2,体积为,则此正四棱锥的侧棱长为   6(5分)在ABC中,则角A的大小为   7(5分)已知空间两平面,和两直线l,

2、m,则下列命题中正确命题的序号为   (1),ll;   (2)lm,lm;(3),ll;   (4)lm,lm8(5分)若直线l与直线2xy+10垂直,且与圆x2+y2+4x2y+10相切,则直线l的方程为   9(5分)已知数列an的通项公式为,前n项和为Sn,则Sn   10(5分)若关于x的不等式(x+1)(x3)m的解集为(0,n),则实数n的值为   11(5分)已知圆M:(x+m)2+(y+1)21与圆N关于直线l:xy+30对称,且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为,则实数m的值为   12(5

3、分)已知a,b,c,d为正实数,若,成等差数列,a,db,c成等比数列,则d的最小值为   二、解答题(本大题共8小题,共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)13已知直线l:2xy+40在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为n(1)求实数m,n的值;(2)求点(m,n)到直线l的距离14在数列an中,a15,a24,数列an的前n项和(A,B为常数)(1)求实数A,B的值;(2)求数列an的通项公式15已知x0,y0,且2x+y4(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值16已知实数x,y满足,记点(x,y)所对应的平面区域为D

4、(1)在平面直角坐标系xOy中画出区域D(用阴影部分标出),并求区域D的面积S;(2)试判断点是否在区域D内,并说明理由17已知三棱锥ABCD中,E是底面正BCD边CD的中点,M,N分别为AB,AE的中点(1)求证:MN平面BCD;(2)若AE平面BCD,求证:BE平面ACD18如图,圆C的圆心在x轴上,且过点(7,0),(5,2)(1)求圆C的方程;(2)直线l:xy40与x轴交于点A,点D为直线l上位于第一象限内的一点,以AD为直径的圆与圆C相交于点M,N若直线AM的斜率为2,求D点坐标19如图,在ABC中,BC1P是ABC内一点,且(1)若,求线段AP的长度;(2)若,求ABP的面积20

5、已知数列an,bn满足bnan+1an,数列bn前n项和为Tn(1)若数列an是首项为正数,公比为q(q1)的等比数列求证:数列bn为等比数列;若Tn+14bn对任意nN*恒成立,求q的值;(2)已知an为递增数列,即若对任意nN*,数列an中都存在一项am使得bn+1aman,求证:数列an为等差数列2017-2018学年江苏省泰州市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)1(5分)过两点A(2,1),B(3,1)的直线的斜率为2【分析】直接利用斜率公式求解【解答】解:A(2,1),B(3,1),故

6、答案为:2【点评】本题考查由两点求斜率公式求直线的斜率,是基础的计算题2(5分)若,则y的最小值为4【分析】根据x20,由基本不等式可得出,从而求出y的最小值【解答】解:x20;即y4;y的最小值为4故答案为:4【点评】考查函数最值的定义及求法,基本不等式的应用3(5分)已知直线m的倾斜角为,直线l:kxy0,若lm,则实数k的值为【分析】利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解:直线m的倾斜角为,斜率tan直线l:kxy0,lm,则实数k故答案为:【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题4(5分)在等差数列an中,a33,a75,则公差d

7、【分析】利用等差数列通项公式列方程组能求出公差d【解答】解:等差数列an中,a33,a75,解得d故答案为:【点评】本题考查等差数列的公差的求法,考查等差数列通项公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题5(5分)已知正四棱锥底面正方形边长为2,体积为,则此正四棱锥的侧棱长为【分析】根据体积求出正四棱锥的高h,计算底面对角线的长,再求出侧棱长【解答】解:正四棱锥底面正方形边长为2,体积为,设正四棱锥的高为h,则VSh22h,解得h1,又底面对角线的长为:2,侧棱长为:l故答案为:【点评】本题考查了正四棱锥的体积以及棱长的计算问题,是基础题6(5分)在ABC中,则角A的大小为

8、【分析】根据正弦定理和同角的三角函数关系,利用特殊角的三角函数值求得A的值【解答】解:ABC中,sinAsinBsinBcosA,又B(0,),sinB0,sinAcosA,tanA,又A(0,),A故答案为:【点评】本题考查了正弦定理与同角的三角函数关系应用问题,是基础题7(5分)已知空间两平面,和两直线l,m,则下列命题中正确命题的序号为(1)(4)(1),ll;   (2)lm,lm;(3),ll;   (4)lm,lm【分析】在(1)中,由线面垂直的判定定理得l;在(2)中,ma或m;在(3)中,l与相交、平行或l;在(4)中,由线面垂直的判定定理得m【解答】解:由

