1、2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答卷纸相应位置上）1（5分）设集合A1，2，3，B2，3，4，则AB 2（5分）函数y的定义域为 3（5分）函数f（x），则f（21）的值为 4（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x0时，f（x）x+1，则f（2） 5（5分）已知幂函数yf（x）的图象过点（2，），则f（9） 6（5分）计算64的结果是 7（5分）化简式子（m0，n0）的结果是 8（5分）设alog37，b21.1，c0.81.1，则a，b，c三者的大小关系是 （用“”连接）9（5分）已知函
2、数f（x）x+，x5，1，那么函数f（x）的最大值是 10（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则不等式fg（x）gf（2）的解为 11（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）2x，设h（x）af（x）+g（2x），若h（1）2，则实数a的值是 12（5分）已知函数y2|x|的定义域是m，n（其中m，n为正整数），值域为1，4则满足条件的整数对（m，n）共有 对13（5分）如图，已知过原点O的直线与函数ylog16x的图象交于AB两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数ylog2x交于C，D两点，则当BCx轴时，A点的坐标是 14（5分）已知
3、aR，函数f（x）|x22x+5a|+a在区间0，2上的最大值是5，则a的取值范围是 二、解答题（本大題共6小题，共计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15设全集UR，集合Ax|x2，Bx|x22x30（1）求AB，U（AB）（2）设集合Cx|2xa0，已知ACC，求实数a的取值范围16（1）计算：5lglg+ln；（2）已知a+a3（aR），求的值17已知函数f（x）loga（x+4），g（x）loga（4x），其中a0且a1，设函数h（x）f（x）g（x）（1）当h（2）2时，求实数a的值；（2）当h（x）的图象位于x轴上方时，求x的取值
4、范围18如图，有一块直角梯形绿地ABCD，计划修建一条比值的道路EF（不计道路的宽度，点E和F分别在四边形的边AD和BC上）EF将绿地分成成两部分，且右边部分的面积是左边部分的面积的3倍，已知ADDC120米，BC200米，BCD90设AEx米，EFy米（1）当点F与点B重合时，试确定点E的位置；（2）求y的取值范围19已知函数f（x）（1）求证：f（x）在区间（，+）上为单调减函数；（2）已知关于x的不等式f（kx2）f（12x）0在区间1，2内有解，求实数k的取值范围20已知函数f（x）mx2+2x+1（mR），g（x）kx2k（kR）（1）已知函数f（x）在区间（1，+）上为单调增函数，
5、求m的取值范围（2）当m时，已知对任意的x10，3，总存在x20，3，使f（x1）g（x2）成立，求k的取值范围（3）已知对任意xR，ff（x）0恒成立，求m的取值范围2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答卷纸相应位置上）1（5分）设集合A1，2，3，B2，3，4，则AB1，2，3，4【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合A1，2，3，B2，3，4，AB1，2，3，4故答案为：1，2，3，4【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是
6、基础题2（5分）函数y的定义域为，+）【分析】根据函数成立的条件进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则2x10，得x，即函数的定义域为，+），故答案为：，+）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键3（5分）函数f（x），则f（21）的值为2【分析】推导出f（21）log525，由此能求出结果【解答】解：函数f（x），f（21）log5252故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x0时，f（x）x+1，则f（2）3【分析】根据函数的奇偶性进行
7、转化求解即可【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x0时，f（x）x+1，f（2）f（2）（2+1）3，故答案为：3【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键5（5分）已知幂函数yf（x）的图象过点（2，），则f（9）3【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令yf（x）xa，由于图象过点（2，），得 2a，ayf（x）f（9）3故答案为：3【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值6（5分）
8、计算64的结果是【分析】根据指数幂的运算性质即可求出【解答】解：64441，故答案为：【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题7（5分）化简式子（m0，n0）的结果是mn【分析】根据根式的性质化简即可【解答】解：m0，n0|nm|mn，故答案为：mn【点评】本题考查了根式的化简，属于基础题8（5分）设alog37，b21.1，c0.81.1，则a，b，c三者的大小关系是cab（用“”连接）【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解：1alog372，b21.1212，c0.81.10.801，cab故答案为：cab【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的
