1、2019-2020 学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“xR，x20”的否定为（ ） AxR，x20 BxR，x20 CxR，x20 DxR，x20 2 （5 分）已知函数 f（x）x+（x0） ，则下列结论正确的是（ ） Af（x）有最小值 4 Bf（x）有最大值 4 Cf（x）有最小值4 Df（x）有最大值4 3 （5 分） 已知数列an的首项 a11，
2、且满足 an+1， 则此数列的第三项是 （ ） A1 B C D 4 （5 分）已知 a，b 为实数，M：，N：ab，则 M 是 N 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 5 （5 分）关于 x 的不等式0 的解集是（ ） Ax|x1 Bx|x3 Cx|3x1 Dx|x3 或 x 1 6 （5 分）已知 a，b 为非零实数，且 ab0，则下列结论一定成立的是（ ） Aa2b2 Bab2ba2 C D 7 （5 分）已知数列an，其任意连续的四项之和为 20，且 a18，a27，a32，则 a2020 （ ） A
3、2 B3 C7 D8 8 （5 分） “x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是（ ） Aa1 Ba Ca2 Da0 9 （5 分）已知实数 x1，x2，m，n 满足 x1x2，mn，且（mx1） （nx1）0， （mx2） （nx2）0，则下列结论正确的是（ ） 第 2 页（共 16 页） Amx1x2n Bmx1nx2 Cx1mx2n Dx1mnx2 10（5 分） 已知数列an、 bn均为等差数列， 其前 n 项和分别记为 An、 Bn， 满足， 则的值为（ ） A B C D 11 （5 分）设正实数 x，y 满足 x+2y1，则的最小值为（ ） A4 B6 C7 D8 12
4、（5 分）已知数列an的通项 an，且存在正整数 T，S 使得 aTanaS对任 意的 nN*恒成立，则 T+S 的值为（ ） A15 B17 C19 D21 二、填空题：本题二、填空题：本题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卷中的横线上分把答案填在答题卷中的横线上 13 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，若 a4a6a8a1016，则的值为 14 （5 分）函数 f（x）x2+（x1）的最小值为 15 （5 分）已知数列an满足 a1，n（n+1） （an+1an）an+1an，则该数列an的通项 公式 an &n
5、bsp; 16 （5 分）已知关于 x 的不等式（4x3）24ax2的解集中的整数解恰好有三个，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列an是一个公差为 d（d0）的等差数列，前 n 项和为 Sn，a2、a4、 a5成等比数列，且 S515 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 10 项和 18 （10 分）已知 p：x22x350，q：x23mx+（2m1） （m+1）0 （其中实数 m2） （1）分别求出 p，q 中关于 x
6、的不等式的解集 M 和 N； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 第 3 页（共 16 页） 19 （12 分）已知函数 f（x）x2+a|x3|+9 （1）a2 时，解关于 x 的不等式 f（x）0； （2）若不等式 f（x）0 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 20 （12 分）已知数列an中，a14， （n+1） an+1（n+2） an（n2+3n+2） 2n （1）设 bn，求数列bn的通项公式； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 21 （12 分）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示） ，要求从圆形铁片上进行裁 剪，部件由三个全等的
7、矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为 ADx，CD y（单位：cm） ，且要求 yx，部件的面积是cm2 （1）求 y 关于 x 的函数表达式，并求定义域； （2）为了节省材料，请问 x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值 22 （14 分）已知数列an，a11，前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 2Sn（n+1） an恒成立 （1）求数列an的通项公式； （2）已知关于 n 的不等式对一切 n3，nN*恒成立， 求实数 a 的取值范围； （3）已知 cn（）2，数列cn的前 n 项和为 Tn，试比较 Tn与的大小并证明 第 4 页（共 16 页） 2019
8、-2020 学年江苏省常学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（上）州市“教学研究合作联盟”高二（上） 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“xR，x20”的否定为（ ） AxR，x20 BxR，x20 CxR，x20 DxR，x20 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解： 因为全称命题的否定是特称命题， 所以： 命题
