1、2018-2019学年江苏省常州市教学研究合作联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（5分）直线x+y+10的斜率为（）ABCD2（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内B经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C垂直于同一条直线的两个平面相互平行D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线3（5分）在锐角ABC中，角A，B所对的边分
2、别为a，b若2asinBb，则角A等于（）ABCD4（5分）若ab0，bc0，则直线ax+by+c0一定不过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则6（5分）设直线5x+3y150在x轴上截距为a，在y轴上的截距为b，则（）Aa5，b3Ba3，b5Ca3，b5Da3，b57（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c已知b，c，tan（A+）2，则a（）A15BC3D8（5分）已知底面边长为，侧棱长为a（a0）的正四棱柱的
3、各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数a的值为（）A2B1CD9（5分）记f（x）kx+b，方程yf（x）表示的直线为l1，直线l1不过点P（x0，y0），直线l2：yy0f（x）f（x0），则直线l1，l2的位置关系为（）A一定平行B平行或重合C一定垂直D不能确定10（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c已知a2+b2（acosB+bcosA）22abcosB，则ABC（）A一定是直角三角形B一定是等腰三角形C一定是等腰直角三角形D是等腰或直角三角形11（5分）已知函数yf（x），当x10时，f（x）x210x+1，其图象的右端点为A，当x10时，其图象是以A为端
4、点且斜率为的射线，若a，b，c互不相等，且f（a）f（b）f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（0，+）B（20，+）C（20，22）D（20，70）12（5分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（5分）与直线l：有相同的纵截距且与直线l垂直的直线方程为 14（5分）已知直线l：kxy+k20和两点A（3，0）
5、，B（0，1），使得直线l与线段AB有公共点（含端点）的k的范围是 15（5分）用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为 16（5分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，边BC上的高为，则的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，边AB所在的直线方程为x+3y2，其中顶点A的纵坐标为1，顶点C的坐标为（1，2）（1）求AB边上的高所在的直线方程；（2）若CA，CB的
6、中点分别为E，F，求直线EF的方程18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADAB，平面ABCD平面PAB（1）求证：AD平面PBC；（2）求证：平面PBC平面PAB19（12分）在ABC中，A，AB6，AC，点D在BC边上，ADBD（1）求BC的长度及sinB的值；（2）求AD的长度及ADC的面积20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2AA1，BAA1CAA1，D，E分别为AB，A1C中点（1）求证：DE平面BB1C1C；（2）求证：AA1平面A1BC，并求AB与平面A1BC所成的角；（3）若AA11，BC，求四棱锥A1BCC1B1的体积21（12分）某市欲建
7、一个圆形公园，规划设立A，B，C，D四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A，B，C的位置已确定，AB2，BC6（单位：百米），记ABC，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题（1）如果DCDA4，求四边形ABCD的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求cos的值22（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有定点C和射线OA，已知OA，OC的倾斜角分别为，tan3，tan，OC13a（0a4）x轴上的动点M（m，0）（m62）与A，C共线（1）求C点坐标（用a表示）；（2）求OAM面积S关于m的表达式Sf（m）；（3）求OAM面积的最小时直
8、线AC的方程2018-2019学年江苏省常州市教学研究合作联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（5分）直线x+y+10的斜率为（）ABCD【分析】直接化简直线方程为斜截式方程，即可得到直线的斜率【解答】解：直线x+y+10化为：yx+直线的斜率为：故选：D【点评】本题考查直线的斜率的求法，是基础题2（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内B经过不在同一条直线上的三点，有且只有
