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2017-2018学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合M0,1,2,3,4,Nx|x2n1,nN,PMN,则P的子集共有()A2个B3个C4个D5个2(5分)方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则a、b、c的值依次为()A2,4,4B2,4,4C2,4,4D2,4,43(5分)若a23,b,ce,则有()AabcBcabCbcaDbac4(5分)圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则圆锥的表面积为()AB3C4D55(5分)已知m、n是两条不重合

2、的直线,、是两个不重合的平面,下面四个结论中正确的是()A若m,n,mn,则B若m,mn,则nC若m,m,则D若m,mn,则n6(5分)若M(x0,y0)为圆x2+y2r2(r0)上一点,则直线x0x+y0yr2与该圆的位置关系为()A相切B相交C相离D相切或相交7(5分)已知yf(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)x22x,若xf(x)0,则x的取值范围是()A一2,2B(,22,+)C(,2)0,2D2,02,+)8(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A2BC4D9(5分)数学家欧拉在1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心

3、依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,),则该三角形的欧拉线方程为()Axy20Bxy20Cxy20Dxy2010(5分)已知函数f(x),若存在x1,x2R且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A3,+)B(3,+)C(一,3)D(一,311(5分)直线kxyk0与曲线y交于M、N两点,O为坐标原点,当OMN面积取最大值时,实数k的值为()ABC1D112(5分)已知f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,满足f(f(x)ex2lnx)e+1,则函数f(

4、x)的零点所在区间为()A(,)B(,)C(,1)D(1,e)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13(5分)已知f(2x)2x21,则f(1)   14(5分)P(1,1,2)是空间直角坐标系中一点,点P关于平面xOy对称点为M,点P关于Z轴对称点为N,则线段|MN|   15(5分)函数f(x)ln(x+2)+ln(4x)的单调递减区间是   16(5分)如图,正方形ABCD边长为2,点M在线段DC上从点D运动到点C,若将ADM沿AM折起,使得平面ADM平面ABC,则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为   三、解答题:本大题共6

5、小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知直线l1:3x+(m+1)y60,l2:mx+2y(m+2)0,分别求满足下列条件的m的值(1)l1l2; (2)l1l218(12分)已知ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y10,ABC的平分线BH所在直线方程为yx求:(1)顶点B的坐标;(2)直线BC的方程19(12分)如图,直线PA垂直圆O所在的平面,AB为圆O的直径,PAAB,C是圆O上除A、B外一动点,点M、N分别是线段PB、PC的中点(1)求证:ANMN;(2)证明:异面直线PA与CM所成角为定值,并求其所成角的大小20(12分

6、)已知函数f(x)lg,其中a为常数,(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;(2)设函数f(x)的定义域为,若2,5I,求实数a的取值范围21(12分)如图所示,四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形,PA平面ABCD,E,F分别为CD,PB的中点,AP2,AE(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:平面AEF平面PAB;(3)求二面角PAEF的大小22(12分)已知圆C:x2+(y1)2r2(r为半径),圆C被x轴截得弦长为2,直线l:yx+m(mR),O为坐标原点(1)求圆的方程;(2)若m2,过直线l上一点P作圆C的切线PQ,Q为切点,求切线长|PQ|最短时,点P的坐标;(3)若直线l

7、与圆C相交于M、N两点,且OMON,求实数m的值2017-2018学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)已知集合M0,1,2,3,4,Nx|x2n1,nN,PMN,则P的子集共有()A2个B3个C4个D5个【分析】容易求出MN1,3,即得出P1,3,从而可求出P的所有子集,这样即可得出P的子集个数【解答】解:MN1,3;P1,3;P的子集为:,1,3,1,3,共四个故选:C【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念,交集的运算,以及子集的定义2(5分)方程x2+y2a

8、x+by+c0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则a、b、c的值依次为()A2,4,4B2,4,4C2,4,4D2,4,4【分析】根据题意,由圆的一般方程分析可得,解可得a、b、c的值,即可得答案【解答】解:根据题意,方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则,解可得:a2,b4,c4,故选:B【点评】本题考查圆的一般方程,注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法,属于基础题3(5分)若a23,b,ce,则有()AabcBcabCbcaDbac【分析】分别利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则比较三个数与0和1的大小得答案【解答】解:0a23201,b1,ce,b