9、 “R， x20” 的否定是xR， x20 故选：D 【点评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题 2 （5 分）已知函数 f（x）x+（x0） ，则下列结论正确的是（ ） Af（x）有最小值 4 Bf（x）有最大值 4 Cf（x）有最小值4 Df（x）有最大值4 【分析】根据基本不等式即可求出 【解答】解：x0， x0， f（x）x+（x）+24，当且仅当（x），即 x 2 时取等号， f（x）有最大值4， 故选：D 【点评】本题考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题 3 （5 分） 已知数列an的首项 a11， 且满足 an+1， 则此
10、数列的第三项是 （ ） A1 B C D 【分析】由已知数列的递推式，分别令 n1，n2，计算可得所求值 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：数列an的首项 a11，且满足 an+1， 可得 a2a1+， a3a2+， 故选：D 【点评】本题考查数列递推式的运用：求其中的某一项，考查运算能力，是一道基础题 4 （5 分）已知 a，b 为实数，M：，N：ab，则 M 是 N 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案 【解答】解：a，b 为实数，由，能够得到 ab
11、， 反之，由 ab，不一定有，如32，而无意义 M 是 N 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题 5 （5 分）关于 x 的不等式0 的解集是（ ） Ax|x1 Bx|x3 Cx|3x1 Dx|x3 或 x 1 【分析】由0 可得，结合二次不等式的求法即可求解 【解答】解：由0 可得， ， 解可得，x|3x1 故选：C 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，解题的关键是转化为二次不等式的求解 6 （5 分）已知 a，b 为非零实数，且 ab0，则下列结论一定成立的是（ ） Aa2b2 Bab2ba2 C D 【分析】作差法判断
12、不等式是否成立即可 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：a，b 为非零实数，且 ab0， 所以 ab，a2b2（ab） （a+b） ， ， ab2ba2ab（ba） ， 无法判断正负， 而成立， 故选：C 【点评】本题利用作差法判断不等式问题，基础题 7 （5 分）已知数列an，其任意连续的四项之和为 20，且 a18，a27，a32，则 a2020 （ ） A2 B3 C7 D8 【分析】判断数列的周期性，然后转化求解 a2020 【解答】解：数列an，其任意连续的四项之和为 20，且 a18，a27，a32，所以 a4 3，a58，a37， 数列是周期数列，数列的周期为：4， a202
13、0a5044+4a43 故选：B 【点评】本题考查数列的周期性，递推关系式的应用，考查计算能力，是基本知识的考 查 8 （5 分） “x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是（ ） Aa1 Ba Ca2 Da0 【分析】 “x1，2，ax2+10”为真命题当 x1，2时，a（）max，求出 在1，2上的最大值，则答案可求 【解答】解： “x1，2，使 ax2+10”为真命题，等价于当 x1，2时，a（） max， x1，2时，g（x）的值域为1， （）max 第 7 页（共 16 页） “x1，2，ax2+10”为真命题的充分必要条件是 a 故选：B 【点评】本题考查充分必要条件的应用
14、，考查特称命题的应用，考查数学转化思想方法， 注意存在性命题和任意性命题的区别，属于中档题 9 （5 分）已知实数 x1，x2，m，n 满足 x1x2，mn，且（mx1） （nx1）0， （mx2） （nx2）0，则下列结论正确的是（ ） Amx1x2n Bmx1nx2 Cx1mx2n Dx1mnx2 【分析】结合二次不等式的求解分别求出不等式（mx1） （nx1）0， （mx2） （n x2）0，的解集，然后即可进行比较 【解答】解：（mx1） （nx1）0， （mx2） （nx2）0， mx1n，mx2n， x1x2，mn， mx1x2n 故选：A 【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，
15、属于基础试题 10（5 分） 已知数列an、 bn均为等差数列， 其前 n 项和分别记为 An、 Bn， 满足， 则的值为（ ） A B C D 【分析】An、Bn，满足，不妨设 Ankn（4n+1） ，Bnkn（2n+3） ，即可得到 的值 【解答】解：依题意，设 Ankn（4n+1） ，Bnkn（2n+3） ，k0， 则 a5S5S45k（20+1）4k（16+1）105k68k37k， b7S7S67k（14+3）6k（12+3）119k90k29k， 所以， 第 8 页（共 16 页） 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和，考查了前 n 项和与二次函数的关系，考查推 理能
16、力和运算能力，属于基础题 11 （5 分）设正实数 x，y 满足 x+2y1，则的最小值为（ ） A4 B6 C7 D8 【分析】运用基本不等式即可得到所求最小值 【解答】解：由正实数 x，y 满足 x+2y1， 则+2+2+26 当且仅当， 即 x， y时 取等号， 故的最小值为 6， 故选：B 【点评】本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力， 属于中档题 12 （5 分）已知数列an的通项 an，且存在正整数 T，S 使得 aTanaS对任 意的 nN*恒成立，则 T+S 的值为（ ） A15 B17 C19 D21 【分析】对 an变形，考虑数列的单调性，利