9、一个平面C垂直于同一条直线的两个平面相互平行D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线【分析】利用平面的基本性质及推论直接求解【解答】解：在A中，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内，公理，故A错误；在B中，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，是公理，故B错误；在C中，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，是定理，不是公理，故C正确；在D中，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线是，是公理，故D错误故选：C【点评】本题考查平面的公理的
10、判断，考查平面的基本性质及推论等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b若2asinBb，则角A等于（）ABCD【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinBsinB，sinB0，sinA，A为锐角，A故选：D【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题4（5分）若ab0，bc0，则直线ax+by+c0一定不过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由
11、题意可得斜率0，在y轴上的截距0，即直线的倾斜角为顿角，在y轴上的截距大于0，故直线不经过第三象限【解答】解：直线ax+by+c0，即 y，若ab0 且bc0，则斜率0，在y轴上的截距为0，即直线的倾斜角为顿角，在y轴上的截距大于0，故直线不经过第三象限，故选：C【点评】本题考查确定直线位置的方法，即根据直线的倾斜角和它在y轴上的截距来确定直线在坐标系终的位置，属于基础题5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则【分析】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得m
12、n，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【解答】解：选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题6（5分）设直线5x+3y150在x轴上截距为a，在y轴上的截距为b，则（）Aa5，b3Ba3，b5Ca3，b5Da3，b5【分析】根据截距的定义，分别令y0和x0可得【解答】解：在直线5x+3y1
13、50中，令x0，得y5，即b5，令y0，得x3，即a3故选：B【点评】本题考查了直线的截距式方程，属基础题7（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c已知b，c，tan（A+）2，则a（）A15BC3D【分析】先根据已知可得cosA的值，再根据余弦定理可得a【解答】解：由tan（A+）2，解得tanA，cosA，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA45+72369，a3故选：C【点评】本题考查了余弦定理，属中档题8（5分）已知底面边长为，侧棱长为a（a0）的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数a的值为（）A2B1CD【分析】由已知可得正四棱柱的对角线长
14、，得到正四棱柱外接球的半径，代入球的体积公式求解实数a的值【解答】解：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为a（a0），则正四棱柱的对角线长为，正四棱柱的外接球的半径为，由，解得a2故选：A【点评】本题考查多面体外接球的表面积、体积的求法，考查计算能力，是基础题9（5分）记f（x）kx+b，方程yf（x）表示的直线为l1，直线l1不过点P（x0，y0），直线l2：yy0f（x）f（x0），则直线l1，l2的位置关系为（）A一定平行B平行或重合C一定垂直D不能确定【分析】根据题意，由直线l1的方程，分析可得直线l2：yy0f（x）f（x0），即yy0（kx+b）（kx0+b），由直线的点斜式方程分析可得
15、答案【解答】解：根据题意，f（x）kx+b，则直线l1的方程为ykx+b，直线l2：yy0f（x）f（x0），即yy0（kx+b）（kx0+b），变形可得：yy0k（xx0），则直线l1，l2的位置一定平行；故选：A【点评】本题考查直线的点斜式方程，涉及直线的位置关系，属于基础题10（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c已知a2+b2（acosB+bcosA）22abcosB，则ABC（）A一定是直角三角形B一定是等腰三角形C一定是等腰直角三角形D是等腰或直角三角形【分析】由两角和的正弦函数公式，正弦定理可得：cacosB+bcosA，化简已知等式可得a2+b2c22abc
16、osB，利用余弦定理可求cosCcosB，结合范围B，C（0，），可求BC，即可得解【解答】解：sinCsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA，由正弦定理可得：cacosB+bcosA，a2+b2（acosB+bcosA）22abcosB，a2+b2c22abcosB，cosCcosB，B，C（0，），BC故选：B【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11（5分）已知函数yf（x），当x10时，f（x）x210x+1，其图象的右端点为A，当x10时，其图象是以A为端点且斜率为的射线，若a，b，c互不
