1、2018-2019学年湖南省衡阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题；本大题共12小题每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）已知全集U0，1，2，3，A1，3，则集合UA（）A0B1，2C0，2D0，1，22（3分）若2x3，则x等于（）Alog32Blg2lg3CD3（3分）已知直线l1：x2y+10与直线l2：x+ky30平行，则实数k的值为（）A2B2CD4（3分）圆C1：x2+y21，与圆C2：x2+y24x+30的位置关系是（）A内切B外切C相交D相离5（3分）若向量与向量不相等，则与一定（）A不共线B长度不相等C不都是单位向量D不都是零向量
2、6（3分）若sin（），且，则sin2的值为（）ABCD7（3分）函数y+x的图象是（）ABCD8（3分）用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（）A8BCD9（3分）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）Aycos（2x+）Bysin（2x+）Cysin 2x+cos 2xDysin x+cos x10（3分）过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD，且APAB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（）ABCD11（3分）ABC中，0，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形12（3分）若函数f（x）lo
3、ga（x2ax+2）在区间（0，1上单调递减，则实数a的取值范围是（）A2，3）B（2，3）C2，+）D（2，+）二、填空题本大题共4小题每小题3分共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13（3分）若直线x1的倾斜角为，则的弧度数是 14（3分）函数ycosx，x的最小值是 15（3分）若|1，|3，则|的取值范围是 16（3分）已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数当x0时，f（x），则f（1） ，若关于x的方程f（x）2+af（x）+b0（a，bR），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（8分）（1）已知tan2，求
4、；（2）计算lg5（1g8+1g1000）+（lg2）218（8分）已知三角形的三个顶点A（5，0），B（3，3），C（0，2），（1）求BC边所在的直线方程；（2）求BC边上的高所在直线方程19（8分）已知：向量（sin，1），向量，（1）若，求：的值；（2）求：的最大值20（8分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAAC，ABAA1AC2，M为AC中点（1）证明：直线B1C平面A1BM；（2）求异面直线B1C与A1B所成角21（10分）已知函数f（x）loga（x2+2），（1）若f（）3，求a的值，并判断f（x）的奇偶性；（2）求不等式f（x）f（x+2）的解集22（1
5、0分）如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点，C、D为弧AB上的动点，且CDAB，记DOE，四边形ABCD的面积为SABCD（1）求函数SABCDf（）的表达式及定义域；（2）求f（）的最大值及此时的值2018-2019学年湖南省衡阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；本大题共12小题每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3分）已知全集U0，1，2，3，A1，3，则集合UA（）A0B1，2C0，2D0，1，2【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解：全集U0，1，2，3，A1，3，集合UA0，2，故选：C【点评】本题主要考查集合
6、的基本运算，比较基础2（3分）若2x3，则x等于（）Alog32Blg2lg3CD【分析】化指数式为对数式，再由换底公式得答案【解答】解：由2x3，得x故选：D【点评】本题考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题3（3分）已知直线l1：x2y+10与直线l2：x+ky30平行，则实数k的值为（）A2B2CD【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解【解答】解：直线l1：x2y+10与直线l2：x+ky30平行，解得k2故选：A【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（3分）圆C1：x2+y21，与圆C2：x2+y24x+30的位
7、置关系是（）A内切B外切C相交D相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系【解答】解：圆C1的圆心C1（0，0），半径等于1C2：x2+y24x+30 即（x2）2+y21，圆心C2（2，0），半径为1，两圆的圆心距等于2，正好等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故选：B【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径5（3分）若向量与向量不相等，则与一定（）A不共线B长度不相等C不都是单位向量D不都是零向量【分析】显然可看出，与不相等时，与可以共线，可以长度相等，可以都是单位向量，但不能都是零向量，
