2018-2019学年江苏省徐州市高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年江苏省徐州市高一(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1(5分)已知直线l过A(1,1)、B(1,3)两点,则直线l的倾斜角的大小为()ABCD2(5分)已知一个球的表面积为16,则这个球的体积是()ABCD3(5分)如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C0不通过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4(5分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a,b,A60,则B的大小为()ABCD或5(5分)如图,已知正方体ABCDA

2、1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1BB1D1D的体积为(ABCD6(5分)已知直线l1:ax+3y+10与直线l2:2x+(a+1)y+10互相平行,则实数a的值为()A3BC2D3或27(5分)在ABC中,A30,BC1,则ABC的面积等于()ABC或D或8(5分)设m,n是两条不同直线,是三个不同平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn;若,m,则m;若m,n,则mn;若m,m,则其中正确命题的个数是()A1B2C3D49(5分)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态)将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面所在的平面与各棱交点E,F,F1,E

3、1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为()AB2CD10(5分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a2tanBb2tanA,则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形11(5分)直线l1:kxy2k+40与x轴交于点M,直线l2:x+ky4k20与y轴交于点N,线段MN的中点为P,则点P的坐标(x,y)满足的方程为()A(x+2y5)(2xy)0Bx+2y50C(2x+y+4)(2x+y)0D2x+y4012(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足b2a2ac,则的取值范围是()A(1

4、,)B(1,)C(,)D(1,+)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上)13(5分)过直线2xy+40与xy+50的交点,且垂直于直线x2y0的直线方程是   14(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则圆柱的体积为   15(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD   m16(5分)在ABC中,ABC120,ABC的平

5、分线交AC于点D,且BD1,BC3,则边AC的值为   三、解答题(本大题共6小题,共计70分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求直线l的方程:(1)直线l的倾斜角等于;(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于018(10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCAC,D,E分别是AB,AC的中点(1)求证:B1C1平面A1DE;(2)求证:平面A1DE平面ACC1A119(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知bsinAacos(B)()求角B的大小;()设a2,c

6、3,求b和sin(2AB)的值20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD底面ABCD,且PAPDAD,若E、F分别为PC、BD的中点(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:EF平面PDC21(12分)如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在ADE区域内参观,在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,MPN为监控角,其中M、N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方,经测量得知:AD6米,AE6米,AP2米,MPN,记EPM(弧度),监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米(1)求S

7、关于的函数关系式,并写出的取值范围:(参考数据:tan3)2)求S的最小值22(14分)如图,在平面四边形ABCD中,AB2,BC6,ADCD4(1)当四边形ABCD内接于圆O时,求四边形ABCD的面积S;(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线BD的长2018-2019学年江苏省徐州市高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1(5分)已知直线l过A(1,1)、B(1,3)两点,则直线l的倾斜角的大小为()ABCD【分析】根据直线l过A、B求出斜率

8、,再求倾斜角【解答】解:直线l过A(1,1)、B(1,3)两点,则直线l的斜率为k1,直线的倾斜角为故选:C【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率应用问题,是基础题2(5分)已知一个球的表面积为16,则这个球的体积是()ABCD【分析】通过球的表面积求出球的半径,然后求出球的体积【解答】解:一个球的表面积是16,所以球的半径为:2,所以这个球的体积为:故选:B【点评】本题是基础题,考查球的表面积、体积的计算,考查计算能力,公式的应用3(5分)如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C0不通过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先把Ax+By+C0化为y,再由AC0,BC0得到,

9、数形结合即可获取答案【解答】解:直线Ax+By+C0可化为,又AC0,BC0AB0,直线过一、二、四象限,不过第三象限故选:C【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化,以及学生数形结合的能力,属容易题4(5分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a,b,A60,则B的大小为()ABCD或【分析】根据题意,则sinB,计算可得sinB的值,又由ab,则AB,结合B的范围分析可得答案【解答】解:根据题意,在ABC中,则sinB,又由a,b,A60,则sinB,又由ab,则AB,则B,故选:B【点评】本题考查正弦定理的应用,注意正弦定理的形式,属于基础题5(5分)如图,已

