1、一方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解二解题策略类型一 结合基本不等式求解问题【例1】【湘赣十四校（湖南省长郡中学、江西省南昌市第二中学等)2019届高三下学期第一次联考】在中，角，的对边分别为，若，且恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】 又 又，当且仅当时取等号 设，即当时，恒成立设则可知 可得：本题正确选项：【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosA的范围，通过构造函
2、数，应用二次函数的图象和性质，求出的范围【举一反三】1、【江西省上饶中学2019届高三上学期期中】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(AB)取最大值时，角C的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】由正弦定理得，化简得. ，当且仅当时等号成立，由于故为锐角，故，所以.故选A.2、【安徽省六安市第一中学2019届高三高考模拟考试（三)】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积的最大值为（ ）ABC2D【答案】A【解析】在ABC中，（2ac）cosBbcosC，（2sinAsinC）cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinB
3、cosCsin（B+C）sinA，约掉sinA可得cosB，即B，由余弦定理可得16a2+c22accosBa2+c2ac2acac，ac16，当且仅当ac时取等号，ABC的面积SacsinBac故选：A 3、【山西省2019届高三考前适应】 的内角 的对边分别为 ，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（ ）A2BC3D【答案】A【解析】因为的面积为所以 整理得，即 ，因为 ，所以 又因为周长为6，所以 ，即 所以 ， 所以的最小值是2故选A类型二 利用消元法求解问题【例2】【安徽省A10联盟2019届高三11月段考】在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（ ）A2 B4 C D【答
4、案】C【解析】由题意得，又， ，则的最大值为，故选C【指点迷津】利用余弦定理，结合三角形面积可化为 ，从而可得结果.一般地，利用正弦定理、余弦定理实施边角转化，利用辅助角公式实现“消元”，求得范围【举一反三】1、【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（二)】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是A B C D【答案】B【解析】即又，即 本题正确选项：2、圆上任意一点，过点作两直线分别交圆于， 两点，且，则的取值范围为_【答案】【解析】在中，由正弦定理得： ,设又，所以， .答案为： .3.【云南省2019届高三第一次统一检测】在中，内角，对的边分别为，平分交于点，则
5、的面积的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，则，平分交于点，在三角形中，由正弦定理可得，在三角形中，由正弦定理可得，面积， ， ，当时，即时，面积最小，最小值为，故选：类型三 与三角形的周长有关的最值问题【例3】【安徽省芜湖市2019届高三上期末】锐角三角形的内角，的对边分别为，已知，则周长的最大值为（ ）A B C3 D4【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为 ，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转
6、化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.【举一反三】1、【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知的内角，的对边分别是，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，,因此.即,因为,所以,选B. 2、在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，若， ，则当角取得最大值时，三角形的周长为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】A【解析】在ABC中，由正弦定理得： A为钝角，由，可得，tanB=，当且仅当tanC=时取等号B取得最大值时，a=2=
7、a+b+c=2+故答案为：2+类型四 与三角形面积有关的最值问题【例4】在中， 分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为_【答案】【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到.对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件.【举一反三】1、【陕西省汉中市2019届高三上学期第一次检测】在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（ ）A B C2 D【答案】D【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分
8、圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.2.已知四边形中，设与面积分别为，则的最大值为_.【答案】【解析】因为，所以，在ABD中，由余弦定理可得，作CEBD于E，因为，所以，所以，当时，的最大值为.故答案为：3、【河南省焦作市2019届高三三模】如图所示，点，分别在菱形的边，上，则的面积的最小值为_【答案】【解析】在菱形中，所以=，在中，=，设,则,且由正弦定理得 ，在中， ,则,由正弦定理 ，得 ，在中， 因为，所以，即 ，所以 ，所以故答案为：类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例5】在中，角的对边分别为， ，若符合条件
9、的三角形有两解，则的取值范围是_【答案】【解析】 因为，所以， 又，则，则， 由，所以.【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.【举一反三】1、【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，已知，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是ABCD【答案】B【解析】解：在中，由正弦定理得：，即，可得：，由题意得：当时，满足条件的有两个，所以，解得：，则a的取值范围是故选：B2、在中，内角