8、只能选D【解答】解：若都是零向量，则；与一定不都是零向量故选：D【点评】考查向量和相等向量的概念，共线向量、单位向量和零向量的概念6（3分）若sin（），且，则sin2的值为（）ABCD【分析】由题意利用诱导公式求得sin的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cos，再利用二倍角公式，求得sin2的值【解答】解：sin（）sin，且，cos，则sin22sincos，故选：A【点评】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题7（3分）函数y+x的图象是（）ABCD【分析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原
9、函数式，再分段画出函数的图象即得【解答】解：函数可化为：当x0时，y1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线；当x0时，y1+x它的图象是一条过点（0，1）的射线；对照选项，故选：D【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8（3分）用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（）A8BCD【分析】根据圆柱侧面展开的原理，可得该圆柱的底面圆周长等于4，由此算出底面直径等于，即可得到圆柱的轴截面面积【解答】解：用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，且圆柱高为h2底面圆周由长为4的线段
10、围成，可得底面圆直径2r此圆柱的轴截面矩形的面积为S2rh故选：B【点评】本题给出矩形做成圆柱的侧面，求该圆柱的轴截面面积着重考查了圆柱侧面展开图、圆的周长公式和矩形面积公式等知识，属于基础题9（3分）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）Aycos（2x+）Bysin（2x+）Cysin 2x+cos 2xDysin x+cos x【分析】根据函数的关系式，通过关系式的变换和函数的图象的性质求出结果【解答】解：对于A：ycos（2x+）最小正周期为T，且ycos（2x+）sin2x，所以函数的图象关于原点对称，故正确对于B：ysin（2x+）最小正周期为T，且ysin（2x+
11、）cos2x，函数的图象关于y轴对称，故错误所对于C：ysin2x+cos2x最小正周期为T，函数的图象不关于原点对称，故错误对于D：ysinx+cosx最小正周期为T2，函数的图象不关于原点对称，故错误，故选：A【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的图象和性质的应用10（3分）过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD，且APAB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（）ABCD【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面CDP所成的二面角【解答】解：设APAB1，以A为原点，AB为x轴，A
12、D为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，1，0），（1，1，1），（0，1，1），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），平面ABP的法向量（0，1，0），设平面ABP与平面CDP所成的二面角为，则cos，故选：C【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（3分）ABC中，0，则ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形【分析】通过向量的数量积，求出三角形的内角的大小，即可判断三角形的形状【解答】解：ABC中，0，可知|cos（B）0
13、，说明B是锐角，所以B是钝角三角形是钝角三角形故选：C【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角形的形状的判断12（3分）若函数f（x）loga（x2ax+2）在区间（0，1上单调递减，则实数a的取值范围是（）A2，3）B（2，3）C2，+）D（2，+）【分析】函数f（x）loga（x2ax+2）为函数ylogax与yx2ax+2的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论a1，0a1，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围【解答】解：函数f（x）loga（x2ax+2）在区间（0，1上为单调递减函数，a1时，yx2ax+2在（0，1
14、上为单调递减函数，且x2ax+20在（0，1上恒成立，需yx2ax+2在（0，1上的最小值1a+23a0，且对称轴xa1，2a3；0a1时，yx2ax+2在（0，1上为单调递增函数，不成立综上可得a的范围是2，3）故选：A【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法二、填空题本大题共4小题每小题3分共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13（3分）若直线x1的倾斜角为，则的弧度数是【分析】由题意可得直线与x轴垂直，可得所求倾斜角【解答】解：直线x1的倾斜角为，可得，故答案为：【点评】本题考查直线的倾斜角
15、的求法，考查直线方程的运用，属于基础题14（3分）函数ycosx，x的最小值是【分析】利用余弦函数的有界性求解即可【解答】解：函数ycosx，x，可得cosx，函数的最小值为故答案为：【点评】本题考查三角函数的值域的求法，15（3分）若|1，|3，则|的取值范围是2，4【分析】根据即可求出，根据即可得出，从而得出的取值范围【解答】解：；的取值范围是2，4故答案为：2，4【点评】考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及不等式的性质，一元二次不等式的解法16（3分）已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数当x0时，f（x），则f（1），若关于x的方程f（x）2+af（x）+b0（a，bR），