10、知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1BB1D1D的体积为(ABCD【分析】求出四棱锥的底面面积与高,然后求解四棱锥的体积【解答】解:由题意可知四棱锥A1BB1D1D的底面是矩形,边长:1和,四棱锥的高:A1C1则四棱锥A1BB1D1D的体积为:1故选:B【点评】本题考查几何体的体积的求法,判断几何体的形状是解题的关键6(5分)已知直线l1:ax+3y+10与直线l2:2x+(a+1)y+10互相平行,则实数a的值为()A3BC2D3或2【分析】利用两条直线平行,斜率相等,建立等式即可求a的值【解答】解:直线l1:ax+3y+10,的斜率存在,斜率为,l2:2x+(a+1)y

11、+10,斜率为直线l1:ax+3y+10与l2:2x+(a+1)y+10互相平行解得:a3或2当a2时,两直线重合,a3故选:A【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,属基础题7(5分)在ABC中,A30,BC1,则ABC的面积等于()ABC或D或【分析】利用余弦定理列出关系式,将cosA,a与c的值代入求出b的值,再由于b,c及sinA的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解:在ABC中,A30,ABc,BCa1,由余弦定理得:a2b2+c22bccosA,即1b2+33b,解得:b1或b2,则SABCbcsinA或故选:D【点评】此题考查了余弦定理,三角形面

12、积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键8(5分)设m,n是两条不同直线,是三个不同平面,给出下列四个命题:若m,n,则mn;若,m,则m;若m,n,则mn;若m,m,则其中正确命题的个数是()A1B2C3D4【分析】由线面垂直的性质定理可判断;由面面平行的性质和线面垂直的性质可判断;由线面平行的性质,可判断;由线面平行的性质和面面垂直的判断,可判断【解答】解:m,n是两条不同直线,是三个不同平面,若m,n,由线面垂直的性质定理可得mn,正确;若,可得,又m,则m,正确;若m,n,则mn或m,n相交、或m,n异面,错误;若m,m,过m的平面与交于n,可得mn,可得n,由面面垂

13、直的判定定理可得,正确故选:C【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系,考查平行和垂直的判断和性质,空间想象能力和推理能力,属于基础题9(5分)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态)将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面所在的平面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为()AB2CD【分析】设正三棱柱的底面积为S,可得其体积为3S,利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积,得其体积,可得图甲中的有水部分的高【解答】解:设正三棱柱的底面积为S,则3SE,F,F1,E1分别为所在棱的中点,即SAFES,则图甲中

14、水面的高度为故选:D【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,明确图乙中有水的部分为四棱柱是解答该题的关键,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题10(5分)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a2tanBb2tanA,则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】三角形ABC中,利用正弦定理化简a2tanBb2tanA,再利用二倍角的正弦即可得到sin2Asin2B,从而得到:AB或A+B,问题即可解决【解答】解:三角形ABC中,a2tanBb2tanA,由正弦定理,得:,sinAsinB0,所

15、以sin2Asin2B,又A、B为三角形中的角,2A2B或2A2B,AB或A+B,则ABC的形状是等腰或直角三角形故选:D【点评】本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式,属于中档题11(5分)直线l1:kxy2k+40与x轴交于点M,直线l2:x+ky4k20与y轴交于点N,线段MN的中点为P,则点P的坐标(x,y)满足的方程为()A(x+2y5)(2xy)0Bx+2y50C(2x+y+4)(2x+y)0D2x+y40【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),k0时,两条直线化为:y40,x20,不满足条件,舍去k0时,分别求出交点,利用中点坐标公式,可得

16、线段MN的中点P,消去k可得直线方程【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),k0时,两条直线化为:y40,x20,不满足条件,舍去k0时,直线l1:kxy2k+40与x轴交于点M(,0)直线l2:x+ky4k20与y轴交于点N(0,),线段MN的中点为P,可得:x,y,消去k可得:x+2y50,则点P的坐标(x,y)满足的方程为x+2y50,故选:B【点评】本题考查了轨迹方程、直线交点、中点坐标个数,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足b2a2ac,则的取值范围是()A(1,)B(1,)C(,)