10、所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为_.【答案】或【解析】由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个类型六 转化成三角函数最值问题【例6】【湖南省湘潭市2019届高三下学期二模】分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，则，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.【指点迷津】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利
11、用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.【举一反三】1. 在锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得： ， 为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，则的取值范围是，故选A.2.【江苏省南京市、盐城市2019届高三二模】在中，若，则的最大值为_.【答案】【解析】在ABC中，有,所以=,当即时取等.故答案为：三强化训练1【陕西省彬州市高2019届高三上学期第一次监测】在中，三内角的对边分别为，且，则角的大小是（ ）A或 B C D【答案】A【解析】，cosA，由0A，可得
12、A，sinBsinC=，即解得tan2C=，又2C=或，即C=或故选：A2.【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考】中，角、所对的边分别为、，且满足，则面积的最大值是 （ ）A B C D【答案】A【解析】由题意可知，由正弦定理得，又由在中，即，即，因为，所以，在中，由余弦定理可知，且，即，当且仅当时，等号成立，即，所以的最大面积为，故选A.3曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A B C D【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为则直线l方程为，即，可求直线l与yx的交点为A（），与y轴的交点为，在OAB中，当且仅当22时
13、取等号由正弦定理可得OAB得外接圆半径为，则OAB外接圆面积，故选：C4【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知锐角外接圆的半径为2，则周长的最大值为（ ）A B C D【答案】B【解析】锐角外接圆的半径为2，即，又为锐角，由正弦定理得，a4sinA，b4sinB，ca+b+c24sinB+4sin（B）6sinB+2cosB+24sin（B）+2，当B即B时，a+b+c取得最大值46故选：B5【中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月】在中，、的对边分别是、.若，则的最大值为（ ）A3 B C D【答案】B【解析】因为，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得,所以，故其中.所以.6
14、【安徽省巢湖市2019届高三三月份联考】已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为ABCD【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，在三角形BDC中，设 结合二次函数的性质得到：故选：D7【2019年高考模拟试卷（一)】的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，得 ，所以，所以 当且仅当 取等号，且为三角形内角 ，所以.故选：D8【广东省东莞市2019届高三第二次调研】若的面积为，且为钝角，则的度数以及的取值范围为A，B，C，D，【答案】C【解析】
15、解：由余弦定理可得，由正弦定理可得，故选：C9【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试黄金卷二】在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】在中，由正弦定理得 ，解得 为锐角三角形，则由余弦定理得,，当且仅当时，等号成立故选B项.二、填空题10. 【江西省红色七校2019届高三第二次联考】在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为_.【答案】【解析】由余弦定理得,整理得即a+b4当且仅当a=b=2取等，又a+bc=2,所以a+b+c故答案为11【四川省巴中市2019届高三零诊】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
16、=，则A的取值范围为_【答案】（0， 【解析】由 得 ，化简得， ，且余弦函数在上是递减函数，故答案为（0， 12【四川省成都石室中学2019届高三二模】四边形中，则的最大值为_【答案】【解析】设ABC，ACB，则在ABC中，由余弦定理得AC2106cos由正弦定理得，即sin,，CD=在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2+CD22BCCDcos（900+），即DB29+23-2cos+2sin +4sin（）当时，对角线BD最大，最大值为，则的最大值为,故答案为：13【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】在中，角，所对的边分别是，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为_【答案】【
17、解析】由题可知：故 ，即又，则又，则所以的周长的取值范围为本题正确结果：14【2019年安徽省马鞍山市高考一模】在中，角、所对的边分别边、，若，则的取值范围是_【答案】【解析】， ，又，因此， ， ，故答案为15【福建省2019届高三适应性练习（四)】设锐角三角形的三个内角、所对的边分别为、，若，则的取值范围为_【答案】【解析】由，得，由 ， ，故 ，所以，所以 16【湖南省衡阳市2019届高三第二次联考（二模)】的内角，的对边分别为，若，则周长的最小值为_【答案】8【解析】由余弦定理得（亦可作高求之）：，由正弦定理得：.法一：几何法.如图，由面积定值，可知边上的高为定值，不妨作的平行线，再作关于的对称点，.周长的最小值为8.法二：代数法.如图建系， ，为偶函数，不妨考虑.求导易得，. 22
