1、2018-2019学年河南省驻马店市高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A0，1，3，集合B1，2，4，5，则集合AB（）A2，4，5B1，2，3，4，5C2，3，4，5D12（5分）直线l：1的倾斜角为（）A45B60C120D1353（5分）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（）AyBy2x2xCyx2+|x|Dyln4（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，且AD2，BC4，AB2按照斜二测画法作出它的直观图ABCD，则直观图ABCD
2、的面积为（）AB2CD5（5分）圆：x2+y24x+6y0和圆：x2+y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）Ax+y+30B2xy50C3xy90D4x3y+706（5分）若f（x）x3+x22x+a在区间1，1.5内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表f（1）2f（1.5）0.625f（1.25）0.984f（1.375）0.260f（1.438）0.165f（1.4065）0.052那么方程x3+x22x+a0的一个近似根为（精度为0.1）（）A1.2B1.3C1.4D1.57（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，若ABACAA11，ABAC，点
3、M，N分别A1C1，CC1的中点，则异面直线MN与B1C1所成的角为（）A90B60C45D308（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，1g20.30）（）A2018年B2019年C2020年D2021年9（5分）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，mn，则n若m，mn，则n若，m，且n，nm，则n若m，nm，且n，n，则n且n其中正确命题的个数是（）
4、A1B2C3D410（5分）已知函数f（x）ax2+7（a0且a1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）ABCD11（5分）过直线y2x上一点P作圆M：（x3）2+（y2）2的两条切线l1、l2，切点为A，B，若直线l1，l2关于直线y2x对称，则APB等于（）A30B45C60D9012（5分）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADDC，PA平面ABCD，BCCDAD，E为棱AD的中点，点M是平面PAB内一个动点，且直线CM平面PBE，动点M所组成的图形记为，则（）A直线PEB平面PBEC平面PDED直线PC二、填空题：本大题共4小题，每小题5
5、分，共20分13（5分）已知直线l过点A（1，3），直线l上任意一点到直线x2y+30的距离都相等，则直线l的方程为 14（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出x123f（x）131x123g（x）321则方程gf（x）3的解集为 15（5分）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计） 16（5分）已知函数f（x），若互不相等的实数a
6、，b，c（abc）满足f（a）f（b）f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知全集UR，集合Ax|（x2）（x9）0，Bx|2x05x（1）求AB，B（UA）（2）已知集合Cx|ax2a，若C（UB）R，求实数a的取值范围18（12分）已知ABC三个顶点坐标为A（0，2），B（0，2），C（2，2）（1）在ABC中，求与BC边平行的中位线所在直线方程；（2）求ABC外接圆的方程19（12分）已知函数f（x）ax2+bx+1（a0）对任意xR，都有f（x4）f（x）（1）若函数f（
7、x）的顶点坐标为（x0，3），求f（x）的解析式；（2）函数f（x）的最小值记为h（a），求函数H（a）ah（a）在a（0，4上的值域20（12分）已知四棱锥ABCDE，其中ABBCACBE1，CD2，CD平面ABC，BECD，F为AD的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：平面CEF平面ACD；21（12分）已知函数f（x）axtax（a0且a1）为定义在R上的奇函数（1）求实数t的值；（2）若f（1）0，且存在xR使得不等式f（kx1）+f（xx2）0成立，求实数k的取值范围22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x1）2+y24，M点的坐标为（3，3）（1）求过点
8、M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值2018-2019学年河南省驻马店市高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的代号为A、B、C、D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A0，1，3，集合B1，2，4，5，则集合AB（）A2，4，5B1，2，3，4，5C2，3，4，5D1【分析】进行交集的运算即可【解答】解：A0，1，3，B1，2，4，5；AB1故选：D【点评】考查列举法的定义，以及交集的运算2（5分）
9、直线l：1的倾斜角为（）A45B60C120D135【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可【解答】解：直线方程是：xy2019，即yx2019，故倾斜角是45，故选：A【点评】本题考查了求直线的斜率，倾斜角问题，是一道基础题3（5分）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（）AyBy2x2xCyx2+|x|Dyln【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可【解答】解：Af（1）132，f（1）1，则f（1）f（1）且f（1）f（1），则函数为非奇非偶函数，满足条件Bf（x）2x2x（2x2x）f（x），为奇函数Cf（x）（x）2+|x|x2+|x|，为偶函数D由0得x1或x1，则