17、用单调性求出故整个数列的最大 项为 a11，最小项为第 10 项，得出结论 【解答】解：an，2102021211， 当 n10 时，数列递减；且 an1，最小值为第 10 项， 当 n10，数列递减，且 an1，最大值为第 11 项， 故整个数列的最大项为 a11，最小项为第 10 项， 使得 aTanaS对任意的 nN*恒成立，所以 T+S10+1121 故选：D 【点评】考查数列的单调性判断和单调性的应用，存在性问题，中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把分把答案填在答题卷中的横线上答案填在答题卷中的横线上 第 9 页（共
18、 16 页） 13 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，若 a4a6a8a1016，则的值为 2 【分析】推导出 a4a6a8a1016，解得 a72，再由a7， 能求出结果 【解答】解：在各项均为正数的等比数列an中，a4a6a8a1016， a4a6a8a1016，解得 a72， a72 故答案为：2 【点评】本题考查等比数列的两项比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 14 （5 分）函数 f（x）x2+（x1）的最小值为 3 【分析】由题意，利用基本不等式求出函数 f（x）的最小值 【解答】解：由 x1，得 x21，x210； 所以函数 f（x）x
19、2+（x21）+12+13， 当且仅当 x211，即 x时取“” ， 所以函数 f（x）的最小值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题 15 （5 分）已知数列an满足 a1，n（n+1） （an+1an）an+1an，则该数列an的通项 公式 an 【分析】根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式 【解答】解：n（n+1） （an+1an）an+1an， 两边同时除以 an+1an得：， 化简得：n（n+1） （）1， 第 10 页（共 16 页） 两边同时除以 n（n+1）得：， ， ， ， 上式累加得：， 即：2， 故答案为： 【点评】本题主
20、要考查数列通项公式的求解，利用累加法是解决本题的关键 16 （5 分）已知关于 x 的不等式（4x3）24ax2的解集中的整数解恰好有三个，则实数 a 的取值范围是 【分析】由题意，原不等式转化为，（4+2）x3（42）x30，由解集中 的整数恰有 3 个，且为 1，2，3，得到 a 的不等式，解不等式可得 a 的范围 【解答】解：由题知，a0 则 （4x3）24ax2， （4x3）24ax20， （4x3+2x） （4x32x）0， （4+2）x3（42）x30， 当 a2 时，不等式为24x+90，解集为 x，不是恰好有三个整数解 当 a2 时，不等式为含 x 的一元二次不等式，此时 若时
21、，即 a0 时，不等式的解为 x不是恰好有三个整数解 若 0时 ， 即 0 a 4 且 a 2 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 x| 又，如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3 第 11 页（共 16 页） 解得： 若时，即 a4 时，不等式的解集为x|x或 不会恰好有三个整数解 综上所述，a 的取值范围是，） 故答案为：，） 【点评】本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问 题的能力属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列an是一个公差为 d（d
22、0）的等差数列，前 n 项和为 Sn，a2、a4、 a5成等比数列，且 S515 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列的前 10 项和 【分析】 （1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式 （2）推出，令，说明cn是首项为5，公差为的等差数列，然后 求解数列的和即可 【解答】解： （1）由 a2、a4、a5成等比数列得：，即 5d2 a1d， 又d0，a15d； 而，d1； ana1+（n1）dn6，an的通项公式为 ann6 （2）， 令，则为常数，cn是首项为5，公差为的等差数列， 的前 10 项和为 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，考查计
23、算能力 18 （10 分）已知 p：x22x350，q：x23mx+（2m1） （m+1）0 （其中实数 m2） （1）分别求出 p，q 中关于 x 的不等式的解集 M 和 N； 第 12 页（共 16 页） （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）分别求解一元二次不等式即可得到集合 M 与 N； （2）由 p 是 q 的必要不充分条件，得 NM，再由两集合端点值间的关系列不等式组求 解 【解答】解： （1）由 x22x35（x7） （x+5）0，得 M5，7； 由 x23mx+（2m1） （m+1）x（2m1）x（m+1）0，
