1、2017-2018学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M0，1，2，3，4，Nx|x2n1，nN，PMN，则P的子集共有（）A2个B3个C4个D5个2（5分）方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则a、b、c的值依次为（）A2，4，4B2，4，4C2，4，4D2，4，43（5分）若a23，b，ce，则有（）AabcBcabCbcaDbac4（5分）圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（）AB3C4D55（5分）已知m、n是两条不重合
2、的直线，、是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，mn，则nC若m，m，则D若m，mn，则n6（5分）若M（x0，y0）为圆x2+y2r2（r0）上一点，则直线x0x+y0yr2与该圆的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交7（5分）已知yf（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x22x，若xf（x）0，则x的取值范围是（）A一2，2B（，22，+）C（，2）0，2D2，02，+）8（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2BC4D9（5分）数学家欧拉在1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心
3、依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），则该三角形的欧拉线方程为（）Axy20Bxy20Cxy20Dxy2010（5分）已知函数f（x），若存在x1，x2R且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C（一，3）D（一，311（5分）直线kxyk0与曲线y交于M、N两点，O为坐标原点，当OMN面积取最大值时，实数k的值为（）ABC1D112（5分）已知f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，满足f（f（x）ex2lnx）e+1，则函数f（
4、x）的零点所在区间为（）A（，）B（，）C（，1）D（1，e）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知f（2x）2x21，则f（1） 14（5分）P（1，1，2）是空间直角坐标系中一点，点P关于平面xOy对称点为M，点P关于Z轴对称点为N，则线段|MN| 15（5分）函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）的单调递减区间是 16（5分）如图，正方形ABCD边长为2，点M在线段DC上从点D运动到点C，若将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABC，则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为 三、解答题：本大题共6
5、小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知直线l1：3x+（m+1）y60，l2：mx+2y（m+2）0，分别求满足下列条件的m的值（1）l1l2； （2）l1l218（12分）已知ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y10，ABC的平分线BH所在直线方程为yx求：（1）顶点B的坐标；（2）直线BC的方程19（12分）如图，直线PA垂直圆O所在的平面，AB为圆O的直径，PAAB，C是圆O上除A、B外一动点，点M、N分别是线段PB、PC的中点（1）求证：ANMN；（2）证明：异面直线PA与CM所成角为定值，并求其所成角的大小20（12分
6、）已知函数f（x）lg，其中a为常数，（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）设函数f（x）的定义域为，若2，5I，求实数a的取值范围21（12分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，PA平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点，AP2，AE（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：平面AEF平面PAB；（3）求二面角PAEF的大小22（12分）已知圆C：x2+（y1）2r2（r为半径），圆C被x轴截得弦长为2，直线l：yx+m（mR），O为坐标原点（1）求圆的方程；（2）若m2，过直线l上一点P作圆C的切线PQ，Q为切点，求切线长|PQ|最短时，点P的坐标；（3）若直线l
7、与圆C相交于M、N两点，且OMON，求实数m的值2017-2018学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合M0，1，2，3，4，Nx|x2n1，nN，PMN，则P的子集共有（）A2个B3个C4个D5个【分析】容易求出MN1，3，即得出P1，3，从而可求出P的所有子集，这样即可得出P的子集个数【解答】解：MN1，3；P1，3；P的子集为：，1，3，1，3，共四个故选：C【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，交集的运算，以及子集的定义2（5分）方程x2+y2a
8、x+by+c0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则a、b、c的值依次为（）A2，4，4B2，4，4C2，4，4D2，4，4【分析】根据题意，由圆的一般方程分析可得，解可得a、b、c的值，即可得答案【解答】解：根据题意，方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则，解可得：a2，b4，c4，故选：B【点评】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题3（5分）若a23，b，ce，则有（）AabcBcabCbcaDbac【分析】分别利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则比较三个数与0和1的大小得答案【解答】解：0a23201，b1，ce，b