9、ac故选:D【点评】本题考查对数值的大小比较,考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则,是基础题4(5分)圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则圆锥的表面积为()AB3C4D5【分析】利用轴截面为正三角形,很容易得到底面半径,母线长,代入公式求得底面积和侧面积,得解【解答】解:如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,边长为2,故底面半径r1,母线长l2,S底r2,S侧rl2,圆锥表面积为3,故选:B【点评】此题考查了圆锥表面积,属容易题5(5分)已知m、n是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,下面四个结论中正确的是()A若m,n,mn,则B若m,mn,则nC若m,m,则D若m,mn,则n【分析】

10、在A中,与相交或平行;在B中,n与相交、平行或n;在C中,由面面平行的判定定理得;在D中,n与相交、平行或n【解答】解:由m、n是两条不重合的直线,、是两个不重合的平面,知:在A中,若m,n,mn,则与相交或平行,故A错误;在B中,若m,mn,则n与相交、平行或n,故B错误;在C中,若m,m,则由面面平行的判定定理得,故C正确;在D中,若m,mn,则n与相交、平行或n,故D错误故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题6(5分)若M(x0,y0)为圆x2+y2r2(r0)上一点,则直线x0x+y0yr

11、2与该圆的位置关系为()A相切B相交C相离D相切或相交【分析】根据题意,求出圆的圆心与半径,由点到直线的距离公式分析可得圆心到直线的距离dr,由直线与圆的位置关系即可得答案【解答】解:根据题意,若M(x0,y0)为圆x2+y2r2(r0)上一点,则x02+y02r2,圆x2+y2r2(r0)的圆心为(0,0),半径为r,圆心到直线的距离dr,直线x0x+y0yr2与该圆相切;故选:A【点评】本题考查直线与圆的位置关系,注意直线与圆位置关系的判断方法,属于基础题7(5分)已知yf(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)x22x,若xf(x)0,则x的取值范围是()A一2,2B(,22,+)

12、C(,2)0,2D2,02,+)【分析】根据题意,由函数在x0时的解析式分析可得在区间(0,2)上,f(x)0,在(2,+)上,f(x)0,结合函数的奇偶性可得在区间(2,0)上,f(x)0,在(,2)上,f(x)0;又由xf(x)0,可得或,解可得x的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,当x0时,f(x)x22x,若f(x)0,即x22x0,解可得:x2,则在区间(0,2)上,f(x)0,在(2,+)上,f(x)0,又由f(x)为偶函数,则在区间(2,0)上,f(x)0,在(,2)上,f(x)0,若xf(x)0,即或,则有2x0或x2,即xf(x)0的解集为2,02,+);故选:D【点

13、评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意分析f(x)0和f(x)0的解集8(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A2BC4D【分析】由已知的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,计算出底面面积和高,代入锥体体积公式,可得答案【解答】解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,棱锥的底面面积S224,棱锥的高h1故棱锥的体积V,故选:D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状9(5分)数学家欧拉在1765年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心

14、到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,),则该三角形的欧拉线方程为()Axy20Bxy20Cxy20Dxy20【分析】ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,),利用重心定理可得重心G设ABC的外心为W(2,a),可得|OW|WC|,解得a利用点斜式即可得出欧拉线【解答】解:ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,),重心G设ABC的外心为W(2,a),则|OW|WC|,即,解得a0可得W(2,0)则该三角形的欧拉线方程为y0(x2),化为:xy20故选:A【点评】本题考查了直线方程、两点

15、之间的距离公式、三角形的垂心外心重心的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题10(5分)已知函数f(x),若存在x1,x2R且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A3,+)B(3,+)C(一,3)D(一,3【分析】当1,即a2时,由二次函数的图象和性质,可知存在x1,x2(,1且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立;当1,即a2时,若存在x1,x2R且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立,则1+a3a7,由此能求出实数a的取值范围【解答】解:函数f(x),存在x1,x2R且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立,当1,即a2时,由二次函数的图象和性质,可知:

16、存在x1,x2(,1且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立,当1,即a2时,若存在x1,x2R且x1x2,使得f(x1)f(x2)成立,则1+a3a7,解得a3,2a3,综上所述:实数a的取值范围是(,3)故选:C【点评】本题考查函数的单调性和运用,注意二次函数的对称轴和区间的关系,考查分类讨论思想和运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题11(5分)直线kxyk0与曲线y交于M、N两点,O为坐标原点,当OMN面积取最大值时,实数k的值为()ABC1D1【分析】根据MON为直角时,OMN的面积取到最大值,于是得到OMN为等腰直角三角形,根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离,再利用点到直

17、线的距离公式列方程可解出k的值,但需要结合图形,得出k0,从而得出正解【解答】解:由,知y0,将等式两边平方得y21x2,即x2+y21,所以,曲线表示的图形是圆x2+y21 的上半部分,设MON,则OMN的面积为,显然,当90时,OMN的面积取到最大值,此时,OMN是等腰直角三角形,设原点到直线的距离为d,则,另一方面,由点到直线的距离公式可得,解得,结合图象可知,k0,因此,故选:A【点评】本题考查直线与圆的位置关系,将问题转化为圆心到直线的距离,是解本题的关键,属于中等题12(5分)已知f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,满足f(f(x)ex2lnx)e+1,则函数f(x)的零点所在

18、区间为()A(,)B(,)C(,1)D(1,e)【分析】由题意可设tf(x)ex2lnx,则f(x)ex+2lnx+t,又由f(t)e+1,即et+2lnt+te+1,解得t1,可得f(x)的解析式,运用函数零点存在定理即可得到所求结论【解答】解:根据题意,对任意的x(0,+),都有ff(x)ex2lnxe+1,又由f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,则f(x)ex2lnx为定值,设tf(x)ex2lnx,则f(x)ex+2lnx+t,又由f(t)e+1,即et+2lnt+te+1,解得t1,则f(x)1+2lnx+ex,f(x)+ex0,可得f(x)在x0递增,f()2+10,f()30

19、,则f(x)在(,)有零点故选:B【点评】本题考查函数的解析式的求法,注意运用换元法,考查函数零点存在定理的运用,考查运算能力,属于中档题二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13(5分)已知f(2x)2x21,则f(1)1【分析】根据题意,在f(2x)2x21中,令x0可得:f(20)011,变形即可得答案【解答】解:根据题意,f(2x)2x21,令x0可得:f(20)011,即f(1)1;故答案为:1【点评】本题考查函数解析式的计算,注意用特殊值法分析,属于基础题14(5分)P(1,1,2)是空间直角坐标系中一点,点P关于平面xOy对称点为M,点P关于Z轴对称点为N,则线段|

20、MN|2【分析】由点P关于平面xOy对称点为M,求出M(1,1,2),由点P关于Z轴对称点为N,求N(1,1,2),由此能求出线段|MN|【解答】解:P(1,1,2)是空间直角坐标系中一点,点P关于平面xOy对称点为M,M(1,1,2),点P关于Z轴对称点为N,N(1,1,2),线段|MN|2故答案为:2【点评】本题考查线段长的求法,考查空间直角坐标系中的对称问题、两点间的距离公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题15(5分)函数f(x)ln(x+2)+ln(4x)的单调递减区间是1,4)【分析】根据题意,先由函数的解析式求出函数的定义域,令tx2+2x+8,则ylnt

21、;由复合函数单调性的判定方法分析可得:若函数f(x)为减函数,则tx2+2x+8为减函数,由二次函数的性质分析tx2+2x+8的递减区间,即可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)ln(x+2)+ln(4x),有,解可得2x4,则f(x)ln(x+2)+ln(4x)ln(x2+2x+8),令tx2+2x+8,2x4,则t0,则ylnt,为增函数,若函数f(x)ln(x+2)+ln(4x)ln(x2+2x+8)为减函数,则tx2+2x+8为减函数,其对称轴为x1,则其递减区间为1,4);则函数函数f(x)ln(x+2)+ln(4x)的单调递减区间是1,4);故答案为:1,4)【点评】本题考查复

