1、2018-2019 学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上上 1 （5 分）已知命题 p：xR，x2x1，则 p 为 2（5 分） 若集合 A1， 0， 1， B0， 1， 2， 3， 则图中阴影部分所表示的集合为 3 （5 分）若实数 a，b 满足（i 表示虚数单位） ，则 ab 的值为 4 （5 分）函数的定义域为 5 （5 分）用反证法证明命题“若直线 AB，CD 是异面直线，则直线 AC，BD 也是异面直线” 的过程可
2、归纳为以下三个步骤： 则 A，B，C，D 四点共面，所以 AB，CD 共面，这与 AB，CD 是异面直线矛盾； 所以假设错误，即直线 AC，BD 也是异面直线； 假设直线 AC，BD 是共面直线 则正确的推理步骤的序号依次为 6 （5 分）在复平面内，点 A（2，1）对应的复数 z，则|z+1| 7 （5 分）若一次函数 f（x）满足 f（f（x） ）x+4，则 f（1） 8 （5 分）如图所示，正方形 ABCD 和 BEFC 的边长均为 1，点 P 是公共边 BC 上的一个动 点， 设 CPx， 则 f （x） AP+PF 请你参考这些信息， 推知函数 f （x） 的值域是 9 （5 分）
3、聊斋志异中有这样一首诗： “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无 所阻，额上纹起终不悟 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术” ：2 第 2 页（共 17 页） ，3，4，5，则按照以上规律，若 100具有“穿墙术” ，则 n 10 （5 分）已知 p：指数函数 f（x）（t1）x在（，+）上为减函数；q：xR， x2+t2x+1则使“p 且 q”为真命题的实数 t 的取值范围为 11 （5 分）已知函数的定义域为 R，值域为0，+） ，则实数 a 的取值集合 为 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数满足 f（x）x3+5x（x0） ，若 f（12m）f（m） ， 则实数
4、m 的取值范围是 13 （5 分）已知函数，若存在实数 m2，3，使得 f（m）1，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）已知函数若关于 x 的不等式在 R 上恒 成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）已知复数 za2i（aR，i 表示虚数单位） （1）若（2i）z 为纯虚数，求复数 z； （2）在复平面内，若满足（2i）wz 的复数 w 对应的点在直线 xy0 上，求复数 z 16 （14 分）已知集合 Ax|2ax2
5、+a（a0） ，Bx|x2+3x40 （1）若 a3，求 AB； （2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数 a 的取值范围 17 （14 分）已知函数（a0 且 a1）的图象经过点 （1）求实数 a 的值； （2）若，求实数 t 的值； （3）判断并证明函数 yf（x）的单调性 18 （16 分）习总书记指出： “绿水青山就是金山银山” 常州市一乡镇响应号召，因地制宜 的将该镇打造成 “生态水果特色小镇” 调研过程中发现： 某珍稀水果树的单株产量 W （单 第 3 页（共 17 页） 位：千克）与肥料费用 10x（单位：元）满足如下关系： 其它成本投入（如培育管理等人工费）为 20x（单位
6、：元） 已知这种水果的市场售价大 约为 10 元/千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为 f（x） （单位：元） （1）求 f（x）的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 19 （16 分）已知是奇函数 （1）求实数 a 的值； （2）求函数 ye2x+e 2x2f（x）在 x0，+）上的值域； （3）令 g（x）f（x）x，求不等式 g（x3x2）+g（2x2x）0 的解集 20 （16 分）已知函数 f（x）x2x|xa|4a，a0 （1）若 a2，求 f（x）的单调区间； （2）求函数 f（x）在 x0，3上的最值； （3）当 a
7、（0，4）时，若函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求的取 值范围 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（下）学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二（下） 期中数学试卷（文科）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上上 1 （5 分）已知命题 p：xR，x2x1，则 p 为 xR，x2x1 【分析】 根据命题 p： “xR，x2x1”是全称命题，其否定
