1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点十九 圆锥曲线综合一、圆锥曲线综合例1：已知为坐标原点，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上且位于第一象限，点在轴上的投影为，且有（其中），的连线与轴交于点，与的交点恰为线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，则，由题意，得的横坐标为，由，得，直线的方程为，令，则，直线的方程为，直线的方程为，点，恰为线段的中点，整理可得，则例2：设，是双曲线（，）的左，右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】双曲线（，）的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，在三角形中，由余弦定
2、理可得，即，即，故选C例3：已知定点，点是抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图，作准线于点，则，设的倾斜角为，则（），当与相切时，取最大值，由，可得，代入抛物线，得，即，可得，解得或，故的最大值为，即的最大值为，即的最大值为对点增分集训一、选择题1已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长等于，则双曲线两条渐近线相夹所成的锐角为（ ）ABCD【答案】B【解析】过圆心作渐近线的垂线，设垂足为，由题意知圆心到渐近线的距离，则易知，所以两渐近线相夹所成的锐角为2如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，交准线于点，若，则抛物线的方程为（ ）ABCD【答案】
3、C【解析】作，垂直准线，垂足分别为，即，可得，则，所以是线段中点，所以，则3已知点，是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】极限法：当重合于右顶点时，有，此时，当时，椭圆越扁，显然存在，故或：如图，为线段中点，设，则，可知，则，点在椭圆上，有，代入，可得，即有，解得，又，所以4已知过抛物线焦点的直线与交于两点，交圆于，两点，其中位于第一象限，则的值不可能为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，设，由焦点弦的性质有，即有，又，当时取等号，所以，不可能等于5已知两点在椭圆上，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设点在第一象限
4、，直线的倾斜角为，则，点在椭圆上，则，即，同理有，则，所以，当时取等号，此时6已知点是的双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与双曲线的渐近线分别交于点，若线段中点为，且（为原点），则双曲线的离心率等于（ ）ABCD【答案】A【解析】设，点，在渐近线上，即，同理，所以，即，因为，则有，得，如图，易知点在第一象限，得，则，所以，二、填空题7已知点是椭圆的右焦点，点是原点关于直线的对称点，且轴，则椭圆的离心率等于_【答案】【解析】由题意可知直线，直线，联立得，则线段中点为，则有，即，所以，则8设，是双曲线的左右焦点，过焦点的直线与曲线的左支交于点，若，且，则双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】如图，设
5、，由双曲线的定义知，即，则，设为线段中点，则，由勾股定理得，即，解得，所以，渐近线方程为9已知点是抛物线的焦点，点，在抛物线上，满足，则的最小值为 【答案】【解析】知，设，解得，当时取等号10已知点，是离心率的双曲线的两个焦点，直线与双曲线交于，两点，设，分别是，的内心，且，则双曲线的标准方程是_【答案】【解析】直线过右焦点，所以直线与双曲线的右支有两个交点，如图，设右顶点，垂足分别为，由双曲线的定义及三角形内心特点，有，则可得，重合，同理，垂足为，设直线的倾斜角为，由题意知，则，则，由角平分线特点知，可知，则，所以，又，解得，所以双曲线的标准方程是三、解答题11已知抛物线的焦点为，为上位于第
6、一象限的任意一点，过点的直线交曲线于另一点，交轴的正半轴于点，记点关于轴的对称点为点，交轴于点，且（1）求证：点，关于原点对称；（2）求点到直线的距离的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】设直线，则，由，消，得，得，（1）设，知，三点共线，又，则有，即，所以点，关于原点对称（2）因为，所以，即，即，得，则，设，则，函数在上递减，所以12已知椭圆经过点，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条相互垂直的直线，分别与椭圆交于点和四点，若分别是线段的中点，判断直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是请说明理由【答案】（1）；（2）是过定点，定点为【解析】（1）由题意知，解得，椭圆的标准方程为（2）当直线，的斜率存在且不为时，设，与椭圆方程联立并消去得，设，则有，线段的中点，同理可得线段的中点，当时，；当时，则，即，即直线过定点；当直线，的斜率一个为一个不存在时，可知直线的方程为，过定点，综上，直线过定点11