9、ac故选：D【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题4（5分）圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（）AB3C4D5【分析】利用轴截面为正三角形，很容易得到底面半径，母线长，代入公式求得底面积和侧面积，得解【解答】解：如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，边长为2，故底面半径r1，母线长l2，S底r2，S侧rl2，圆锥表面积为3，故选：B【点评】此题考查了圆锥表面积，属容易题5（5分）已知m、n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，mn，则nC若m，m，则D若m，mn，则n【分析】
10、在A中，与相交或平行；在B中，n与相交、平行或n；在C中，由面面平行的判定定理得；在D中，n与相交、平行或n【解答】解：由m、n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，知：在A中，若m，n，mn，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，mn，则n与相交、平行或n，故B错误；在C中，若m，m，则由面面平行的判定定理得，故C正确；在D中，若m，mn，则n与相交、平行或n，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6（5分）若M（x0，y0）为圆x2+y2r2（r0）上一点，则直线x0x+y0yr
11、2与该圆的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由点到直线的距离公式分析可得圆心到直线的距离dr，由直线与圆的位置关系即可得答案【解答】解：根据题意，若M（x0，y0）为圆x2+y2r2（r0）上一点，则x02+y02r2，圆x2+y2r2（r0）的圆心为（0，0），半径为r，圆心到直线的距离dr，直线x0x+y0yr2与该圆相切；故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意直线与圆位置关系的判断方法，属于基础题7（5分）已知yf（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x22x，若xf（x）0，则x的取值范围是（）A一2，2B（，22，+）
12、C（，2）0，2D2，02，+）【分析】根据题意，由函数在x0时的解析式分析可得在区间（0，2）上，f（x）0，在（2，+）上，f（x）0，结合函数的奇偶性可得在区间（2，0）上，f（x）0，在（，2）上，f（x）0；又由xf（x）0，可得或，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，当x0时，f（x）x22x，若f（x）0，即x22x0，解可得：x2，则在区间（0，2）上，f（x）0，在（2，+）上，f（x）0，又由f（x）为偶函数，则在区间（2，0）上，f（x）0，在（，2）上，f（x）0，若xf（x）0，即或，则有2x0或x2，即xf（x）0的解集为2，02，+）；故选：D【点
13、评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）0和f（x）0的解集8（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2BC4D【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S224，棱锥的高h1故棱锥的体积V，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分）数学家欧拉在1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心
14、到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），则该三角形的欧拉线方程为（）Axy20Bxy20Cxy20Dxy20【分析】ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），利用重心定理可得重心G设ABC的外心为W（2，a），可得|OW|WC|，解得a利用点斜式即可得出欧拉线【解答】解：ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），重心G设ABC的外心为W（2，a），则|OW|WC|，即，解得a0可得W（2，0）则该三角形的欧拉线方程为y0（x2），化为：xy20故选：A【点评】本题考查了直线方程、两点
15、之间的距离公式、三角形的垂心外心重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x），若存在x1，x2R且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C（一，3）D（一，3【分析】当1，即a2时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2（，1且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立；当1，即a2时，若存在x1，x2R且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，则1+a3a7，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x），存在x1，x2R且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，当1，即a2时，由二次函数的图象和性质，可知：
16、存在x1，x2（，1且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，当1，即a2时，若存在x1，x2R且x1x2，使得f（x1）f（x2）成立，则1+a3a7，解得a3，2a3，综上所述：实数a的取值范围是（，3）故选：C【点评】本题考查函数的单调性和运用，注意二次函数的对称轴和区间的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题11（5分）直线kxyk0与曲线y交于M、N两点，O为坐标原点，当OMN面积取最大值时，实数k的值为（）ABC1D1【分析】根据MON为直角时，OMN的面积取到最大值，于是得到OMN为等腰直角三角形，根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离，再利用点到直
