1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.06正弦定理和余弦定理【考试要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【知识梳理】1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC常见变形(1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C
2、2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解【微点提醒】1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin
3、Bcos Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.【教材衍化】2.(必修5P10A4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A. B. C. D.【答案】C【解析】在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，由余弦定理得cosBAC，由A(0，)，得A，即BAC.3.(必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由正弦定
4、理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.【真题体验】4.(2018烟台质检)已知ABC中，A，B，a1，则b等于()A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由正弦定理，得，b.5.(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A.4 B. C. D.2【答案】A【解析】由题意得cos C2cos2 121.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.6.(2019荆州一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为
5、a，b，c，已知a2，cos A，sin B2sin C，则ABC的面积是_.【答案】【解析】由sin B2sin C，cos A，A为ABC一内角，可得b2c，sin A，由a2b2c22bccos A，可得84c2c23c2，解得c2(舍负)，则b4.SABCbcsin A24.【考点聚焦】考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.(2)(2019枣庄二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，则A()A. B. C. D.(3)(2018全国卷
6、)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.【答案】(1)75(2)B(3)C【解析】(1)由正弦定理，得sin B，结合bc得B45，则A180BC75.(2)(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc.所以cos A，又A(0，)，所以A.(3)因为a2b2c22abcos C，且SABC，所以SABCabsin C，所以tan C1.又C(0，)，故C.【规律方法】1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具
7、有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B. C. D.(2)(2019北京海淀区二模)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2cos 2C1，4sin B3sin A，ab1，则c的值为()A. B. C. D.6(3)在ABC中，已知
8、a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定【答案】(1)B(2)A(3)B【解析】(1)由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，则sin C(sin Acos A)sin Csin0，因为C(0，)，所以sin C0，所以sin0，又因为A(0，)，所以A，所以A.由正弦定理，得，则sin C，又C(0，)，得C.(2)由2cos2cos 2C1，可得2cos21cos 2C0，则有cos 2Ccos C0，即2cos2Ccos C10，解得cos
9、C或cos C1(舍)，由4sin B3sin A，得4b3a，又ab1，联立，得a4，b3，所以c2a2b22abcos C1691213，则c.(3)bsin A，bsin Aab.满足条件的三角形有2个.考点二判断三角形的形状【例2】 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由c
10、os A，得0，所以sin Csin Bcos A，即sin(AB)sin Bcos A，所以sin Acos B0，所以cos B0，sin A1，即A，ABC为直角三角形.【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 若将本例(2)中条件变为“cacos B(2ab)cos A”，判断ABC的形状.【答案】见解析【解析】cacos
11、 B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形.考点三和三角形面积、周长有关的问题多维探究角度1与三角形面积有关的问题【例31】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面
12、积.【答案】见解析【解析】(1)由sin Acos A0及cos A0，得tan A，又0A0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)23，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)，ABC周长abc4bc12，即最大值为12.【规律方法】1.对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】 (2019潍坊一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a2c)cos B
13、bcos A0.(1)求B；(2)若b3，ABC的周长为32，求ABC的面积.【答案】见解析【解析】(1)由已知及正弦定理得(sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0，(sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0，sin(AB)2sin Ccos B0，又sin(AB)sin C，且C(0，)，sin C0，cos B，0B，B.(2)由余弦定理，得9a2c22accos B.a2c2ac9，则(ac)2ac9.abc32，b3，ac2，ac3，SABCacsin B3.【反思与感悟】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关
14、系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中，若a2b2c2，由cos C0.cos A，即，则bc.ABC的面积Sbcsin A.二、填空题6.(2018浙江卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.【答案】3【解析】由，得sin Bsin A，又a2b2c22bccos A，c22c30，解得c3.7.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B，SABC，则b的值为_.【答案】【解析】由ac，由SABC
15、acsin B且sin B得ac5，联立，得a5，且c2.由sin B且B为锐角知cos B，由余弦定理知b225425214，b.8.若不等式ksin2Bsin Asin C19sin Bsin C对任意ABC都成立，则实数k的最小值为_.【答案】100【解析】由正弦定理得kb2ac19bc，即k，k，因为cab，所以100100，因此k100，即k的最小值为100.三、解答题9.(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高.【答案】见解析【解析】(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A.所以A.
16、(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.10.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2ab2b20.(1)若B，求A，C；(2)若C，c14，求SABC.【答案】见解析【解析】(1)由已知B，a2ab2b20结合正弦定理化简整理得2sin2Asin A10，于是sin A1或sin A(舍).因为0A0，所以a2b0，即a2b，联立解得b2，a4.所以SABCabsin C14.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aaco
17、s B2，则ABC的外接圆面积为()A.4 B.8 C.9 D.36【答案】C【解析】由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B2Rsin(AB)2(R为ABC的外接圆半径).即2Rsin C2.又cos C及C(0，)，知sin C.2R6，R3.故ABC外接圆面积SR29.12.(2019武汉模拟)在ABC中，C，AB3，则ABC的周长为()A.6sin3 B.6sin3C.2sin3 D.2sin3【答案】C【解析】设ABC的外接圆半径为R，则2R2，于是BC2Rsin A2sin A，AC2Rsin B2sin.于是ABC的周长为232sin3.13.(2019
18、长春一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Asin Acos C，且a2，则ABC面积的最大值为_.【答案】3【解析】因为cos Asin Acos C，所以bcos Asin Ccos Asin Acos C，所以bcos Asin(AC)，所以bcos Asin B，所以，又，a2，所以，得tan A，又A(0，)，则A，由余弦定理得(2)2b2c22bcb2c2bc2bcbcbc，即bc12(当且仅当bc2时取等号)，从而ABC面积的最大值为123.14.(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)
19、求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.【答案】见解析【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.【新高考创新预测】15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.【答案】【解析】根据正弦定理及a2sin C4sin A，可得ac4，由(ac)212b2，可得a2c2b24，所以SABC.17