8、 p 定为其对应的特称命题， 由变，结论变否定即可得到答案 【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题” ， 命题 p：xR，x2x1，的否定是： xR，x2x1 故答案为：xR，x2x1 【点评】命题的否定即命题的对立面 “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反 的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立” ； “都是”与“不都是”等， 所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题” ， “存在性命题”的否定一定是“全称命 题” 2 （5 分）若集合 A1，0，1，B0，1，2，3，则图中阴影部分所表示的集合为 0， 1 【分析】根据 Venn 图确定阴影部分对应集合进行计算即可
9、【解答】解：阴影部分对应的集合为 AB， A1，0，1，B0，1，2，3， AB0，1， 故答案为：0，1 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用 Venn 图表示集合关系是解决本题的关键 3 （5 分）若实数 a，b 满足（i 表示虚数单位） ，则 ab 的值为 2 第 5 页（共 17 页） 【分析】化简等式，然后根据复数相等即可求出 a，b 【解答】解：， 2ii21+2ia+bi， a1，b2 ab2 故答案为：2 【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等，属基础题 4 （5 分）函数的定义域为 2，0）（0，1 【分析】可看出，要使得函数 f（x）有意义，则需满足，解出 x 的范
10、围即 可 【解答】解：要使 f（x）有意义，则：； 解得2x1，且 x0； f（x）的定义域为2，0）（0，1 故答案为：2，0）（0，1 【点评】考查函数定义域的定义及求法，以及一元二次不等式的解法 5 （5 分）用反证法证明命题“若直线 AB，CD 是异面直线，则直线 AC，BD 也是异面直线” 的过程可归纳为以下三个步骤： 则 A，B，C，D 四点共面，所以 AB，CD 共面，这与 AB，CD 是异面直线矛盾； 所以假设错误，即直线 AC，BD 也是异面直线； 假设直线 AC，BD 是共面直线 则正确的推理步骤的序号依次为 【分析】运用反证法的步骤，注意推出与条件矛盾即可 【解答】解：假
11、设直线 AC，BD 是共面直线， 则 A，B，C，D 四点共面，所以 AB，CD 共面，这与 AB，CD 是异面直线矛盾； 所以假设错误，即直线 AC，BD 也是异面直线 故答案为： 第 6 页（共 17 页） 【点评】本题考查反证法的运用，考查转化思想和推理能力，属于基础题 6 （5 分）在复平面内，点 A（2，1）对应的复数 z，则|z+1| 【分析】求出复数 z+1，然后求解复数的模 【解答】解：在复平面内，点 A（2，1）对应的复数 z，则|z+1|2+i+1|1+i| 故答案为： 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力 7 （5 分）若一次函数 f（x）
12、满足 f（f（x） ）x+4，则 f（1） 1 【分析】根据 f（x）为一次函数可设 f（x）ax+b，从而得出 f（f（x） ）a2x+ab+b，从 而得出 a2x+ab+bx+4，从而得出，解出 a，b，即可得出 f（x）的解析式，从 而可求出 f（1） 【解答】解：设 f（x）ax+b，则：f（f（x） ）f（ax+b）a（ax+b）+ba2x+ab+b x+4； ； 解得； f（x）x+2； f（1）1 故答案为：1 【点评】考查一次函数的一般形式，待定系数法求函数解析式的方法，已知 f（x）求 fg （x）的方法 8 （5 分）如图所示，正方形 ABCD 和 BEFC 的边长均为 1
13、，点 P 是公共边 BC 上的一个动 点，设 CPx，则 f（x）AP+PF请你参考这些信息，推知函数 f（x）的值域是 第 7 页（共 17 页） 【分析】分别在 RtPCF 和 RtPAB 中利用勾股定理，得 f（x）PA+PF 运动点 P，可得 A、P、B 三点共线时，PA+PF 取得最小值；当 P 在点 B 或点 C 时，PA+PF 取得最大值由此即可得到函数 f（x）的值域 【解答】解：RtPCF 中，PF， 同理可得，RtPAB 中，PA， f（x）PA+PF+， 当 A、B、P 三点共线时，即 P 在矩形 ADFE 的对角线 AF 上时，PA+PF 取得最小值 ， 当 P 在点
