1、2018-2019学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（5分）已知直线l过A（1，1）、B（1，3）两点，则直线l的倾斜角的大小为（）ABCD2（5分）已知一个球的表面积为16，则这个球的体积是（）ABCD3（5分）如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a，b，A60，则B的大小为（）ABCD或5（5分）如图，已知正方体ABCDA
2、1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为（ABCD6（5分）已知直线l1：ax+3y+10与直线l2：2x+（a+1）y+10互相平行，则实数a的值为（）A3BC2D3或27（5分）在ABC中，A30，BC1，则ABC的面积等于（）ABC或D或8（5分）设m，n是两条不同直线，是三个不同平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若m，m，则其中正确命题的个数是（）A1B2C3D49（5分）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E
3、1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）AB2CD10（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanBb2tanA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形11（5分）直线l1：kxy2k+40与x轴交于点M，直线l2：x+ky4k20与y轴交于点N，线段MN的中点为P，则点P的坐标（x，y）满足的方程为（）A（x+2y5）（2xy）0Bx+2y50C（2x+y+4）（2x+y）0D2x+y4012（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足b2a2ac，则的取值范围是（）A（1
4、，）B（1，）C（，）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（5分）过直线2xy+40与xy+50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是 14（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为 15（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m16（5分）在ABC中，ABC120，ABC的平
5、分线交AC于点D，且BD1，BC3，则边AC的值为 三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角等于；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于018（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点（1）求证：B1C1平面A1DE；（2）求证：平面A1DE平面ACC1A119（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B）（）求角B的大小；（）设a2，c
6、3，求b和sin（2AB）的值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，若E、F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：EF平面PDC21（12分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD6米，AE6米，AP2米，MPN，记EPM（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S
7、关于的函数关系式，并写出的取值范围：（参考数据：tan3）2）求S的最小值22（14分）如图，在平面四边形ABCD中，AB2，BC6，ADCD4（1）当四边形ABCD内接于圆O时，求四边形ABCD的面积S；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长2018-2019学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（5分）已知直线l过A（1，1）、B（1，3）两点，则直线l的倾斜角的大小为（）ABCD【分析】根据直线l过A、B求出斜率
8、，再求倾斜角【解答】解：直线l过A（1，1）、B（1，3）两点，则直线l的斜率为k1，直线的倾斜角为故选：C【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率应用问题，是基础题2（5分）已知一个球的表面积为16，则这个球的体积是（）ABCD【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积【解答】解：一个球的表面积是16，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：故选：B【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用3（5分）如果AC0，且BC0，那么直线Ax+By+C0不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先把Ax+By+C0化为y，再由AC0，BC0得到，
9、数形结合即可获取答案【解答】解：直线Ax+By+C0可化为，又AC0，BC0AB0，直线过一、二、四象限，不过第三象限故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题4（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a，b，A60，则B的大小为（）ABCD或【分析】根据题意，则sinB，计算可得sinB的值，又由ab，则AB，结合B的范围分析可得答案【解答】解：根据题意，在ABC中，则sinB，又由a，b，A60，则sinB，又由ab，则AB，则B，故选：B【点评】本题考查正弦定理的应用，注意正弦定理的形式，属于基础题5（5分）如图，已
10、知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为（ABCD【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积【解答】解：由题意可知四棱锥A1BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1则四棱锥A1BB1D1D的体积为：1故选：B【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键6（5分）已知直线l1：ax+3y+10与直线l2：2x+（a+1）y+10互相平行，则实数a的值为（）A3BC2D3或2【分析】利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值【解答】解：直线l1：ax+3y+10，的斜率存在，斜率为，l2：2x+（a+1）y