17、D(1,+)【分析】根据正弦定理化简已知式子,由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后,由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系,由锐角三角形的条件求出B的范围,利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子,由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围【解答】解:b2a2ac,由正弦定理得,sin2Bsin2AsinAsinC,可得:sinAsinC,可得:sinAsinC,由和差化积公式得cos2Acos2B2sin(A+B)sin(AB),代入上式得,sin(A+B)sin(AB)sinAsinC,sin(A+B)sinC0,sin(AB)sinA,即sin(BA)sinA,在AB

18、C中,BAA,得B2A,则C3A,ABC为锐角三角形,解得:A,则:B,由 B得,sinB(,1),则(1,),取值范围是(1,),故选:A【点评】本题是综合题,考查了正弦定理,三角恒等变换中公式,以及正弦函数的性质,涉及知识点多、公式多,综合性强,考查化简、变形能力,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上)13(5分)过直线2xy+40与xy+50的交点,且垂直于直线x2y0的直线方程是2x+y80【分析】联立已知的两直线方程得到一个二元一次方程组,求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标,所求的直线过交点坐标,然后由两

19、直线垂直时斜率的乘积等于1,根据已知直线x2y0的斜率即可得到所求直线的斜率,根据一点坐标和求出的斜率写出所求直线的方程即可【解答】解:联立得:,得:x1,把x1代入,解得y6,原方程组的解为:所以两直线的交点坐标为(1,6),又因为直线x2y0的斜率为,所以所求直线的斜率为2,则所求直线的方程为:y62(x1),即2x+y80故答案为:2x+y80【点评】此题考查学生会求两直线的交点坐标,掌握两直线垂直时斜率满足的关系,会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道基础题14(5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则圆柱的体积为【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r

20、,由此能求出该圆柱的体积【解答】解:圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,该圆柱底面圆周半径r,该圆柱的体积:VSh()21故答案为:【点评】本题考查面圆柱的体积的求法,考查圆柱、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想,是中档题15(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD100m【分析】设此山高h(m),在BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解:设

21、此山高h(m),则BCh,在ABC中,BAC30,CBA105,BCA45,AB600根据正弦定理得,解得h100(m)故答案为:100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解16(5分)在ABC中,ABC120,ABC的平分线交AC于点D,且BD1,BC3,则边AC的值为【分析】根据面积关系建立方程关系,求出c的值,再根据余弦定理求出AC的值【解答】解:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由题意得acsin120asin60+csin60,即3c3+c,解得c,由余弦

22、定理可得b2a2+c22accosB9+23(),b,即AC,故答案为:【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理,考查了运算能力和转化能力,属于基础题三、解答题(本大题共6小题,共计70分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求直线l的方程:(1)直线l的倾斜角等于;(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0【分析】(1)利用倾斜角求出直线l的斜率,再利用点斜式写出方程,化为一般式方程;(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b,讨论ba0和ba0时,分别求出直线l的方程【解答】解:(1)设直线l的斜

23、率为k,则ktan,又直线过点P(2,3),所以直线的点斜式方程为y3(x2),化为一般形式为x+y(3+2)0;(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b,由题意知,a+b0,即ba;若ba0时,则直线l又过点(0,0),可得直线l的方程为:3x2y0;若ba0时,则直线l的方程为:+1,将点P(2,3)代入得:+1,解得a1;所以直线l的方程为:3x2y0或xy+10【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率应用问题,也考查了直线的截距应用问题,是基础题18(10分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCAC,D,E分别是AB,AC的中点(1)求证:B1C1平面A1DE;(2)求证:平面

24、A1DE平面ACC1A1【分析】(1)证明B1C1DE,即可证明B1C1平面A1DE;(2)证明DE平面ACC1A1,即可证明平面A1DE平面ACC1A1【解答】证明:(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DEBC,(2分)又因为在三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1BC,所以B1C1DE(4分)又B1C1平面A1DE,DE平面A1DE,所以B1C1平面A1DE(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,又DE底面ABC,所以CC1DE(8分)又BCAC,DEBC,所以DEAC,(10分)又CC1,AC平面ACC1A1,且CC1ACC,所以DE平面ACC1A1(12分

25、)又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1(14分)【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题19(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知bsinAacos(B)()求角B的大小;()设a2,c3,求b和sin(2AB)的值【分析】()由正弦定理得bsinAasinB,与bsinAacos(B)由此能求出B()由余弦定理得b,由bsinAacos(B),得sinA,cosA,由此能求出sin(2AB)【解答】解:()在ABC中,由正弦定理得,得bsinAasinB,又bsinAacos(B)asinBacos(