14、B 或点 C 时，PA+PF 取得最大值+1， PA+PF+1，可得函数 f（x）AP+PF 的值域为，+1 故答案为：，+1 【点评】本题以一个实际问题为例，求函数的解析式和值域，考查了勾股定理和函数的 值域及其求法等知识点，属于基础题 9 （5 分） 聊斋志异中有这样一首诗： “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无 所阻，额上纹起终不悟 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术” ：2 ，3，4，5，则按照以上规律，若 100具有“穿墙术” ，则 n 9999 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出根据内分式的分母与分子的 关系，可得答案 【解答】解：由已知中：，
15、， ， 第 8 页（共 17 页） ， 归纳可得： 第 k 个式子中，等式左边根号外的系数，根号内分式的分子，也等式右边根号内分式的 分子均为 k+1， 分母均为（k+1）21 故第 99 个式子中，k+1100， 分母为（k+1）219999 故答案为：9999 【点评】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类： （1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项 及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等 （2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳 10 （5 分）已知 p：指数函数 f（x）（t1）x在（，+）上为减函数；q
16、：xR， x2+t2x+1则使“p 且 q”为真命题的实数 t 的取值范围为 （1，2） 【分析】根据条件求出命题 p，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解 即可 【解答】解：若指数函数 f（x）（t1）x在（，+）上为减函数， 则 0t11 得 1t2，即 p：1t2， 若xR，x2+t2x+1，即 x22x+t10 有解，即判别式44（t1）0， 得 1t+10，得 t2，即 q：t2， 若“p 且 q”为真命题，则 p，q 同时为真命题， 即，得 1t2， 即实数 t 的取值范围是（1，2） ， 故答案为： （1，2） 【点评】本题主要考查复合命题的应用，结合条件判断命题
17、 p，q 为真命题的等价条件是 解决本题的关键 11 （5 分）已知函数的定义域为 R，值域为0，+） ，则实数 a 的取值集合 为 2，2 第 9 页（共 17 页） 【分析】根据题意可得出：不等式 x2+ax+10 的解集为 R，并且 x2+ax+1 的最小值为 0， 从而得出a240，解出 a 的范围即可 【解答】解：据题意知，x2+ax+10 的解集为 R，且 x2+ax+1 的最小值为 0； a240； a2 或 2； 实数 a 的取值集合为2，2 故答案为：2，2 【点评】考查函数定义域、值域的定义及求法，一元二次不等式 x2+bx+c0 的解集为 R 且 x2+bx+c 的最小值
18、为 0 时，判别式的取值情况 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数满足 f（x）x3+5x（x0） ，若 f（12m）f（m） ， 则实数 m 的取值范围是 【分析】根据题意，分析易得 f（x）在0，+）上为增函数，结合函数的奇偶性可得 f （12m）f（m）f（|12m|）f（|m|）|12m|m|，解可得 m 的取值范围，即 可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）x3+5x，则 f（x）在0，+）上为增函数， 又由 f（x）为偶函数， 则 f（12m）f（m）f（|12m|）f（|m|）|12m|m|， 变形可得： （2m1）2m2， 解可得：m或 m1， 即 m 的
19、取值范围为（，1，+） ； 故答案为： （，1，+） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于 m 的不等式，属 于基础题 13 （5 分）已知函数，若存在实数 m2，3，使得 f（m）1，则实数 a 的取值范围是 【分析】原命题等价于函数 a在 m2，3的值域，根据对勾函数的单 调性求其值域即可 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：由 m2，3，使得 f（m）1 得， a， 存在实数 m2，3，使得 f（m）1， 实数 a 的取值范围等价于函数 a在 m2，3的值域， 又当 m2，3时函数 a单调递减， 当 m2 时，a 的最大值为 8；当 m3 时，a 的最小值