17、线的距离公式列方程可解出k的值，但需要结合图形，得出k0，从而得出正解【解答】解：由，知y0，将等式两边平方得y21x2，即x2+y21，所以，曲线表示的图形是圆x2+y21 的上半部分，设MON，则OMN的面积为，显然，当90时，OMN的面积取到最大值，此时，OMN是等腰直角三角形，设原点到直线的距离为d，则，另一方面，由点到直线的距离公式可得，解得，结合图象可知，k0，因此，故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将问题转化为圆心到直线的距离，是解本题的关键，属于中等题12（5分）已知f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，满足f（f（x）ex2lnx）e+1，则函数f（x）的零点所在
18、区间为（）A（，）B（，）C（，1）D（1，e）【分析】由题意可设tf（x）ex2lnx，则f（x）ex+2lnx+t，又由f（t）e+1，即et+2lnt+te+1，解得t1，可得f（x）的解析式，运用函数零点存在定理即可得到所求结论【解答】解：根据题意，对任意的x（0，+），都有ff（x）ex2lnxe+1，又由f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则f（x）ex2lnx为定值，设tf（x）ex2lnx，则f（x）ex+2lnx+t，又由f（t）e+1，即et+2lnt+te+1，解得t1，则f（x）1+2lnx+ex，f（x）+ex0，可得f（x）在x0递增，f（）2+10，f（）30
19、，则f（x）在（，）有零点故选：B【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知f（2x）2x21，则f（1）1【分析】根据题意，在f（2x）2x21中，令x0可得：f（20）011，变形即可得答案【解答】解：根据题意，f（2x）2x21，令x0可得：f（20）011，即f（1）1；故答案为：1【点评】本题考查函数解析式的计算，注意用特殊值法分析，属于基础题14（5分）P（1，1，2）是空间直角坐标系中一点，点P关于平面xOy对称点为M，点P关于Z轴对称点为N，则线段|
20、MN|2【分析】由点P关于平面xOy对称点为M，求出M（1，1，2），由点P关于Z轴对称点为N，求N（1，1，2），由此能求出线段|MN|【解答】解：P（1，1，2）是空间直角坐标系中一点，点P关于平面xOy对称点为M，M（1，1，2），点P关于Z轴对称点为N，N（1，1，2），线段|MN|2故答案为：2【点评】本题考查线段长的求法，考查空间直角坐标系中的对称问题、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15（5分）函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）的单调递减区间是1，4）【分析】根据题意，先由函数的解析式求出函数的定义域，令tx2+2x+8，则ylnt
21、；由复合函数单调性的判定方法分析可得：若函数f（x）为减函数，则tx2+2x+8为减函数，由二次函数的性质分析tx2+2x+8的递减区间，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）ln（x+2）+ln（4x），有，解可得2x4，则f（x）ln（x+2）+ln（4x）ln（x2+2x+8），令tx2+2x+8，2x4，则t0，则ylnt，为增函数，若函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）ln（x2+2x+8）为减函数，则tx2+2x+8为减函数，其对称轴为x1，则其递减区间为1，4）；则函数函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）的单调递减区间是1，4）；故答案为：1，4）【点评】本题考查复
22、合函数的单调性，注意函数的定义域，属于基础题16（5分）如图，正方形ABCD边长为2，点M在线段DC上从点D运动到点C，若将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABC，则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为【分析】过D'作AM的垂线，垂足为O，运用面面垂直的性质定理和平面几何圆的定义和弧长公式，计算可得所求值【解答】解：过D'作AM的垂线，垂足为O，由平面AD'M平面ABC，可得D'O平面ABC，可得DOOA，可得O在以AD为直径，的圆弧上运动，可得点D'在平面ABC内射影O所形成轨迹的长度为2故答案为：【点评】本题考查空间面面垂直的性质定理的运用，
23、以及平面几何圆的定义，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知直线l1：3x+（m+1）y60，l2：mx+2y（m+2）0，分别求满足下列条件的m的值（1）l1l2； （2）l1l2【分析】（1）根据两直线垂直的关系可得3m+2（m+1）0，解得即可，（2）根据两直线平行的关系可得32m（m1）0，解得并需要验证【解答】解：（1）若l1l2，则3m+2（m+1）0，解得m，（2）若l1l2，则32m（m1）0，解得m3或m2，当m3时，l1l2，当m2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去，故m3【点评】本题考查两直
24、线平行的性质，两直线垂直的性质，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑斜率不存在的情况18（12分）已知ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y10，ABC的平分线BH所在直线方程为yx求：（1）顶点B的坐标；（2）直线BC的方程【分析】（1）设出B的坐标，代入直线CM，求出m的值，从而求出B的坐标即可；（2）设出A的对称点，表示出AB的方程，即BC的方程，整理即可【解答】解：（1）由题意可知，点B在角平分线yx上，可设点B的坐标是（m，m），则AB的中点（，）在直线CM上，+210，解得：m1，故点B（1，1）；（2）设A关于yx的对称点为A（x0，y0），则由，解得