17、相等，且f（a）f（b）f（c），则a+b+c的取值范围是（）A（0，+）B（20，+）C（20，22）D（20，70）【分析】求出当x10时函数的解析式，根据f（a）f（b）f（c），判断a，b，c的关系，利用数形结合进行求解即可【解答】解：当x10时，y1001010+11，即A（10，1），则射线方程为y1（x10），即yx+6，当当x10时，f（x）x210x+1（x5）224，抛物线的对称轴为x5，设a，b，c互不相等，且f（a）f（b）f（c）t，不妨设abc，则a，b关于x5对称，则a+b10，则a+b+c10+c，当yx+624时，x60，即10c60，则2010+c70，即2
18、0a+b+c70，即a+b+c的取值范围是（20，70），故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为c的范围是解决本题的关键12（5分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（）ABCD【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段C1F长的最大值【解答】解：直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（
19、含边界）上的动点，以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设F（0，a，b），0a1，0b2，由题意得A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），D（，0），（1，1，2），（，0），（0，a，b），AB1平面C1DF，解得a2b，F（0，2b，b），0a1，0b2，a2b，0，线段C1F的长的最大值为：|故选：A【点评】本题考查线段长的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（5分）
20、与直线l：有相同的纵截距且与直线l垂直的直线方程为3x+4y+160【分析】先根据垂直求得斜率，再根据斜截式可得【解答】解：直线l：1化为4x3y120，其斜率为，纵截距为4，所以所求直线的斜率为，纵截距为4，直线方程为yx4故答案为：3x+4y+160【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，属基础题14（5分）已知直线l：kxy+k20和两点A（3，0），B（0，1），使得直线l与线段AB有公共点（含端点）的k的范围是k3【分析】因为直线l过点P（12），如图：kPA，kPB3，结合图形可得【解答】：因为直线l过点P（12），如图：kPA，kPB3，由图可知：故答案为：【点评】本
21、题考查了直线的斜率，属基础题15（5分）用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为【分析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，求出圆锥的底面半径与高，即可求得体积【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2rR，rR2r2+h2，hR，V（）2；用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，圆柱的体积为：（）22R则该圆柱与圆锥的体积之比为：故答案为：【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆锥的体积公式，属于基础题16（5分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，边BC上的高为，
22、则的最大值为4【分析】利用三角形的面积计算公式可得，即利用余弦定理可得，代入即可得出【解答】解：，b2+c2a2+2bccosA+2bccosA44，的最大值是4故答案为：4【点评】本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，边AB所在的直线方程为x+3y2，其中顶点A的纵坐标为1，顶点C的坐标为（1，2）（1）求AB边上的高所在的直线方程；（2）若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程【分析】（1）先
23、根据垂直关系得斜率，再根据点斜式得直线方程；（2）先求出A，E的坐标，再根据平行关系得斜率，最后根据点斜式得直线方程【解答】解：（1）kAB，所以AB边上的高所在直线的斜率为3，由点斜式得y23（x1），即3xy10（2）易得A（1，1），E（0，），根据中位线定理可得kEF，由点斜式可得直线EF的方程为y（x0），即直线EF的方程为：2x+6y90【点评】本题考查了直线的一般属方程与直线的垂直和平行关系，属基础题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADAB，平面ABCD平面PAB（1）求证：AD平面PBC；（2）求证：平面PBC平面PAB【分析】（1）根据ADBC即可得出AD
24、平面PBC；（2）先根据面面垂直的性质得出AD平面PAB，再根据ADBC得出BC平面PAB，故而平面PBC平面PAB【解答】证明：（1）ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，AD平面PBC（2）平面ABCD平面PAB，平面ABCD平面PABAB，ADAB，AD平面PAB，又ADBC，BC平面PAB，又BC平面PBC，平面PBC平面PAB【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定，考查线面平行的判定，属于基础题19（12分）在ABC中，A，AB6，AC，点D在BC边上，ADBD（1）求BC的长度及sinB的值；（2）求AD的长度及ADC的面积【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理可得；（2）先用余