9、单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）已知函数f（x）x+，x5，1，那么函数f（x）的最大值是4【分析】直接利用对勾函数的单调性进行求解即可【解答】解：根据对勾函数的单调性可知，f（x）x+，在x5，2上单调递增，在2，1上单调递减，当x2时，函数有最大值f（2）4，故答案为：4【点评】本题主要考查了对勾函数的单调性在求解最值中的应用，属于基础试题10（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则不等式fg（x）gf（2）的解为x2x123f（x）131x123g（x）321【分析】结合表格求出gf（2）1，得到g（x）2，从而求出对应的x的值即可【解
10、答】解：结合表格f（2）3，g（3）1，故fg（x）gf（2），即fg（x）1，故g（x）2，故x2，故答案为：x2【点评】本题考查了函数求值问题，考查对应思想，转化思想，是一道常规题11（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）2x，设h（x）af（x）+g（2x），若h（1）2，则实数a的值是【分析】先利用奇偶性根据已知方程，构造一个方程，联立方程组解出f（x）和g（x），从而求出h（x），再由h（1）2解得a【解答】解：依题意f（x）f（x），g（x）g（x），f（x）+g（x）2x，f（x）+g（x）2x又f（x）+g（x）2x，联立得f（x）
11、，g（x），h（x）a+，h（1）a+2，解得a，故答案为：a【点评】本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题12（5分）已知函数y2|x|的定义域是m，n（其中m，n为正整数），值域为1，4则满足条件的整数对（m，n）共有3对【分析】根据201，224，从而得出m，n2，2，或1，2，或0，2，或2，0，或2，1，从而得出满足条件的整数对（m，n），进而得出整数对（m，n）共5对【解答】解：201，224；m，n2，2，或1，2，或2，1；整数对（m，n）为（2，2），（1，2），或（2，1）共3对故答案为：3【点评】考查函数定义域、值域的定义及求法13（5分）如图，已知过原点O的直线与函数
12、ylog16x的图象交于AB两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数ylog2x交于C，D两点，则当BCx轴时，A点的坐标是（2，）【分析】设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，根据OC、OD的斜率相等，利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标【解答】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知，x11，x21则点A、B纵坐标分别为log16x1，log16x2，因为A、B在过点O的直线上，所以 ，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）由于BC平行于x轴，可知，lo
13、g2x1log16x2，即得log2x1log2x2，x2代入x2log16x1x1log16x2，得x14log16x14x1log16x1由于x11知log16x10，x144x1考虑x11，解得x1于是点A的坐标为（ ，log16），即A（ ，），故答案为：（ ，）【点评】本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力属于中档题14（5分）已知aR，函数f（x）|x22x+5a|+a在区间0，2上的最大值是5，则a的取值范围是（，【分析】通过转化可知|（x1）2+4a|5a，所以a5，进而解绝对值不等式可知2a9x1）21，由x的范围
14、，求得（x1）2的范围，由恒成立思想进而计算可得结论【解答】解：由题可知函数f（x）|x22x+5a|+a在区间0，2上的最大值是5，即|（x1）2+4a|5a，所以a5，又因为|（x1）2+4a|5a，所以a5（x1）2+4a5a，所以2a9（x1）21，又因为0x2，1x11，可得0（x1）21，所以2a90，解得a，故答案为：（，【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题二、解答题（本大題共6小题，共计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15设全集UR，集合Ax|x2，Bx|x22x30
15、（1）求AB，U（AB）（2）设集合Cx|2xa0，已知ACC，求实数a的取值范围【分析】（1）由二次不等式x22x30，解不等式得：1x3，即集合B1，3，又A2，+），所以AB2，3，U（AB）（，2）（3，+），（2）由2xa0，解一次不等式得x，即C（，又ACC，所以AC，所以，即a4，【解答】解：（1）由x22x30，解不等式得：1x3，即集合B1，3，又A2，+），所以AB2，3，U（AB）（，2）（3，+），故AB2，3，U（AB）（，2）（3，+），（2）由2xa0，所以x，即C（，又ACC，所以AC，所以，即a4，故实数a的取值范围为：a4【点评】本题考查了集合的交、并、补运