10、f（x）lnlnln（）1lnf（x），即函数为奇函数故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性判断，结合奇偶性的定义分别进行判断是解决本题的关键4（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，且AD2，BC4，AB2按照斜二测画法作出它的直观图ABCD，则直观图ABCD的面积为（）AB2CD【分析】由题意知S直S原，故求出直角梯形面积带入即可【解答】解：因为S直S原，又因为梯形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，且AD2，BC4，AB2，所以梯形的面积为6，所以直观图ABCD的面积为故选：D【点评】本题考查原图和直观图的关系，属于简单题5（5分）圆：x2+y24x+6y0和圆：x2
11、+y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）Ax+y+30B2xy50C3xy90D4x3y+70【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可【解答】解：由题意圆：x2+y24x+6y0和圆：x2+y26x0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y24x+6y0的圆心（2，3）和圆：x2+y26x0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3xy90故选：C【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用6（5分）若f（x）
12、x3+x22x+a在区间1，1.5内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表f（1）2f（1.5）0.625f（1.25）0.984f（1.375）0.260f（1.438）0.165f（1.4065）0.052那么方程x3+x22x+a0的一个近似根为（精度为0.1）（）A1.2B1.3C1.4D1.5【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解【解答】解：由上表知，方程x3+x22x20的一个根在（1.4065，1.438）之间，那么方程x3+x22x+a0的一个近似根为（精度为0.1）1.4；则其近似根为1.4故选：C【点评】本题考查了二分法求近似解的方法，属于基础题7（5分）在
13、直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，若ABACAA11，ABAC，点M，N分别A1C1，CC1的中点，则异面直线MN与B1C1所成的角为（）A90B60C45D30【分析】推导出MNA1C，B1C1BC，从而A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线MN与B1C1所成的角【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，ABACAA11，ABAC，点M，N分别A1C1，CC1的中点，MNA1C，B1C1BC，A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角（或所成角的补角），连结A1B，则A1BA1CBC，A1CB60，异面直线MN与
14、B1C1所成的角为60故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2010年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，1g20.30）（）A2018年B2019年C2020年D2021年【分析】根据题意，设第n年开始超过200万元，可得130（1+12%）n2010400，变形分析可得n的取值范围，分析即可得答案【解答
15、】解：根据题意，设第n年开始超过400万元，则130（1+12%）n2010400，化为：（n2010）lg1.122lg2lg1.3，解可得：n20109.8；则n2020，故选：C【点评】本题考查函数的应用，涉及等比数列的前n项和公式以及对数的计算，属于基础题9（5分）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，mn，则n若m，mn，则n若，m，且n，nm，则n若m，nm，且n，n，则n且n其中正确命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】由线面及面面垂直的性质定理可判断；由面面平行和线面垂直的性质定理可判断；由面面垂直的性质定理可判断；由线面平行的判定定理可判断【解
16、答】解：，若m，mn，可得n，由，可得n或n，故错误；，若m，mn，可得n，由，则n，故正确；，若，m，且n，nm，由面面垂直的性质定理可得n，故正确；，若m，nm，且n，n，由线面平行的判定定理可得n且n，故正确综上可得，其中正确的个数为3，故选：C【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）ax2+7（a0且a1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）ABCD【分析】根据指数函数过定点的性质求出P，利用待定系数法求出g（x），结合幂函数的图象进行判断即