25、弦定理求得ADBD，再根据SADC2SABD以及面积公式可得【解答】解：（1）由余弦定理得BC2AB2+AC22ABACcoaA36+18+3690，BC3，由正弦定理可得，sinB（2）由（1）知sinB，cosB，在三角形ABD中由余弦定理得cosB，解得AD，SADC2SABD2ABBDsinB66【点评】本题考查了正余弦定理，属中档题20（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2AA1，BAA1CAA1，D，E分别为AB，A1C中点（1）求证：DE平面BB1C1C；（2）求证：AA1平面A1BC，并求AB与平面A1BC所成的角；（3）若AA11，BC，求四棱锥A1BCC1
26、B1的体积【分析】（1）连接AC1，由题意可得：E为A1C的中点，所以E为AC1的中点连接BC1，可得DEBC1，进而根据线面平行的判定定理可得线面平行（2）设AA1a，则AB2a根据余弦定理可得：A1B23a2，所以A1B2+A1A2AB2，可得A1AA1B所以B1BA1B，同理可得B1BA1C，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直并能求出AB与平面A1BC所成的角（3）BB1BCAA1BC1，A1到平面BCC1B1的距离d，由此能求出四棱锥A1BCC1B1的体积【解答】证明：（1）连接AC1，因为AA1C1C为平行四边形，所以AC1与A1C互相平分因为E为A1C的中点，所以E为AC1的中点
27、连接BC1，因为D为AB的中点，所以DEBC1因为BC1平面BB1C1C，DE平面BB1C1C，所以DE平面BB1C1C（2）设AA1a，则AB2a因为BAA160，所以A1B2A1A2+AB22A1AABcosA1AB3a2，所以A1B2+A1A2AB2，所以A1AA1B因为B1BA1A，所以B1BA1B同理B1BA1C，因为A1BA1CA1，所以BB1平面A1BC因为AA1BB1，所以AA1平面A1BC因为AA1平面A1BC，所以ABA1是AB与平面A1BC所成的角，AB2a，AA1a，AA1A1B，所以ABA130，所以AB与平面A1BC所成的角为30解：（3）AA11，BC，BB1平面
28、A1BC，BB1BCAA1BC1，A1到平面BCC1B1的距离d，四棱锥A1BCC1B1的体积V【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立A，B，C，D四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A，B，C的位置已确定，AB2，BC6（单位：百米），记ABC，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题（1）如果DCDA4，求四边形ABCD的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求cos的值【分析】（1）连结BD，可得四边形
29、ABCD的面积SSABD+SCBD，由圆内接四边形性质、诱导公式和三角形面积公式，化简得S（ABAD+BCCD）sinA16sinA再根据ABD和CBD有公共边BD，利用余弦定理列式解出cosA的值，从而解得A120，代入前面式子即可得出四边形ABCD的面积（2）设圆形公园的半径为R，则可求R，由正弦定理可得sin，又由余弦定理可得AC，可得sin，两边平方得14sin2159cos，根据同角三角函数基本关系式可求14cos29cos2+10，解方程可求cos的值【解答】解：（1）连结BD，可得四边形ABCD的面积为：SSABD+SCBDABADsinA+BCCDsinC，四边形ABCD内接于
30、圆，A+C180，可得sinAsinCSABADsinA+BCCDsinC（ABAD+BCCD）sinA（24+64）sinA16sinA（*）在ABD中，由余弦定理可得：BD2AB2+AD22ABADcosA22+42224cosA2016cosA，同理可得：在CDB中，BD2CB2+CD22CBCDcosC62+42264cosC5248cosC，2016cosA5248cosC，结合cosCcos（180A）cosA，得64cosA32，解得cosA，A（0，180），A120，代入（*）式，可得四边形ABCD面积S16sin1208（2）设圆形公园的半径为R，则面积为万平方米，可得：R
31、2，可得：R，由正弦定理，可得：sin，由余弦定理可得：AC，sin，两边平方，整理可得：14sin2159cos，sin2+cos21，+cos21，整理可得：14cos29cos2+10，解得：cos，或【点评】本题给出圆内接四边形的各边之长，求它的面积考查了圆内接四边形的性质、正余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查了运用所学知识分析问题、解决问题的能力，本题计算量较大，属于中档题22（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有定点C和射线OA，已知OA，OC的倾斜角分别为，tan3，tan，OC13a（0a4）x轴上的动点M（m，0）（m62）与A，C共线（1）求C点坐
32、标（用a表示）；（2）求OAM面积S关于m的表达式Sf（m）；（3）求OAM面积的最小时直线AC的方程【分析】（1）根据tan可求得cos和sin，从而可得C的坐标；（2）通过直线OA和MC的方程联立解得A的坐标，由面积公式可得；（3）变形后用基本不等式可求得最小值，以及取得最小值的条件，从而可得直线AC的方程【解答】解：（1）tan且点C在第一象限，cos，sin，xOCcos13a12a，yOCsin13a5a，故C（12a，5a）（2）直线MC的方程为：y（xm），直线OA的方程为y3x，联立得A（，），SOAMm，f（m），（m62）（3）f（m）（m）+2+，当且仅当ma时取等号，此时直线的方程为y，即y（xa）【点评】本题考查了两角与差的三角函数，属难题
