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2018-2019学年湖南省衡阳市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年湖南省衡阳市高一(下)期末数学试卷一、选择题;本大题共12小题每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)已知全集U0,1,2,3,A1,3,则集合UA()A0B1,2C0,2D0,1,22(3分)若2x3,则x等于()Alog32Blg2lg3CD3(3分)已知直线l1:x2y+10与直线l2:x+ky30平行,则实数k的值为()A2B2CD4(3分)圆C1:x2+y21,与圆C2:x2+y24x+30的位置关系是()A内切B外切C相交D相离5(3分)若向量与向量不相等,则与一定()A不共线B长度不相等C不都是单位向量D不都是零向量

2、6(3分)若sin(),且,则sin2的值为()ABCD7(3分)函数y+x的图象是()ABCD8(3分)用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为()A8BCD9(3分)下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos(2x+)Bysin(2x+)Cysin 2x+cos 2xDysin x+cos x10(3分)过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD,且APAB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是()ABCD11(3分)ABC中,0,则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形12(3分)若函数f(x)lo

3、ga(x2ax+2)在区间(0,1上单调递减,则实数a的取值范围是()A2,3)B(2,3)C2,+)D(2,+)二、填空题本大题共4小题每小题3分共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13(3分)若直线x1的倾斜角为,则的弧度数是 14(3分)函数ycosx,x的最小值是 15(3分)若|1,|3,则|的取值范围是 16(3分)已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数当x0时,f(x),则f(1) ,若关于x的方程f(x)2+af(x)+b0(a,bR),有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(8分)(1)已知tan2,求

4、;(2)计算lg5(1g8+1g1000)+(lg2)218(8分)已知三角形的三个顶点A(5,0),B(3,3),C(0,2),(1)求BC边所在的直线方程;(2)求BC边上的高所在直线方程19(8分)已知:向量(sin,1),向量,(1)若,求:的值;(2)求:的最大值20(8分)已知三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,BAAC,ABAA1AC2,M为AC中点(1)证明:直线B1C平面A1BM;(2)求异面直线B1C与A1B所成角21(10分)已知函数f(x)loga(x2+2),(1)若f()3,求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求不等式f(x)f(x+2)的解集22(1

5、0分)如图扇形的圆心角,半径为2,E为弧AB的中点,C、D为弧AB上的动点,且CDAB,记DOE,四边形ABCD的面积为SABCD(1)求函数SABCDf()的表达式及定义域;(2)求f()的最大值及此时的值2018-2019学年湖南省衡阳市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题;本大题共12小题每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(3分)已知全集U0,1,2,3,A1,3,则集合UA()A0B1,2C0,2D0,1,2【分析】根据集合的基本运算进行求解【解答】解:全集U0,1,2,3,A1,3,集合UA0,2,故选:C【点评】本题主要考查集合

6、的基本运算,比较基础2(3分)若2x3,则x等于()Alog32Blg2lg3CD【分析】化指数式为对数式,再由换底公式得答案【解答】解:由2x3,得x故选:D【点评】本题考查指数式与对数式的互化,考查换底公式的应用,是基础题3(3分)已知直线l1:x2y+10与直线l2:x+ky30平行,则实数k的值为()A2B2CD【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解【解答】解:直线l1:x2y+10与直线l2:x+ky30平行,解得k2故选:A【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与直线平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题4(3分)圆C1:x2+y21,与圆C2:x2+y24x+30的位

7、置关系是()A内切B外切C相交D相离【分析】求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比,判断两圆的位置关系【解答】解:圆C1的圆心C1(0,0),半径等于1C2:x2+y24x+30 即(x2)2+y21,圆心C2(2,0),半径为1,两圆的圆心距等于2,正好等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故选:B【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径5(3分)若向量与向量不相等,则与一定()A不共线B长度不相等C不都是单位向量D不都是零向量【分析】显然可看出,与不相等时,与可以共线,可以长度相等,可以都是单位向量,但不能都是零向量,

8、只能选D【解答】解:若都是零向量,则;与一定不都是零向量故选:D【点评】考查向量和相等向量的概念,共线向量、单位向量和零向量的概念6(3分)若sin(),且,则sin2的值为()ABCD【分析】由题意利用诱导公式求得sin的值,再利用同角三角函数的基本关系求得cos,再利用二倍角公式,求得sin2的值【解答】解:sin()sin,且,cos,则sin22sincos,故选:A【点评】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,二倍角公式进行化简三角函数式,属于基础题7(3分)函数y+x的图象是()ABCD【分析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质,及函数图象的作法,由绝对值的含义化简原