22、合函数的单调性,注意函数的定义域,属于基础题16(5分)如图,正方形ABCD边长为2,点M在线段DC上从点D运动到点C,若将ADM沿AM折起,使得平面ADM平面ABC,则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为【分析】过D'作AM的垂线,垂足为O,运用面面垂直的性质定理和平面几何圆的定义和弧长公式,计算可得所求值【解答】解:过D'作AM的垂线,垂足为O,由平面AD'M平面ABC,可得D'O平面ABC,可得DOOA,可得O在以AD为直径,的圆弧上运动,可得点D'在平面ABC内射影O所形成轨迹的长度为2故答案为:【点评】本题考查空间面面垂直的性质定理的运用,

23、以及平面几何圆的定义,考查运算能力,属于中档题三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知直线l1:3x+(m+1)y60,l2:mx+2y(m+2)0,分别求满足下列条件的m的值(1)l1l2; (2)l1l2【分析】(1)根据两直线垂直的关系可得3m+2(m+1)0,解得即可,(2)根据两直线平行的关系可得32m(m1)0,解得并需要验证【解答】解:(1)若l1l2,则3m+2(m+1)0,解得m,(2)若l1l2,则32m(m1)0,解得m3或m2,当m3时,l1l2,当m2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去,故m3【点评】本题考查两直

24、线平行的性质,两直线垂直的性质,体现了分类讨论的数学思想,注意考虑斜率不存在的情况18(12分)已知ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y10,ABC的平分线BH所在直线方程为yx求:(1)顶点B的坐标;(2)直线BC的方程【分析】(1)设出B的坐标,代入直线CM,求出m的值,从而求出B的坐标即可;(2)设出A的对称点,表示出AB的方程,即BC的方程,整理即可【解答】解:(1)由题意可知,点B在角平分线yx上,可设点B的坐标是(m,m),则AB的中点(,)在直线CM上,+210,解得:m1,故点B(1,1);(2)设A关于yx的对称点为A(x0,y0),则由,解得

25、:,直线AB的方程为:,直线AB的方程即直线BC的方程,整理得BC的方程是:2x3y10【点评】本题考查了求直线方程问题,考查对称问题以及转化思想,是一道常规题19(12分)如图,直线PA垂直圆O所在的平面,AB为圆O的直径,PAAB,C是圆O上除A、B外一动点,点M、N分别是线段PB、PC的中点(1)求证:ANMN;(2)证明:异面直线PA与CM所成角为定值,并求其所成角的大小【分析】(1)推导出PABC,ACBC,BC平面PAC,求出BCAN,MNBC,由此能证明ANMN(2)连结OM,在ABC中,M,O分别是PB,AB的中点,从而OMPA,进而OM平面ABC,OMOC,由此能证明异面直线

26、PA与CM所成角为定值,其所成角的大小为45【解答】证明:(1)PA圆O所在的平面,点B、C在圆O上,PABC,AB是圆O的直径,C是圆O上除A,B外一动点,ACBC,PAACA,BC平面PAC,AN平面PAC,BCAN,在PBC中,M,N分别是线段PB,PC的中点,MNBC,ANMN(2)连结OM,在ABC中,M,O分别是PB,AB的中点,OMPA,且OMPA,由题知PA圆O所在的平面ABC,OM平面ABC,OC平面ABC,OMOC,又OMOC,OCM为等腰三角形,即OM与MC所成角为45,OMPA,异面直线PA与CM所成角为定值,其所成角的大小为45【点评】本题考查线线垂直的证明,考查异面