9、空间两平面,和两直线l,m,知:在(1)中,l,由线面垂直的判定定理得l,故(1)正确;在(2)中,lm,l,则ma或m,故(2)错误;在(3)中,l,l与相交、平行或l,故(3)错误;在(4)中,lm,l,由线面垂直的判定定理得m,故(4)正确故答案为:(1)(4)【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题8(5分)若直线l与直线2xy+10垂直,且与圆x2+y2+4x2y+10相切,则直线l的方程为【分析】根据垂直关系设出所求直线l的方程,利用圆心到直线的距离dr列方程求出m的值即可【解答】解:设与直线2

10、xy+10垂直的直线l的方程为x+2y+m0,圆x2+y2+4x2y+10的圆心为C(2,1),半径为r2;圆心C到直线l的距离dr,即2,解得m2;直线l的方程为x+2y20故答案为:x+2y20【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题,也考查了点到直线的距离应用问题,是基础题9(5分)已知数列an的通项公式为,前n项和为Sn,则Sn(n1)2n+1【分析】运用数列的求和方法:错位相减法,以及等比数列的求和公式,化简整理可得所求和【解答】解:数列an的通项公式为,可得前n项和为Sn11+22+322+n2n1,2Sn12+222+323+n2n,两式相减可得Sn1+2+22+2n1n2nn

11、2n,化简可得Sn(n1)2n+1故答案为:(n1)2n+1【点评】本题考查数列的求和方法:错位相减法,以及等比数列的求和公式,考查运算能力,属于基础题10(5分)若关于x的不等式(x+1)(x3)m的解集为(0,n),则实数n的值为2【分析】由不等式的解集与不等式的关系知,0和n是关于x的方程(x+1)(x3)m的两实根,再利用韦达定理中两根之和可求出n的值【解答】解:由题意可知,0和n是关于x的方程(x+1)(x3)m的两实根,即方程x22x3m0的两根,由韦达定理可得,解得n2,故答案为:2【点评】本题考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式之间的关系,考查推理能力与计算能力,属于中等题

12、11(5分)已知圆M:(x+m)2+(y+1)21与圆N关于直线l:xy+30对称,且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为,则实数m的值为2或6【分析】设圆N上任意一点的坐标为(x,y),其关于直线xy+30的对称点的坐标为(x0,y0),结合已知条件即可求出圆N的方程,再利用两点间的距离公式求解即可得答案【解答】解:设圆N上任意一点的坐标为(x,y),其关于直线xy+30的对称点的坐标为(x0,y0),则,即,点(x0,y0)在圆M:(x+m)2+(y+1)21上,(y3+m)2+(x+3+1)21,即(x+4)2+(y3+m)21,圆N的方程为(x+4)2+(y3+m)21,圆

13、M:(x+m)2+(y+1)21的圆心坐标为(m,1),半径为r11,圆N:(x+4)2+(y3+m)21的圆心坐标为(4,3m),半径为r21,由圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为,得,化简得|m4|2,解得m2或m6故答案为:2或6【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,是中档题12(5分)已知a,b,c,d为正实数,若,成等差数列,a,db,c成等比数列,则d的最小值为【分析】利用等差数列和等比数列列出方程组得,从而4bd23a+c22bd,由此能求出d的最小值【解答】解:a,b,c,d为正实数,成等差数列,a,db,c成等比数列,4bd23a+c22bd

14、,当且仅当3ac时,取等号,dd的最小值为故答案为:【点评】本题考查正数的最小值的求法,考查等差数列、等比数列、基本不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题二、解答题(本大题共8小题,共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)13已知直线l:2xy+40在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为n(1)求实数m,n的值;(2)求点(m,n)到直线l的距离【分析】(1)分别令x0,y0,即可求出n,m的值,(2)根据点到直线的距离公式即可求出【解答】解:(1)l:2xy+40,当y0时,x2,所以m2;当x0时,y4,所以n4;(2)点(m,n)即为(2,4)

15、,所以点(m,n)到直线l的距离为【点评】本题考查了直线方程的截距和点到直线的距离公式,属于基础题14在数列an中,a15,a24,数列an的前n项和(A,B为常数)(1)求实数A,B的值;(2)求数列an的通项公式【分析】(1)分别令n1,2,可得A,B的方程组,解方程可得A,B;(2)运用数列的递推式:a1S1;n2时,anSnSn1,计算可得所求通项公式【解答】解:(1)(A,B为常数),a15,a24,可得S1A2+Ba15,S2A4+Ba1+a29,解得A2,B1;(2)因为,所以【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式,考查方程思想和运算能力,属于基础题15已知x

16、0,y0,且2x+y4(1)求xy的最大值及相应的x,y的值;(2)求9x+3y的最小值及相应的x,y的值【分析】(1)运用基本不等式可得所求最大值和此时x,y的值;(2)运用基本不等式和指数的运算性质和指数函数的值域,即可得到所求最值和此时x,y的值【解答】解:(1),所以xy的最大值为2,当且仅当2xy2,即x1,y2时取“”;(2),所以9x+3y的最小值为18,当且仅当9x3y,即2xy2x1,y2时取“”【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查变形能力和运算能力,属于基础题16已知实数x,y满足,记点(x,y)所对应的平面区域为D(1)在平面直角坐标系xOy中画出区域D(用阴影