9、函数式,再分段画出函数的图象即得【解答】解:函数可化为:当x0时,y1+x;它的图象是一条过点(0,1)的射线;当x0时,y1+x它的图象是一条过点(0,1)的射线;对照选项,故选:D【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8(3分)用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为()A8BCD【分析】根据圆柱侧面展开的原理,可得该圆柱的底面圆周长等于4,由此算出底面直径等于,即可得到圆柱的轴截面面积【解答】解:用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,且圆柱高为h2底面圆周由长为4的线段

10、围成,可得底面圆直径2r此圆柱的轴截面矩形的面积为S2rh故选:B【点评】本题给出矩形做成圆柱的侧面,求该圆柱的轴截面面积着重考查了圆柱侧面展开图、圆的周长公式和矩形面积公式等知识,属于基础题9(3分)下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos(2x+)Bysin(2x+)Cysin 2x+cos 2xDysin x+cos x【分析】根据函数的关系式,通过关系式的变换和函数的图象的性质求出结果【解答】解:对于A:ycos(2x+)最小正周期为T,且ycos(2x+)sin2x,所以函数的图象关于原点对称,故正确对于B:ysin(2x+)最小正周期为T,且ysin(2x+

11、)cos2x,函数的图象关于y轴对称,故错误所对于C:ysin2x+cos2x最小正周期为T,函数的图象不关于原点对称,故错误对于D:ysinx+cosx最小正周期为T2,函数的图象不关于原点对称,故错误,故选:A【点评】本题考查的知识要点:函数的关系式的恒等变换,正弦型函数的图象和性质的应用10(3分)过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD,且APAB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是()ABCD【分析】以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ABP与平面CDP所成的二面角【解答】解:设APAB1,以A为原点,AB为x轴,A

12、D为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),(1,1,1),(0,1,1),设平面PCD的法向量(x,y,z),则,取y1,得(0,1,1),平面ABP的法向量(0,1,0),设平面ABP与平面CDP所成的二面角为,则cos,故选:C【点评】本题考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题11(3分)ABC中,0,则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形【分析】通过向量的数量积,求出三角形的内角的大小,即可判断三角形的形状【解答】解:ABC中,0,可知|cos(B)0

13、,说明B是锐角,所以B是钝角三角形是钝角三角形故选:C【点评】本题考查向量的数量积的应用,三角形的形状的判断12(3分)若函数f(x)loga(x2ax+2)在区间(0,1上单调递减,则实数a的取值范围是()A2,3)B(2,3)C2,+)D(2,+)【分析】函数f(x)loga(x2ax+2)为函数ylogax与yx2ax+2的复合函数,复合函数的单调性是同则增,异则减,讨论a1,0a1,结合二次函数的单调性,同时还要保证真数恒大于零,由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围【解答】解:函数f(x)loga(x2ax+2)在区间(0,1上为单调递减函数,a1时,yx2ax+2在(0,1

14、上为单调递减函数,且x2ax+20在(0,1上恒成立,需yx2ax+2在(0,1上的最小值1a+23a0,且对称轴xa1,2a3;0a1时,yx2ax+2在(0,1上为单调递增函数,不成立综上可得a的范围是2,3)故选:A【点评】本题考查了对数函数的图象和性质,二次函数图象和性质,复合函数的定义域与单调性,不等式恒成立问题的解法,转化化归的思想方法二、填空题本大题共4小题每小题3分共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13(3分)若直线x1的倾斜角为,则的弧度数是【分析】由题意可得直线与x轴垂直,可得所求倾斜角【解答】解:直线x1的倾斜角为,可得,故答案为:【点评】本题考查直线的倾斜角

15、的求法,考查直线方程的运用,属于基础题14(3分)函数ycosx,x的最小值是【分析】利用余弦函数的有界性求解即可【解答】解:函数ycosx,x,可得cosx,函数的最小值为故答案为:【点评】本题考查三角函数的值域的求法,15(3分)若|1,|3,则|的取值范围是2,4【分析】根据即可求出,根据即可得出,从而得出的取值范围【解答】解:;的取值范围是2,4故答案为:2,4【点评】考查数量积的运算及计算公式,向量夹角的范围,以及不等式的性质,一元二次不等式的解法16(3分)已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数当x0时,f(x),则f(1),若关于x的方程f(x)2+af(x)+b0(a,bR),

16、有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是(,)(,1)【分析】可求得f(1)sin(),作函数的图象,分类讨论即可【解答】解:f(1)sin(),作函数yf(x)的图象如右图,设方程x2+ax+b0的两个根为x1,x2;若x1,1x2,故x1+x2a(,),故a(,);若0x11,1x2,故x1+x2a(1,),故a(,1);故答案为:,(,)(,1)【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了数形结合的思想的应用三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(8分)(1)已知tan2,求;(2)计算lg5(1g8+1g1000)+(lg2)2【分析】(1)利用同角三角函