17、可【解答】解：由x20得x2，此时yf（2）a0+71+78，即f（x）过定点P（2，8），设g（x）x，g（x）过点P（2，8），28，得3，即g（x）x3，为增函数，对应图象为D，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数，幂函数的性质是解决本题的关键11（5分）过直线y2x上一点P作圆M：（x3）2+（y2）2的两条切线l1、l2，切点为A，B，若直线l1，l2关于直线y2x对称，则APB等于（）A30B45C60D90【分析】根据题意，连接PM、AM，根据圆的性质和轴对称知识，得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线lPM，且PM平分APB因此计算出圆的半径和点M到
18、直线l的距离，在RtPAM中利用三角函数定义算出APM的度数，从而得到APB的度数【解答】解：根据题意，连接PM、AM，若切线l1，l2关于直线l对称，则直线lPM，且射线PM恰好是APB的平分线，圆M的方程为（x3）2+（y2）2，其圆心为（3，2），半径r，点M（3，2）到直线y2x，即2xy0的距离，即|MP|，则有sinMPA，则MPA45，则APB2MPA90；故选：D【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆相切的性质，属于综合题12（5分）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADDC，PA平面ABCD，BCCDAD，E为棱AD的中点，点M是平面PAB内一个动点，且直线CM
19、平面PBE，动点M所组成的图形记为，则（）A直线PEB平面PBEC平面PDED直线PC【分析】延长AB交直线CD于点N，由点E为AD的中点，可得AEEDAD，由BCCDAD，可得EDBC，已知EDBC可得四边形BCDE为平行四边形，即EBCD延长AP到F，使得APPF，连接FN，则BPFN，证明平面FND平面BPE，则动点M在直线FN上，由此可得FN平面PBE，即平面PBE【解答】解：延长AB交直线CD于点N，点E为AD的中点，AEEDAD，BCCDAD，EDBC，ADBC，即EDBC，四边形BCDE为平行四边形，即EBCDABCDN，NCD，CNBE，BE平面PBE，CN平面PBE，NAB，
20、AB平面PAB，N平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点N，使得直线CN平面PBE；延长AP到F，使得APPF，连接FN，则BPFN，又FNDNN，故可证明平面FND平面BPE，则动点M在直线FN上，此时直线CM平面PBE，故为直线FN，FN平面PBE故选：B【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知直线l过点A（1，3），直线l上任意一点到直线x2y+30的距离都相等，则直线l的方程为x2y+70【分析】直线l上任意一点到直线x2y+30的距离都相等，可
21、得直线l与直线x2y+30平行设直线l的方程为x2y+m0把点A（1，3）代入，解得m即可得出【解答】解：直线l上任意一点到直线x2y+30的距离都相等，直线l与直线x2y+30平行设直线l的方程为x2y+m0把点A（1，3）代入可得：16+m0，解得m7故直线l的方程为：x2y+70故答案为：x2y+70【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出x123f（x）131x123g（x）321则方程gf（x）3的解集为1，3【分析】根据题意，结合表格可得若方程gf（x）3，必有f（x）1，进而分析可得答案【解
22、答】解：根据题意，若方程gf（x）3，必有f（x）1，则有x1或3，即方程gf（x）3的解集为1，3；故答案为：1，3【点评】本题考查函数的定义，涉及复合函数的定义，属于基础题15（5分）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）【分析】由题意，该球形容器的半径的最小值为，即可求出该球形容器的体积的最小值【解答】解：由题意，该球形容器的半径的
23、最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为，该球形容器体积的最小值为：故答案为：【点评】本题考查正棱柱的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题16（5分）已知函数f（x），若互不相等的实数a，b，c（abc）满足f（a）f（b）f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（3，4【分析】画出函数f（x）的图象，可得a+b0，af（a）+bf（b）+cf（c）cf（c）c（4c），c4e，3），结合二次函数的图象和性质，可得答案【解答】解：函数f（x）图象如下图所示：若互不相等的实数a，b，c（ab
24、c）满足f（a）f（b）f（c），则a，b互为相反数，即af（a）+bf（b）0，c4e，3），则af（a）+bf（b）+cf（c）cf（c）c（4c）（c2）2+4，当c2时，取最大值为4，又由c3时取最小值，c（4c）3，故af（a）+bf（b）+cf（c）的取值范围是（3，4故答案为：（3，4【点评】本题考查分段函数的图象和性质，注意运用数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，以及化简运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知全集UR，集合Ax|（x2）（x9）0，Bx|2x05x（1）求AB，B（UA）（2）已
25、知集合Cx|ax2a，若C（UB）R，求实数a的取值范围【分析】（1）可解出Ax|2x9，Bx|2x5，然后进行交集、补集和并集的运算即可；（2）可得出UBx|x2，或x5，这样根据C（UB）R即可得出，解出a的范围即可【解答】解：（1）Ax|2x9，Bx|2x5；ABx|2x5，UAx|x2，或x9，B（UA）x|x5，或x9；（2）UBx|x2，或x5，Cx|ax2a，且C（UB）R；解得a3；实数a的取值范围是：（，3【点评】考查描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算，并集的定义18（12分）已知ABC三个顶点坐标为A（0，2），B（0，2），C（2，2）（1）在ABC中，求与BC边平