25、：，直线AB的方程为：，直线AB的方程即直线BC的方程，整理得BC的方程是：2x3y10【点评】本题考查了求直线方程问题，考查对称问题以及转化思想，是一道常规题19（12分）如图，直线PA垂直圆O所在的平面，AB为圆O的直径，PAAB，C是圆O上除A、B外一动点，点M、N分别是线段PB、PC的中点（1）求证：ANMN；（2）证明：异面直线PA与CM所成角为定值，并求其所成角的大小【分析】（1）推导出PABC，ACBC，BC平面PAC，求出BCAN，MNBC，由此能证明ANMN（2）连结OM，在ABC中，M，O分别是PB，AB的中点，从而OMPA，进而OM平面ABC，OMOC，由此能证明异面直线
26、PA与CM所成角为定值，其所成角的大小为45【解答】证明：（1）PA圆O所在的平面，点B、C在圆O上，PABC，AB是圆O的直径，C是圆O上除A，B外一动点，ACBC，PAACA，BC平面PAC，AN平面PAC，BCAN，在PBC中，M，N分别是线段PB，PC的中点，MNBC，ANMN（2）连结OM，在ABC中，M，O分别是PB，AB的中点，OMPA，且OMPA，由题知PA圆O所在的平面ABC，OM平面ABC，OC平面ABC，OMOC，又OMOC，OCM为等腰三角形，即OM与MC所成角为45，OMPA，异面直线PA与CM所成角为定值，其所成角的大小为45【点评】本题考查线线垂直的证明，考查异面
27、直线所成角为定值的证明及其大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）已知函数f（x）lg，其中a为常数，（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）设函数f（x）的定义域为，若2，5I，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（x）+f（x）lg+lglg0，解可得a的值，验证即可得答案；（2）根据题意，分析可得在区间2，5上，0恒成立，进而可得ax30在2，5上恒成立；设g（x）ax3，分析可得，接可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）lg，则f（x）+f（x）
28、lg+lglg0，即1，分析可得a21，即a1，当a1时，f（x）lg，符合题意；当a1时，f（x）lg，无意义，不符合题意；故a1；（2）若2，5I，则在区间2，5上，0恒成立；又由x+30在2，5上恒成立，则ax30在2，5上恒成立；设g（x）ax3，则有，解可得：a；即a的取值范围为（，+）【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数函数的性质，属于综合题21（12分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，PA平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点，AP2，AE（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：平面AEF平面PAB；（3）求二面角PAEF的大小【分析】（1）取
29、PA的中点M，连结FM，DM，推导出四边形DEFM为平行四边形，EFDM，由此能证明EF平面PAD（2）推导出AEDE，AEAB，PAAE，从而AE平面PAB，由此能证明平面AEF平面PAB（3）由AE平面PAB，得AEPA，AEAF，从而PAF是二面角PAEF的平面角，由此能求出二面角PAEF的大小【解答】证明：（1）取PA的中点M，连结FM，DM，F，M分别是PB，PA的中点，FMAB，且FM，又点E是CD的中点，四边形ABCD为菱形，DEAB，且DE，FMDE，且FMDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF平面PAD，DM平面PAD，EF平面PAD（2）底面ABCD是边长为2的菱
30、形，AE，AE2+DE2AD2，AEDE，DEAB，AEAB，PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，ABPAA，AE平面PAB，AE平面AEF，平面AEF平面PAB解：（3）由（2）可知：AE平面PAB，AEPA，AEAF，AE为二面角PAEF的棱，AF平面AEF，PA平面PAE，PAF是二面角PAEF的平面角，在RtPAB中，ABAP2，且F为PB的中点，PAF45，二面角PAEF的大小为45【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）已知圆C：x2+（
31、y1）2r2（r为半径），圆C被x轴截得弦长为2，直线l：yx+m（mR），O为坐标原点（1）求圆的方程；（2）若m2，过直线l上一点P作圆C的切线PQ，Q为切点，求切线长|PQ|最短时，点P的坐标；（3）若直线l与圆C相交于M、N两点，且OMON，求实数m的值【分析】（1）由题意可知，圆心C在y轴上，OCx轴，设x轴与圆C交于A，B，可得|OA|，|OC|1，|AC|r，由勾股定理求解r，则圆的方程可求；（2）当m2时，直线l的方程为yx2，当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PCl时，|PC|最小，求出直线PC的方程，联立两直线方程可得P的坐标；（3）设M（x1，y1），N（x2，
32、y2），由题意可得：x10，x20，联立直线方程与圆的方程利用根与系数的关系结合OMON可得m值【解答】解：（1）由题意可知，圆心C在y轴上，OCx轴，设x轴与圆C交于A，B，|OA|，|OC|1，|AC|r，AOC为直角三角形，|OA|2+|OC|2|AC|2，即，r圆C的方程为x2+（y1）23；（2）当m2时，直线l的方程为yx2，PQC为直角三角形，|PQ|2|PC|2|QC|2|PC|23当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PCl时，|PC|最小，kPC1，C（0，1），直线PC：y11（x0），即yx+1由，解得，即P（）；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可得：x10，x20，联立，得2x2+2（m1）x+m22m204（m1）28（m22m2）0OMON，即x1x2+y1y20，即整理得：m2m20，解得m1或m2经检验满足0，m1或m2【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题