17、部分标出),并求区域D的面积S;(2)试判断点是否在区域D内,并说明理由【分析】(1)区域D是直角三角形,面积为两直角边积的一半;(2)用点的坐标代入不等式组,看是否满足【解答】解:(1)如图由,所以;(2)点在区域D内,因为,所以点在区域D内【点评】本题考查了二元一次不等式组与平面区域属中档题17已知三棱锥ABCD中,E是底面正BCD边CD的中点,M,N分别为AB,AE的中点(1)求证:MN平面BCD;(2)若AE平面BCD,求证:BE平面ACD【分析】(1)由M,N分别为AB,AE的中点,MNBE,由此能证明MN平面BCD(2)推导出AEBE,BECD,由此能证明BE平面ACD【解答】证明

18、:(1)在ABE中,M,N分别为AB,AE的中点,所以MNBE,而BE平面BCD,MN平面BCD,所以MN平面BCD(2)因为AE平面BCD,BE平面BCD,所以AEBE,因为E是底面正BCD边CD上的中点,所以BECD,又因为AE平面ACD,CD平面ACD,AECDE,所以BE平面ACD【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题18如图,圆C的圆心在x轴上,且过点(7,0),(5,2)(1)求圆C的方程;(2)直线l:xy40与x轴交于点A,点D为直线l上位于第一象限内的一点,以AD为直径的圆与圆C相交于点M,N若直线AM的斜率为2,求

19、D点坐标【分析】(1)由(7,0),(5,2)可得两点中垂线方程为yx5,当y0时得C点坐标,则可求圆的半径r,然后代入圆的标准方程得答案;(2)由AD为直径,可得kAMkDM1,而直线AM的斜率为2,求出,设D点坐标为(t,t4),则AM:y2(x4),DM:y(t4)(xt),联立AM,DM方程,可得M点坐标,把M点坐标代入圆的方程求解可得答案【解答】解:(1)由(7,0),(5,2)可得两点中垂线方程为yx5,当y0时得C(5,0),则圆的半径r2圆C的方程为(x5)2+y24;(2)AD为直径,kAMkDM1,而直线AM的斜率为2,设D点坐标为(t,t4),则AM:y2(x4),DM:

20、y(t4)(xt),联立,解得M(),由点M在圆C上可得:,解得t7或1,又点D位于第一象限,D(7,3)【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的标准方程,是中档题19如图,在ABC中,BC1P是ABC内一点,且(1)若,求线段AP的长度;(2)若,求ABP的面积【分析】(1)由已知可求PB的值,进而在APB中,利用余弦定理即可解得AP的值;(2)设PBA,则PCB,可求PBsin,在APB中,ABP,BPsin,AB3,APB,由正弦定理可求sin2,进而根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解:(1)因为,所以在RtPBC中,BC1,所以,在APB中,所以AP2AB2+BP22AB

21、BPcosPBA,所以;(2)设PBA,则PCB,在RtPBC中,BC1,PCB,所以PBsin,在APB中,ABP,BPsin,由正弦定理得:,又【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,三角形面积公式以及三角函数恒等变换的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于中档题20已知数列an,bn满足bnan+1an,数列bn前n项和为Tn(1)若数列an是首项为正数,公比为q(q1)的等比数列求证:数列bn为等比数列;若Tn+14bn对任意nN*恒成立,求q的值;(2)已知an为递增数列,即若对任意nN*,数列an中都存在一项am使得bn+1aman,求证:数列an为等差数列【分析】(1)数列a

22、n是公比为q(q1)的等比数列及bnan+1an得bn0,由此能证明数列bn为等比数列,从而qn1(q2)21对任意nN*恒成立,由此能求出q的值(2)由数列an中都存在一项am使得bn+1aman,得aman+2an+1+an,再由anaman+2an+1+anan+2,得到an+2+an2an+1,由此能证明数列an为等差数列【解答】证明:(1)数列an是公比为q(q1)的等比数列及bnan+1an得bn0,为定值,数列bn为等比数列解:,qn1(q2)21对任意nN*恒成立,而q1,q2q1,q2,当时,qn1(q2)21矛盾综上,q2证明:(2)数列an中都存在一项am使得bn+1aman,aman+2an+1+an,而an为递增数列,则anaman+2an+1+anan+2,aman+2an+1+anan+1,即an+2+an2an+1,数列an为等差数列【点评】本题考查等比数列、等差数列的证明,考查实数值的求法,考查等差数列、等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题