11、+10，斜率为直线l1：ax+3y+10与l2：2x+（a+1）y+10互相平行解得：a3或2当a2时，两直线重合，a3故选：A【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题7（5分）在ABC中，A30，BC1，则ABC的面积等于（）ABC或D或【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosA，a与c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：在ABC中，A30，ABc，BCa1，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，即1b2+33b，解得：b1或b2，则SABCbcsinA或故选：D【点评】此题考查了余弦定理，三角形面
12、积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键8（5分）设m，n是两条不同直线，是三个不同平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若m，m，则其中正确命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】由线面垂直的性质定理可判断；由面面平行的性质和线面垂直的性质可判断；由线面平行的性质，可判断；由线面平行的性质和面面垂直的判断，可判断【解答】解：m，n是两条不同直线，是三个不同平面，若m，n，由线面垂直的性质定理可得mn，正确；若，可得，又m，则m，正确；若m，n，则mn或m，n相交、或m，n异面，错误；若m，m，过m的平面与交于n，可得mn，可得n，由面面垂
13、直的判定定理可得，正确故选：C【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，空间想象能力和推理能力，属于基础题9（5分）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）AB2CD【分析】设正三棱柱的底面积为S，可得其体积为3S，利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积，得其体积，可得图甲中的有水部分的高【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，则3SE，F，F1，E1分别为所在棱的中点，即SAFES，则图甲中
14、水面的高度为故选：D【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，明确图乙中有水的部分为四棱柱是解答该题的关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanBb2tanA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】三角形ABC中，利用正弦定理化简a2tanBb2tanA，再利用二倍角的正弦即可得到sin2Asin2B，从而得到：AB或A+B，问题即可解决【解答】解：三角形ABC中，a2tanBb2tanA，由正弦定理，得：，sinAsinB0，所
15、以sin2Asin2B，又A、B为三角形中的角，2A2B或2A2B，AB或A+B，则ABC的形状是等腰或直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式，属于中档题11（5分）直线l1：kxy2k+40与x轴交于点M，直线l2：x+ky4k20与y轴交于点N，线段MN的中点为P，则点P的坐标（x，y）满足的方程为（）A（x+2y5）（2xy）0Bx+2y50C（2x+y+4）（2x+y）0D2x+y40【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），k0时，两条直线化为：y40，x20，不满足条件，舍去k0时，分别求出交点，利用中点坐标公式，可得
16、线段MN的中点P，消去k可得直线方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），k0时，两条直线化为：y40，x20，不满足条件，舍去k0时，直线l1：kxy2k+40与x轴交于点M（，0）直线l2：x+ky4k20与y轴交于点N（0，），线段MN的中点为P，可得：x，y，消去k可得：x+2y50，则点P的坐标（x，y）满足的方程为x+2y50，故选：B【点评】本题考查了轨迹方程、直线交点、中点坐标个数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足b2a2ac，则的取值范围是（）A（1，）B（1，）C（，）
17、D（1，+）【分析】根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围【解答】解：b2a2ac，由正弦定理得，sin2Bsin2AsinAsinC，可得：sinAsinC，可得：sinAsinC，由和差化积公式得cos2Acos2B2sin（A+B）sin（AB），代入上式得，sin（A+B）sin（AB）sinAsinC，sin（A+B）sinC0，sin（AB）sinA，即sin（BA）sinA，在AB
18、C中，BAA，得B2A，则C3A，ABC为锐角三角形，解得：A，则：B，由 B得，sinB（，1），则（1，），取值范围是（1，），故选：A【点评】本题是综合题，考查了正弦定理，三角恒等变换中公式，以及正弦函数的性质，涉及知识点多、公式多，综合性强，考查化简、变形能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（5分）过直线2xy+40与xy+50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是2x+y80【分析】联立已知的两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两
19、直线垂直时斜率的乘积等于1，根据已知直线x2y0的斜率即可得到所求直线的斜率，根据一点坐标和求出的斜率写出所求直线的方程即可【解答】解：联立得：，得：x1，把x1代入，解得y6，原方程组的解为：所以两直线的交点坐标为（1，6），又因为直线x2y0的斜率为，所以所求直线的斜率为2，则所求直线的方程为：y62（x1），即2x+y80故答案为：2x+y80【点评】此题考查学生会求两直线的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道基础题14（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r
20、，由此能求出该圆柱的体积【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r，该圆柱的体积：VSh（）21故答案为：【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题15（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD100m【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设
21、此山高h（m），则BCh，在ABC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600根据正弦定理得，解得h100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解16（5分）在ABC中，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，BC3，则边AC的值为【分析】根据面积关系建立方程关系，求出c的值，再根据余弦定理求出AC的值【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题意得acsin120asin60+csin60，即3c3+c，解得c，由余弦