26、B),即sinBcos(B)cosBcos+sinBsincosB+,tanB,又B(0,),B()在ABC中,a2,c3,B,由余弦定理得b,由bsinAacos(B),得sinA,ac,cosA,sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1,sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB【点评】本题考查角的求法,考查两角差的余弦值的求法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD底面ABCD,且PAPDAD,若E、F分别为PC、BD的中点(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:EF平面PDC【分析】

27、(1)连结AC,推导出EFPA,由此能证明EF平面PAD(2)推导出CD平面PAD,CDPA,由EFPA,得CDEF,推导出PAPD,由EFPA,得PDEF,由此能证明EF平面PDC【解答】证明:(1)连结AC,在矩形ABCD中,F是BD的中点,则F是AC的中点,又E是PC的中点,在CPA中,EFPA,又PA平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,CD平面ABCD,又由矩形ABCD得CDAD,CD平面PAD,CDPA,EFPA,CDEF,又PAPDAD,PAD是等腰直角三角形,且,PAPD,EFPA,PDEF,CDPDD,CD平面PD

28、C,PD平面PDC,EF平面PDC【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题21(12分)如图,矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图,点E在AB上,在梯形BCDE区域内部展示文物,DE是玻璃幕墙,游客只能在ADE区域内参观,在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头,MPN为监控角,其中M、N在线段DE(含端点)上,且点M在点N的右下方,经测量得知:AD6米,AE6米,AP2米,MPN,记EPM(弧度),监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米(1)求S关于的函数关系式,并写出的取值范围:(参考数据:tan3)2)求

29、S的最小值【分析】(1)利用正弦定理,求出PM,PN,即可求S关于的函数关系式,M与E重合时,0,N与D重合时,tanAPD3,即,即可写出的取值范围;(2)当2+即时,S取得最小值【解答】解:(1)在PME中,EPM,PE4m,PEM,PME,由正弦定理可得PM,同理,在PNE中,PN,SPMN,M与E重合时,0,N与D重合时,tanAPD3,即,0,综上所述,SPMN,0;(2)当2+即时,S取得最小值8(1)平方米【点评】本题考查正弦定理,考查三角形面积的计算,考查三角函数知识的运用,属于中档题22(14分)如图,在平面四边形ABCD中,AB2,BC6,ADCD4(1)当四边形ABCD内

30、接于圆O时,求四边形ABCD的面积S;(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线BD的长【分析】(1)连接BD,由余弦定理可得2016cosA5248cosC,又A+C,化简可得:cosA,结合范围A(0,),可求A,C,利用三角形的面积公式即可得解(2)设四边形ABCD的面积为S,则SSABD+SBCD,由余弦定理BD2AB2+AD22ABADcosABC2+CD22BCCDcosC,解得66cos(A+C),可求当A+C时,有最大值,即S有最大值此时,AC,代入23cosCcosA,可得:cosC,结合C(0,),可得C,在BCD中,利用余弦定理可求BD的值【解答】(本题满分为14分)解

31、:(1)连接BD,由余弦定理可得:BD2AB2+AD22ABADcosA22+42224cosA,BD2BC2+CD22BCCDcosC42+62246cosC,可得:2016cosA5248cosC,2分又四边形ABCD内接于圆O,则又A+C,所以:2016cosA5248cos(A),化简可得:cosA,又A(0,),所以A,C,4分所以SSABD+SBCD+8,6分(2)设四边形ABCD的面积为S,则SSABD+SBCD,可得:BD2AB2+AD22ABADcosABC2+CD22BCCDcosC,8分可得:,可得:,平方后相加,可得:+410+6sinAsinC6cosAcosC,即:66cos(A+C),10分又A+C(0,2),当A+C时,有最大值,即S有最大值此时,AC,代入23cosCcosA,可得:cosC,又C(0,),可得:C,12分在BCD中,可得:BD2BC2+CD22BCCDcosC42+62246cos28,可得BD214分【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力,考查了转化思想和数形结合思想的应用,属于中档题

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