16、有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）（，1）【分析】可求得f（1）sin（），作函数的图象，分类讨论即可【解答】解：f（1）sin（），作函数yf（x）的图象如右图，设方程x2+ax+b0的两个根为x1，x2；若x1，1x2，故x1+x2a（，），故a（，）；若0x11，1x2，故x1+x2a（1，），故a（，1）；故答案为：，（，）（，1）【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（8分）（1）已知tan2，求；（2）计算lg5（1g8+1g1000）+（lg2）2【分析】（1）利用同角三角函
17、数基本关系式化简求解即可（2）利用导数的运算法则化简求解即可【解答】解：（1）已知tan2，；（2）lg5（1g8+1g1000）+（lg2）2lg5（31g2+3）+3（lg2）23lg2（lg5+lg2）+3lg53lg2+3lg53【点评】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式的应用，对数运算法则的应用，是基本知识的考查18（8分）已知三角形的三个顶点A（5，0），B（3，3），C（0，2），（1）求BC边所在的直线方程；（2）求BC边上的高所在直线方程【分析】（1）利用两点式可得：，化简即可得出（2）由（1）可得：kBC，可得BC边上的高所在直线斜率k利用点斜式即可得出【解答
18、】解：（1）由两点式可得：，化为：5x+3y60（2）由（1）可得：kBC，可得BC边上的高所在直线斜率kBC边上的高所在直线方程为：y0（x+5），化为：3x5y+150【点评】本题考查了直线两点式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19（8分）已知：向量（sin，1），向量，（1）若，求：的值；（2）求：的最大值【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量垂直，数量积等于0，得到sin（+）0，求出（2）由，及+，可得当sin（+）1时，有最大值【解答】解：（1），0，sin+cossin（+）0， （2）|（sin+1，cos+1）| ，+，当s
19、in（+）1时，有最大值，此时，最大值为 +1【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法20（8分）已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BAAC，ABAA1AC2，M为AC中点（1）证明：直线B1C平面A1BM；（2）求异面直线B1C与A1B所成角【分析】（1）先建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，可得，由平面向量基本定理得：B1C面A1BM（2）设，的夹角为，由（1）得cos0，即，的夹角为90，故异面直线B1C与A1B所成角为90得解【解答】解：（1）建立以A为坐标原点，AB，AC，
20、AA1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，1，0），所以（2，2，2），（2，0，2），（0，1，2），则，由平面向量基本定理得：B1C面A1BM；（2）设，的夹角为，由（1）得cos0，即，的夹角为90，故异面直线B1C与A1B所成角为90【点评】本题考查了平面向量基本定理及异面直线所成角的求法，属中档题21（10分）已知函数f（x）loga（x2+2），（1）若f（）3，求a的值，并判断f（x）的奇偶性；（2）求不等式f（x）f（x+2）的解集【分析】（1）由题意根据f（）3，求得a
21、的值，可得函数的解析式；再根据奇偶函数的定义判断他的奇偶性（2）不等式即loga（x2+2）loga（x+2）2+2，分类讨论a的范围，利用函数的单调性求得它的解集【解答】解：（1）函数f（x）loga（x2+2），若f（）loga83，a38，a2，故f（x）log2（x2+2）由于f（x）f（x）成立，故它是偶函数（2）不等式f（x）f（x+2），即loga（x2+2）loga（x+2）2+2当a1时，x2+2（x+2）2+2，求得x1当0a1时，x2+2（x+2）2+2，求得x1综上，当a1时，不等式的解集为x|x1；当0a1时，不等式的解集为x|x1【点评】本题主要考查对数函数的性质，
22、对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题22（10分）如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点，C、D为弧AB上的动点，且CDAB，记DOE，四边形ABCD的面积为SABCD（1）求函数SABCDf（）的表达式及定义域；（2）求f（）的最大值及此时的值【分析】（1）求出DM，OM，MN的大小，结合梯形的面积公式进行求解即可（2）利用换元法设sincost，将f（）转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解：（1）DOE，OE与DC，AB的交点为M，N，在ODM中，DMODsinDOERsin2sinOM2cos，ON，则梯形ABCD的高hMNOMON2cos，SABCDf（）（2sin+）（2cos）4sincos2（sincos）2，（045）（2）设sincost，则tsincossin（45），则t1，0，t2（sincos）21sincos，则4sincos22t2，Sf（）4sincos2（sincos）222t22t22t22t2（t+）2+1，t1，0，当t时，f（）取得最大值1，此时sin（45），即sin（45），则4530，15【点评】本题主要考查三角函数的应用问题，根据条件建立关于的关系，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，运算量较大