22、定理可得b2a2+c22accosB9+23（），b，即AC，故答案为：【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理，考查了运算能力和转化能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：（1）直线l的倾斜角等于；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0【分析】（1）利用倾斜角求出直线l的斜率，再利用点斜式写出方程，化为一般式方程；（2）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，讨论ba0和ba0时，分别求出直线l的方程【解答】解：（1）设直线l的斜
23、率为k，则ktan，又直线过点P（2，3），所以直线的点斜式方程为y3（x2），化为一般形式为x+y（3+2）0；（2）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，由题意知，a+b0，即ba；若ba0时，则直线l又过点（0，0），可得直线l的方程为：3x2y0；若ba0时，则直线l的方程为：+1，将点P（2，3）代入得：+1，解得a1；所以直线l的方程为：3x2y0或xy+10【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率应用问题，也考查了直线的截距应用问题，是基础题18（10分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点（1）求证：B1C1平面A1DE；（2）求证：平面
24、A1DE平面ACC1A1【分析】（1）证明B1C1DE，即可证明B1C1平面A1DE；（2）证明DE平面ACC1A1，即可证明平面A1DE平面ACC1A1【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC，（2分）又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE（4分）又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE（6分）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE（8分）又BCAC，DEBC，所以DEAC，（10分）又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1（12分
25、）又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinAacos（B）（）求角B的大小；（）设a2，c3，求b和sin（2AB）的值【分析】（）由正弦定理得bsinAasinB，与bsinAacos（B）由此能求出B（）由余弦定理得b，由bsinAacos（B），得sinA，cosA，由此能求出sin（2AB）【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得，得bsinAasinB，又bsinAacos（B）asinBacos（
26、B），即sinBcos（B）cosBcos+sinBsincosB+，tanB，又B（0，），B（）在ABC中，a2，c3，B，由余弦定理得b，由bsinAacos（B），得sinA，ac，cosA，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1，sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，若E、F分别为PC、BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：EF平面PDC【分析】
27、（1）连结AC，推导出EFPA，由此能证明EF平面PAD（2）推导出CD平面PAD，CDPA，由EFPA，得CDEF，推导出PAPD，由EFPA，得PDEF，由此能证明EF平面PDC【解答】证明：（1）连结AC，在矩形ABCD中，F是BD的中点，则F是AC的中点，又E是PC的中点，在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD（2）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，又由矩形ABCD得CDAD，CD平面PAD，CDPA，EFPA，CDEF，又PAPDAD，PAD是等腰直角三角形，且，PAPD，EFPA，PDEF，CDPDD，CD平面PD
28、C，PD平面PDC，EF平面PDC【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD6米，AE6米，AP2米，MPN，记EPM（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围：（参考数据：tan3）2）求
29、S的最小值【分析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S关于的函数关系式，M与E重合时，0，N与D重合时，tanAPD3，即，即可写出的取值范围；（2）当2+即时，S取得最小值【解答】解：（1）在PME中，EPM，PE4m，PEM，PME，由正弦定理可得PM，同理，在PNE中，PN，SPMN，M与E重合时，0，N与D重合时，tanAPD3，即，0，综上所述，SPMN，0；（2）当2+即时，S取得最小值8（1）平方米【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查三角函数知识的运用，属于中档题22（14分）如图，在平面四边形ABCD中，AB2，BC6，ADCD4（1）当四边形ABCD内
30、接于圆O时，求四边形ABCD的面积S；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长【分析】（1）连接BD，由余弦定理可得2016cosA5248cosC，又A+C，化简可得：cosA，结合范围A（0，），可求A，C，利用三角形的面积公式即可得解（2）设四边形ABCD的面积为S，则SSABD+SBCD，由余弦定理BD2AB2+AD22ABADcosABC2+CD22BCCDcosC，解得66cos（A+C），可求当A+C时，有最大值，即S有最大值此时，AC，代入23cosCcosA，可得：cosC，结合C（0，），可得C，在BCD中，利用余弦定理可求BD的值【解答】（本题满分为14分）解
31、：（1）连接BD，由余弦定理可得：BD2AB2+AD22ABADcosA22+42224cosA，BD2BC2+CD22BCCDcosC42+62246cosC，可得：2016cosA5248cosC，2分又四边形ABCD内接于圆O，则又A+C，所以：2016cosA5248cos（A），化简可得：cosA，又A（0，），所以A，C，4分所以SSABD+SBCD+8，6分（2）设四边形ABCD的面积为S，则SSABD+SBCD，可得：BD2AB2+AD22ABADcosABC2+CD22BCCDcosC，8分可得：，可得：，平方后相加，可得：+410+6sinAsinC6cosAcosC，即：66cos（A+C），10分又A+C（0，2），当A+C时，有最大值，即S有最大值此时，AC，代入23cosCcosA，可得：cosC，又C（0，），可得：C，12分在BCD中，可得：BD2BC2+CD22BCCDcosC42+62246cos28，可得BD214分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题