20、为， a，8 故答案为：，8 【点评】本题考查了求对勾函数在给定区间上的值域，考查了转化思想和计算能力，属 基础题 14 （5 分）已知函数若关于 x 的不等式在 R 上恒 成立，则实数 a 的取值范围是 【分析】作出 f（x）的图象，结合题意，考虑 yf（x）的图象恒在 y|a+|的图象上， 由 y|a+|的图象经过点（0，2） ，可得 a； y|a+|的图象在 x1 与 yx+的图象相切，由导数的几何意义，解方程即可得到 a， 进而得到所求范围 【解答】解：作出函数的图象， 当 y|a+|的图象经过点（0，2） ， 可得|a|2，由 yf（x）的图象恒在 y|a+|的图象上， 可得 a2，
21、 当 y|a+|的图象在 x1 与 yx+的图象相切， 由设切点为（m，n） ，可得1，解得 m，n， 第 11 页（共 17 页） 即有+a，解得 a， 由题意和图象可得 a 的范围是2， 故答案为：2， 【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用数形 结合思想和化简变形能力，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 15 （14 分）已知复数 za2i（aR，i 表示虚数单位） （1）若（2i）z 为纯虚数，求复数 z； （2）在复
22、平面内，若满足（2i）wz 的复数 w 对应的点在直线 xy0 上，求复数 z 【分析】 （1）化简（2i）z 根据其为纯虚数得，然后解方程即可； （2）求出 w，根据 w 对应的点在直线 xy0 上，建立方程，然后解方程即可 【解答】 （1） （2i）z（2i） （a2i）2（a1）（a+4）i， （2i）z 为纯虚数， a1，z12i； （2） 复数 w 对应的点在直线 xy0 上， a6z62i 【点评】题考查了复数的运算法则、复数相等、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 16 （14 分）已知集合 Ax|2ax2+a（a0） ，Bx|x2+3x40 （1）若 a3，求
23、 AB； （2）若“xA”是“xB”的必要条件，求实数 a 的取值范围 第 12 页（共 17 页） 【分析】 （1）求出集合的等价条件，结合并集的定义进行求解即可； （2）根据必要条件与不等式的关系，建立不等式组进行求解即可 【解答】解： （1）当 a3 时，Ax|2ax2+a1，5， Bx|x2+3x404，1， 所以，AB4，5， （2）Ax|2ax2+a（a0） ，Bx|x2+3x404，1， 因为“xA”是“xB”的必要条件， 所以， 所以，所以 a6 所以，当 a6 时， “xA”是“xB”的必要条件 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及集合的基本运算，结合充分条件 和
24、必要条件与不等式的关系进行转化是解决本题的关键 17 （14 分）已知函数（a0 且 a1）的图象经过点 （1）求实数 a 的值； （2）若，求实数 t 的值； （3）判断并证明函数 yf（x）的单调性 【分析】 （1）根据题意，将点的坐标代入函数解析式，可得，解可 得 a 的值，即可得答案； （2）由（1）可得函数的解析式，分析可得 f（t），变形计算可得答 案； （3）根据题意，设 x1x2，由作差法分析可得答案 【解答】 解：（1） 根据题意， 函数（a0 且 a1） 的图象经过点， 将点的坐标代入函数式得， 解得，a2； 第 13 页（共 17 页） （2）由（1）得， 若，则 f（t
25、），即， 所以， 所以， （3）函数 yf（x）是（，+）上的减函数， 证明：由（1）得 令x1 x2， 则 ， 因为指数函数 y2x是（，+）上的增函数，而 x1x2， 所以，所以， 所以，即 f（x1）f（x2）0， 所以，f（x1）f（x2） ，所以，函数 yf（x）是（，+）上的减函数 【点评】本题考查函数的单调性的判定以及证明，涉及函数解析式的计算，属于基础题 18 （16 分）习总书记指出： “绿水青山就是金山银山” 常州市一乡镇响应号召，因地制宜 的将该镇打造成 “生态水果特色小镇” 调研过程中发现： 某珍稀水果树的单株产量 W （单 位：千克）与肥料费用 10x（单位：元）满足
26、如下关系： 其它成本投入（如培育管理等人工费）为 20x（单位：元） 已知这种水果的市场售价大 约为 10 元/千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为 f（x） （单位：元） （1）求 f（x）的函数关系式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）由已知 f（x）10W（x）20x10x10W（x）30x，代入 W（x）的解 第 14 页（共 17 页） 析式，整理即可； （2）将所得函数式变形成能求最值的形式（配方或者变成基本不等式的形式）结合实际 条件求最值即可 【解答】解： （1）由已知 f（x）10W（x）20x10x10W（