27、直线所成角为定值的证明及其大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题20(12分)已知函数f(x)lg,其中a为常数,(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;(2)设函数f(x)的定义域为,若2,5I,求实数a的取值范围【分析】(1)根据题意,由奇函数的定义可得f(x)+f(x)lg+lglg0,解可得a的值,验证即可得答案;(2)根据题意,分析可得在区间2,5上,0恒成立,进而可得ax30在2,5上恒成立;设g(x)ax3,分析可得,接可得a的取值范围,即可得答案【解答】解:(1)根据题意,函数f(x)lg,则f(x)+f(x)

28、lg+lglg0,即1,分析可得a21,即a1,当a1时,f(x)lg,符合题意;当a1时,f(x)lg,无意义,不符合题意;故a1;(2)若2,5I,则在区间2,5上,0恒成立;又由x+30在2,5上恒成立,则ax30在2,5上恒成立;设g(x)ax3,则有,解可得:a;即a的取值范围为(,+)【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及对数函数的性质,属于综合题21(12分)如图所示,四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形,PA平面ABCD,E,F分别为CD,PB的中点,AP2,AE(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:平面AEF平面PAB;(3)求二面角PAEF的大小【分析】(1)取

29、PA的中点M,连结FM,DM,推导出四边形DEFM为平行四边形,EFDM,由此能证明EF平面PAD(2)推导出AEDE,AEAB,PAAE,从而AE平面PAB,由此能证明平面AEF平面PAB(3)由AE平面PAB,得AEPA,AEAF,从而PAF是二面角PAEF的平面角,由此能求出二面角PAEF的大小【解答】证明:(1)取PA的中点M,连结FM,DM,F,M分别是PB,PA的中点,FMAB,且FM,又点E是CD的中点,四边形ABCD为菱形,DEAB,且DE,FMDE,且FMDE,四边形DEFM为平行四边形,EFDM,EF平面PAD,DM平面PAD,EF平面PAD(2)底面ABCD是边长为2的菱

30、形,AE,AE2+DE2AD2,AEDE,DEAB,AEAB,PA平面ABCD,AE平面ABCD,PAAE,ABPAA,AE平面PAB,AE平面AEF,平面AEF平面PAB解:(3)由(2)可知:AE平面PAB,AEPA,AEAF,AE为二面角PAEF的棱,AF平面AEF,PA平面PAE,PAF是二面角PAEF的平面角,在RtPAB中,ABAP2,且F为PB的中点,PAF45,二面角PAEF的大小为45【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题22(12分)已知圆C:x2+(

31、y1)2r2(r为半径),圆C被x轴截得弦长为2,直线l:yx+m(mR),O为坐标原点(1)求圆的方程;(2)若m2,过直线l上一点P作圆C的切线PQ,Q为切点,求切线长|PQ|最短时,点P的坐标;(3)若直线l与圆C相交于M、N两点,且OMON,求实数m的值【分析】(1)由题意可知,圆心C在y轴上,OCx轴,设x轴与圆C交于A,B,可得|OA|,|OC|1,|AC|r,由勾股定理求解r,则圆的方程可求;(2)当m2时,直线l的方程为yx2,当|PC|最小时,切线长|PQ|最短,显然当PCl时,|PC|最小,求出直线PC的方程,联立两直线方程可得P的坐标;(3)设M(x1,y1),N(x2,

32、y2),由题意可得:x10,x20,联立直线方程与圆的方程利用根与系数的关系结合OMON可得m值【解答】解:(1)由题意可知,圆心C在y轴上,OCx轴,设x轴与圆C交于A,B,|OA|,|OC|1,|AC|r,AOC为直角三角形,|OA|2+|OC|2|AC|2,即,r圆C的方程为x2+(y1)23;(2)当m2时,直线l的方程为yx2,PQC为直角三角形,|PQ|2|PC|2|QC|2|PC|23当|PC|最小时,切线长|PQ|最短,显然当PCl时,|PC|最小,kPC1,C(0,1),直线PC:y11(x0),即yx+1由,解得,即P();(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可得:x10,x20,联立,得2x2+2(m1)x+m22m204(m1)28(m22m2)0OMON,即x1x2+y1y20,即整理得:m2m20,解得m1或m2经检验满足0,m1或m2【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查了数学转化思想方法,考查计算能力,是中档题