17、数基本关系式化简求解即可(2)利用导数的运算法则化简求解即可【解答】解:(1)已知tan2,;(2)lg5(1g8+1g1000)+(lg2)2lg5(31g2+3)+3(lg2)23lg2(lg5+lg2)+3lg53lg2+3lg53【点评】本题考查三角函数化简求值,同角三角函数基本关系式的应用,对数运算法则的应用,是基本知识的考查18(8分)已知三角形的三个顶点A(5,0),B(3,3),C(0,2),(1)求BC边所在的直线方程;(2)求BC边上的高所在直线方程【分析】(1)利用两点式可得:,化简即可得出(2)由(1)可得:kBC,可得BC边上的高所在直线斜率k利用点斜式即可得出【解答

18、】解:(1)由两点式可得:,化为:5x+3y60(2)由(1)可得:kBC,可得BC边上的高所在直线斜率kBC边上的高所在直线方程为:y0(x+5),化为:3x5y+150【点评】本题考查了直线两点式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题19(8分)已知:向量(sin,1),向量,(1)若,求:的值;(2)求:的最大值【分析】(1)利用两个向量垂直的性质,两个向量垂直,数量积等于0,得到sin(+)0,求出(2)由,及+,可得当sin(+)1时,有最大值【解答】解:(1),0,sin+cossin(+)0, (2)|(sin+1,cos+1)| ,+,当s

19、in(+)1时,有最大值,此时,最大值为 +1【点评】本题考查两个向量的数量积的定义,数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,求向量的模的方法20(8分)已知三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,BAAC,ABAA1AC2,M为AC中点(1)证明:直线B1C平面A1BM;(2)求异面直线B1C与A1B所成角【分析】(1)先建立以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系,可得,由平面向量基本定理得:B1C面A1BM(2)设,的夹角为,由(1)得cos0,即,的夹角为90,故异面直线B1C与A1B所成角为90得解【解答】解:(1)建立以A为坐标原点,AB,AC,

20、AA1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),M(0,1,0),所以(2,2,2),(2,0,2),(0,1,2),则,由平面向量基本定理得:B1C面A1BM;(2)设,的夹角为,由(1)得cos0,即,的夹角为90,故异面直线B1C与A1B所成角为90【点评】本题考查了平面向量基本定理及异面直线所成角的求法,属中档题21(10分)已知函数f(x)loga(x2+2),(1)若f()3,求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求不等式f(x)f(x+2)的解集【分析】(1)由题意根据f()3,求得a

21、的值,可得函数的解析式;再根据奇偶函数的定义判断他的奇偶性(2)不等式即loga(x2+2)loga(x+2)2+2,分类讨论a的范围,利用函数的单调性求得它的解集【解答】解:(1)函数f(x)loga(x2+2),若f()loga83,a38,a2,故f(x)log2(x2+2)由于f(x)f(x)成立,故它是偶函数(2)不等式f(x)f(x+2),即loga(x2+2)loga(x+2)2+2当a1时,x2+2(x+2)2+2,求得x1当0a1时,x2+2(x+2)2+2,求得x1综上,当a1时,不等式的解集为x|x1;当0a1时,不等式的解集为x|x1【点评】本题主要考查对数函数的性质,

22、对数不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题22(10分)如图扇形的圆心角,半径为2,E为弧AB的中点,C、D为弧AB上的动点,且CDAB,记DOE,四边形ABCD的面积为SABCD(1)求函数SABCDf()的表达式及定义域;(2)求f()的最大值及此时的值【分析】(1)求出DM,OM,MN的大小,结合梯形的面积公式进行求解即可(2)利用换元法设sincost,将f()转化为关于t的一元二次函数,利用一元二次函数的性质进行求解即可【解答】解:(1)DOE,OE与DC,AB的交点为M,N,在ODM中,DMODsinDOERsin2sinOM2cos,ON,则梯形ABCD的高hMNOMON2cos,SABCDf()(2sin+)(2cos)4sincos2(sincos)2,(045)(2)设sincost,则tsincossin(45),则t1,0,t2(sincos)21sincos,则4sincos22t2,Sf()4sincos2(sincos)222t22t22t22t2(t+)2+1,t1,0,当t时,f()取得最大值1,此时sin(45),即sin(45),则4530,15【点评】本题主要考查三角函数的应用问题,根据条件建立关于的关系,利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强,运算量较大