24、m2，2m1m+1，得 Nm+1，2m1； （2）p 是 q 的必要不充分条件，NM， ，且等号不同时取， 解得6m4， 又 m2，2m4 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数 学转化思想方法，是基础题 19 （12 分）已知函数 f（x）x2+a|x3|+9 （1）a2 时，解关于 x 的不等式 f（x）0； （2）若不等式 f（x）0 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）化简不等式，通过 x 与 3 的大小比较，去掉绝对值求解即可 （2）f（x）0 恒成立时，x29a|x3|0 恒成立，通过x3 时，x3 时，x 3 时，转
25、化求解即可 【解答】解： （1）a2 时，x2+2|x3|+90，x3 时， （x3） （x+1）0， 1x3，x3；x3 时， （x3） （x+5）0，5x3，5x3； 综上所述，不等式的解集为5，3 （2）f（x）0 恒成立时，x29a|x3|0 恒成立， x3 时，不等式恒成立，aR； x3 时， （x3） （x+3a）0 恒成立，x+3a0 恒成立，a6； x3 时， （x3） （x+3+a）0 恒成立，x+3+a0 恒成立，a6； 综上所述，a 的取值范围是（，6 【点评】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想 的应用，是中档题 第 13 页（共 16
26、页） 20 （12 分）已知数列an中，a14， （n+1） an+1（n+2） an（n2+3n+2） 2n （1）设 bn，求数列bn的通项公式； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）已知条件化为，推出 bn+1bn2n；利用累加法转化求解 即可 （2）由（1）可得 an（n+1） 2n，利用错位相减法求解数列的和即可 【解答】解： （1）（n+1） an+1（n+2） an（n2+3n+2） 2n， 等式两边同时除以（n+1） （n+2）得：，即 bn+1bn2n； n2 时，有 b2b121，b3b222 bnbn12n 1 累加得 bnb122，又 b12，n2 时
27、，bn2n 又 n1 时，b12 也满足上式，nN*时，bn2n （2）由（1）可得 an（n+1） 2n， Sn221+322+423+（n+1） 2n， 2Sn222+323+424+（n+1） 2n+1， Sn221+22+23+2n（n+1） 2n+1 2+2（n+1） 2n+1n2n+1， Snn2n+1 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算 能力，是中档题 21 （12 分）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示） ，要求从圆形铁片上进行裁 剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为 ADx，CD y（单位：cm）
28、 ，且要求 yx，部件的面积是cm2 （1）求 y 关于 x 的函数表达式，并求定义域； （2）为了节省材料，请问 x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值 第 14 页（共 16 页） 【分析】 （1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可 （2）设圆形铁片半径为 R，则面积 SR2，过圆心 O 作 CD 的垂线，垂足为 E，交 AB 于点 F，连结 OD，则，求出 R 的表达式，然后利用基本不等式求解 最小值即可 【解答】解： （1）， 由得，函数的定义域为 （2）设圆形铁片半径为 R，则面积 SR2， 过圆心 O 作 CD 的垂线，垂足为 E，交 AB 于点 F，连结 O
29、D，则， ， x20，由基本不等式得： ， 当且仅当，即时，取“” 圆形铁片的最小面积为（cm2） ， 答：当 x2 时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2） 第 15 页（共 16 页） 【点评】本题考查函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是 解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题 22 （14 分）已知数列an，a11，前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 2Sn（n+1） an恒成立 （1）求数列an的通项公式； （2）已知关于 n 的不等式对一切 n3，nN*恒成立， 求实数 a 的取值范围； （3）已知 cn（）2，数列cn的前 n
30、项和为 Tn，试比较 Tn与的大小并证明 【分析】 （1）利用数列的递推关系式化简，通过累积法转化求解数列的通项公式 （2）设，利用后一项与前一项的差的符号，判 断数列的单调性即可 （3）通过放缩法，利用裂项消项法求解数列的和 Tnc1+c2+c3+cn然后推出结果 【解答】解： （1）2Sn（n+1）an，n2 时，2Sn1nan1， 2an（n+1）annan1，即 （n1）annan1（n2） ， 又 a110，an0， ， 累乘得 n2 时， n1 时，a11 也满足上式，ann （或构造常数列） 第 16 页（共 16 页） （2）设， 则 ， f（n）在 n3，nN*上单调递减， ， （3）， Tnc1+c2+c3+cn 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算 能力，是难题