26、行的中位线所在直线方程；（2）求ABC外接圆的方程【分析】（1）先求出AB、AC的中点，用两点式求出与BC边平行的中位线所在直线方程（2）根据ABAC，可得ABC的外接圆的圆心为BC的中点（1，0），半径为|BC|，从而得到它的接圆的方程【解答】解：（1）在ABC中，三个顶点坐标为A（0，2），B（0，2），C（2，2），AB的中点为（0，0），AC的中点为（1，2）求与BC边平行的中位线所在直线方程为 ，即2x+y0（2）（2，0）（0，4）0，ABC为直角三角形，故它的外接圆的圆心为BC的中点（1，0），半径为|BC|，故ABC的外接圆方程为（x+1）2+y25【点评】本题主要考查用两点式
27、求直线的方程，求圆的标准方程的方法，属于中档题19（12分）已知函数f（x）ax2+bx+1（a0）对任意xR，都有f（x4）f（x）（1）若函数f（x）的顶点坐标为（x0，3），求f（x）的解析式；（2）函数f（x）的最小值记为h（a），求函数H（a）ah（a）在a（0，4上的值域【分析】（1）由二次函数的对称轴、最值得：f（x）的对称轴方程为x2，即2，又f（2）4a8a+13，解得：a1（2）由二次函数在闭区间上的值域问题得：H（x）ah（a）4a2+a4（a）2+，又a（0，4，所以60H（x），故H（a）在a（0，4上的值域为：60，得解【解答】解：（1）因为函数f（x）ax2+bx
28、+1（a0）对任意xR，都有f（x4）f（x），所以f（x）的对称轴方程为x2，即2，所以b4a，又函数f（x）的顶点坐标为（x0，3），所以f（2）4a8a+13，解得：a1，即f（x）的解析式为：f（x）x2+4x+1，故答案为：f（x）x2+4x+1；（2）由（1）知，f（x）的对称轴方程为x2，（a0）所以h（a）f（x）minf（2）4a+1，所以H（x）ah（a）4a2+a4（a）2+，又a（0，4，所以60H（x），故H（a）在a（0，4上的值域为：60，故答案为：60，【点评】本题考查了二次函数的对称轴、最值及二次函数在闭区间上的值域问题，属中档题20（12分）已知四棱锥ABC
29、DE，其中ABBCACBE1，CD2，CD平面ABC，BECD，F为AD的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：平面CEF平面ACD；【分析】（1）取AC的中点G，连结FG，BG，推导四边形EFGB是平行四边形，从而EFBG，由此能证明EF平面ABC（2）推导出BGAC，CDBG，从而BG平面ACD，进而EF平面ACD，由此能证明平面CEF平面ACD【解答】证明：（1）取AC的中点G，连结FG，BG，F，G分别是AD，AC的中点，FGCD，且FG1，BECD，BE1，FGBE，且FGBE，四边形EFGB是平行四边形，EFBG，BG平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC（2）ABBCA
30、C，且G是AC的中点，BGAC，又CD平面ABC，BG平面ABC，CDBG，且ACCDC，BG平面ACD，由（1）知EFBG，EF平面ACD，EF平面CEF，平面CEF平面ACD【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21（12分）已知函数f（x）axtax（a0且a1）为定义在R上的奇函数（1）求实数t的值；（2）若f（1）0，且存在xR使得不等式f（kx1）+f（xx2）0成立，求实数k的取值范围【分析】（1）由f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）0，求得t值，验证后得答案；（2）由f（
31、1）0求得a的范围，得到f（x）的单调性，把存在xR使得不等式f（kx1）+f（xx2）0成立，转化为x2（k+1）x+10有解，再由判别式法求解【解答】解：（1）依题意可得，f（0）1t0，即t1，此时f（x）axax又f（x）axaxf（x）符合题意，实数t的值为1；（2）由f（1）0，得0，解得0a1此时f（x）axax为减函数，存在xR使得不等式f（kx1）+f（xx2）0成立，f（kx1）f（x2x）有解kx1x2x，即x2（k+1）x+10有解（k+1）240，解得k3或k1综上可知，实数k的取值范围为（，3）（1，+）【点评】本题考查函数的性质及其应用，考查恒成立问题的求解方法，
32、是中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x1）2+y24，M点的坐标为（3，3）（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值【分析】（1）设出直线的方程后，利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；（2）设直线方程与圆的方程联立消去y并整理得关于x的一元二次方程，由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x3与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3m（x3），圆心到直线的距离等于半径2，解得m，切线方程为：5x+12y+210，综上，过点M（3，3）且与圆C相切的直线方程为：x3或 5x+12y+210（2）圆C：（x1）2+y24与x轴正半轴的交点为P（3，0），依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3k（x3），代入圆C：（x1）2+y24整理得：（1+k2）x22（3k2+3k+1）x+9（k+1）230，设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），x1+x2，x1x2，直线PA和PB的斜率之和为：kPA+kPB+k+k2k3（+）2k32k32k32k32k2k2k+【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题