27、x）30x 即 f（x） 答：f（x）的函数关系式为 f（x） （2）由（1）f（x）变形得 f（x）， 当 0x2 时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 且 f（0）100f（2）240 f（x）maxf（2）240； 当 2x5 时， 当且仅当时，即 x3 时等号成立 f（x）max510308270， 因为 240270，所以当 x3 时，f（x）max270 答：当投入的肥料费用为 30 元时，种植该果树获得的最大利润是 270 元 【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及了分段函数以及用基本不等式求最值和二次 函数求最值的问题，属于比较有难度的题目 第 15 页（共 17 页） 1
28、9 （16 分）已知是奇函数 （1）求实数 a 的值； （2）求函数 ye2x+e 2x2f（x）在 x0，+）上的值域； （3）令 g（x）f（x）x，求不等式 g（x3x2）+g（2x2x）0 的解集 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的定义可得 f（0）0，即 1+a0，解可得 a1， 验证函数是否为奇函数即可得答案； （2） 令（t0） ， 则有， 由换元法分析可得 h （t） t22t+2， 结合二次函数的性质分析可得答案， （3） 根据题意， 分析函数 g （x） 的奇偶性与单调性， 可以将原不等式转化为 x3x2x2+x 2，即 x32x2x+20，解可得 x 的取值范围，即可得
29、答案 【解答】解： （1）根据题意，函数的定义域为 R， 又因为 f（x）为奇函数，则 f（0）0，即 1+a0，解可得 a1； 当 a1 时，此时 f（x）为奇函数，符合题意 故 a1； （2）令（t0） ，所以 所以 h（t）t22t+2，对称轴 t， 当 0 时，h（t）h（0） ，+） ，所求值域为2，+） ； 当 0 时，h（t）h（） ，+） ，所求值域为22，+） ； （3）因为为奇函数，所以 g（x）f（x）（x）f（x）+x g（x） ， 所以 g（x）f（x）x 为奇函数， 所以 g（x3x2）+g（2xx2）0 等价于 g（x3x2）g（x2+x2） ， 又当且仅当 x0
30、 时，等号成立， 所以 g（x）f（x）x 在 R 上单调增， 所以 x3x2x2+x2，即 x32x2x+20， 又 x32x2x+2（x2） （x1） （x+1）0， 所以 x1 或 1x2， 第 16 页（共 17 页） 所以不等式的解集是（，1）（1，2） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的值域，属于综合题 20 （16 分）已知函数 f（x）x2x|xa|4a，a0 （1）若 a2，求 f（x）的单调区间； （2）求函数 f（x）在 x0，3上的最值； （3）当 a（0，4）时，若函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求的取 值范围 【分析】 （1）将
31、 a2 代入 f（x）中，然后去绝对值，然后分别求单调区间； （2）分 0a3，3a6，6a12，a12 四种情况分别求 f（x）的最值； （3）令 f（x）0，则可得，（舍） ，然后 求的取值范围 【解答】解： （1）f（x）x2x|x2|8 当 x2 时，函数 f（x）的对称轴是，开口向上， 故 f（x）在上单调递减，在上单调递增， 当 x2 时，函数 f（x）在（2，+）上单调递增， 综上：f（x）在上单调递减，在上单调递增； （2）当 0a3 时，f（x）x2x|xa|4a f（x）2x2ax4a 的对称轴是， f（x）在上递减，在上递增 而 f（0）4af（3）a 最小值，最大值 f
32、（3）a； 当 3a6 时 f（x）2x2ax4a 的对称轴是， 又 f（0）4af（3）187a， 第 17 页（共 17 页） f（x）的最小值为，最大值 f（3）187a， 当 6a12 时，f（0）4af（3）187a f（x）的最小值为，最大值 f（0）4a， 当 a12 时，f（x）2x2ax4a 的对称轴是 f（x）的最小值 f（3）187a，最大值 f（0）4a， 综上：当 0a3 时，f（x）的最小值，最大值 f（3）a； 当 3a6 时，f（x）的最小值为，最大值 f（3）187a； 当 6a12 时，f（x）的最小值为，最大值 f（0）4a 当 a12 时，f（x）的最小值 f（3）187a，最大值 f（0）4a （3） 当 0a4 时，令 f（x）0， 可得，（因为 f（a）a24a0，x3a 舍去） 在0a4上是减函 数， 【点评】本题考查了含绝对值的二次函数的单调性和最值，考查了分类讨论和数形结合 思想，属中档题