16、算、集合间的包含关系及二次不等式的解法，属简单题16（1）计算：5lglg+ln；（2）已知a+a3（aR），求的值【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）把已知等式两边平方求得a+a1，进一步平方求得a2+a2，代入要求得式子求值【解答】解：（1）5lglg+ln22；（2）由a+a3，得，a2+a2（a+a1）2247【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，考查对数的运算性质，是基础的计算题17已知函数f（x）loga（x+4），g（x）loga（4x），其中a0且a1，设函数h（x）f（x）g（x）（1）当h（2）2时，求实数a的值；（2）当h（x）的图象位于x轴上方时，求x的
17、取值范围【分析】（1）h（2）2代入h（x）f（x）g（x）计算，（2）h（x）的图象位于x轴上方时即h（x）0，转换为解对数不等式，对其底数a讨论利用其单调性求得【解答】解：（1）h（2）loga6loga2loga32a（2）h（x）的图象位于x轴上方h（x）0，loga（x+4）loga（4x）0 即loga（x+4）loga（4x） 当a1时，解得0x4 当 0a1时解得4x0【点评】本题主要考察对数函数单调性性质的知识点，利用分类讨论的思想方法18如图，有一块直角梯形绿地ABCD，计划修建一条比值的道路EF（不计道路的宽度，点E和F分别在四边形的边AD和BC上）EF将绿地分成成两部分
18、，且右边部分的面积是左边部分的面积的3倍，已知ADDC120米，BC200米，BCD90设AEx米，EFy米（1）当点F与点B重合时，试确定点E的位置；（2）求y的取值范围【分析】（1）根据梯形的面积公式求出ABCD的面积，再根据SABESABCDx120，即可求出；（2）先根据，面积表示出BF80x，（0x80），再根据勾股定理可得y，即可求出【解答】解：（1）SABCD（AD+BC）CD19200，点F与点B重合时，SABESABCD4800，又因为SABEx12060x4800，解得x80米，答：点E在距A点80米处；（2）SABEF（AE+BF）CD60（x+BF），又因为SABEFS
19、ABCD4800，所以BF80x，（0x80），过点E做EGBC交BC与点G，可得y，由0x80，所以120y200，答：y的取值范围为120，200【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用及函数的性质应用，属于中档题19已知函数f（x）（1）求证：f（x）在区间（，+）上为单调减函数；（2）已知关于x的不等式f（kx2）f（12x）0在区间1，2内有解，求实数k的取值范围【分析】（1）根据题意，设x1x2，由作差法分析可得f（x1）f（x2）0，结合函数单调性的定义分析可得答案；（2）根据题意，结合函数的单调性可得f（kx2）f（12x）0f（kx2）f（12x）kx212x，进而可得不等式
20、k在区间1，2上有解，设t，利用换元法分析在区间1，2上的最大值，分析可得答案【解答】解：（1）证明：设x1x2，则f（x1）f（x2）；又由（）0，（+1）0，（+1）0，则f（x1）f（x2）0，则函数f（x）为减函数；（2）根据题意，f（x）在区间（，+）上为单调减函数，则f（kx2）f（12x）0f（kx2）f（12x）kx212x，不等式f（kx2）f（12x）0在区间1，2内有解，则不等式kx212x在1，2内有解，即k在区间1，2上有解，设t，则t，1，则kt22t（t1）21，若不等式有解，必有k；即k的取值范围为（，）【点评】本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，（2）中转
21、化为函数的最值问题20已知函数f（x）mx2+2x+1（mR），g（x）kx2k（kR）（1）已知函数f（x）在区间（1，+）上为单调增函数，求m的取值范围（2）当m时，已知对任意的x10，3，总存在x20，3，使f（x1）g（x2）成立，求k的取值范围（3）已知对任意xR，ff（x）0恒成立，求m的取值范围【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，由二次函数的单调性可得m的范围；（2）由二次函数的最值求法，可得f（x）的值域，由题意可得g（x）在0，3的值域包含f（x）的值域，分别讨论k的符号，由一次函数的单调性和集合的包含关系，解不等式可得k的范围；（3）讨论m0，m0，m0，结合二次函数的图
22、象和最值，以及单调性，即可得到所求范围【解答】解：（1）函数f（x）mx2+2x+1，当m0时，f（x）2x+1递增，显然成立；当m0时，函数的对称轴为x，由题意可得m0，且1，解得0m1，综上可得m的范围是0，1；（2）当m时，f（x）x2+2x+1（x2）2+3，由x0，3，可得f（x）的最大值为f（2）3，最小值为f（0）1，即有f（x）的值域为1，3；对任意的x10，3，总存在x20，3，使f（x1）g（x2）成立，可得g（x）的值域包含1，3，当k0，g（x）kx2k在0，3递增，可得g（x）的值域为2k，k，由2k13k，解得k3；当k0，g（x）kx2k在0，3递减，可得g（x）
23、的值域为k，2k，由k132k，解得k；当k0时，g（x）2k0，不符题意综上可得k的范围是（，3，+）；（3）m0时，f（x）2x+1，可得ff（x）4x+3，不符题意；当m0，令tf（x），t（，1，即有f（t）0在（，1恒成立，由函数的图象开口向下，必然有x轴下方的图象，故不符题意；当m0时，令tf（x），t1，+），即有f（t）0在1，+）恒成立，由于对称轴1，可得f（t）在1，+）递增，可得f（t）的最小值为f（1）m（1）2+2（1）+1，由f（1）0，解得m综上可得m的范围为，+）【点评】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想方法，注意一次函数和二次函数的图象和性质的运用，考查化简运算能力，属于难题
