1、2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）若角m360+60，k360+120，（m，kZ），则角与的终边的位置关系是（）A重合B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称2（5分）已知角的终边经过点P（3，4），则的正切值为（）ABCD3（5分）sin162cos78+cos162sin78化简得（）ABCD4（5分）在ABC中，已知a1，A60，则角C的度数为（）A30B60C30或150D60或1205（5分）已知直线a，b，c和平面，下列命题中正确的是（）A若ab，b，则aB若
2、ab，ca，则cbC若b，c，ab，ac，则aD若ac，bc，则ab6（5分）已知扇形的半径为6，圆心角为60，则该扇形的面积为（）A2BC6D37（5分）将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（）ABCD8（5分）在ABC中，已知，则此三角形的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D不能确定9（5分）若，则的值为（）ABCD10（5分）已知函数，给出下列四个结论：函数f（x）的最小正周期为；函数f（x）图象关于直线对称；函数f（x）图象关于点对称；函数f（x）在上是单调增函数其中正确结论的个
3、数是（）A1B2C3D411（5分）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（）A80B240C320D64012（5分）在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABC是边长为6的等边三角形，PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A64B48C36D27二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角的大小为 14（5分）如图，四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PA平面AB
4、CD，PA2，E是PB的中点，则三棱锥PAEC的体积为 15（5分）2cos40（1+tan10） 16（5分）在ABC中，已知，角A的平分线交边BC于点D，ABC的面积为，则AD的长为 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知，（1）求sin的值；（2）求的值18（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD1，CD1的中点（1）求证：MN平面ABCD；（2）求证：MNBD119（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，且bsin2AasinB（1）求A；（2）若，求c20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，AB2，CD
5、4，APBCBA90，平面PAB平面ABCD（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若M为棱PD上一点，且PB平面MAC，求的值21（12分）已知函数，g（x）sin2x（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若mf（x）g（x）对任意的恒成立，求m的取值范围22（12分）如图，有一个三角形的停车场AOB，其中，两边OA，OB足够长，在OB上的P处安装一个可旋转监控探头，OP20米，探头监控视角EPF始终为，（E，F都在OA上，且OFOE），设（1）若，求EPF的面积；（2）当监控探头旋转时，请用表示监控区域EPF的面积S（），并求当为多大时，监控区域的面积S（）取最小值2018-2019学年
6、江苏省南京市六校联合体高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）若角m360+60，k360+120，（m，kZ），则角与的终边的位置关系是（）A重合B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可【解答】解：的终边和60的终边相同，的终边与120终边相同，18012060，角与的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D【点评】本题主要考查角的终边位置关系的判断，结合角的关系是解决本题的关键2（5分）已知角的终边经过点P（3，4），则的正切值为（）ABCD【分析】利用三角函数
7、的定义，写出结果即可得解【解答】解：角的终边经过点P（3，4），由题意可得，x3，y4，可得：tan故选：B【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，是基础题3（5分）sin162cos78+cos162sin78化简得（）ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解：sin162cos78+cos162sin78，sin（162+78），sin240，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型4（5分）在ABC中，已知a1，A60，则角C的度数为（）A30B60C30或150D60或120【分析】由已
8、知及正弦定理可得sinC，利用大边对大角可求C为锐角，由特殊角的三角函数值可求C的值【解答】解：a1，A60，由正弦定理，可得：sinC，ac，C为锐角，C30故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题5（5分）已知直线a，b，c和平面，下列命题中正确的是（）A若ab，b，则aB若ab，ca，则cbC若b，c，ab，ac，则aD若ac，bc，则ab【分析】在A中，a或a；在B中，由线线垂直的判定定理得cb；在C中，a与相交、平行或a；在D中，a与b相交、平行或异面【解答】解：由直线a，b，c和平面，知：在A中，若ab，b，则a或a，故A
9、错误；在B中，若ab，ca，则由线线垂直的判定定理得cb，故B正确；在C中，若b，c，ab，ac，则a与相交、平行或a，故C错误；在D中，若ac，bc，则a与b相交、平行或异面，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6（5分）已知扇形的半径为6，圆心角为60，则该扇形的面积为（）A2BC6D3【分析】已知了扇形的圆心角和半径长，可直接根据扇形的面积公式求解【解答】解：扇形的半径为6cm，圆心角为60，S6故选：C【点评】本题考查了扇形面积的计算此题属于基础题，只要熟记扇形面积公式即可解题7（5分）将函数的图象
10、向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（）ABCD【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】解：函数的图象向右平移个的单位长度，得到：函数ysin（x+）的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为的图象故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8（5分）在ABC中，已知，则此三角形的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角
11、形D不能确定【分析】根据题意，由正弦定理分析可得2cosB，变形可得2cosBsinCsinAsin（B+C），结合三角函数的和差公式可得sinBcosCcosCsinB0，即sin（BC）0，则有BC，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，在ABC中，则有2cosB，变形可得2cosBsinCsinAsin（B+C），则有2cosBsinCsinBcosC+cosCsinB，进而可得：sinBcosCcosCsinB0，即sin（BC）0，则有BC，则此三角形的形状为等腰三角形；故选：B【点评】本题考查三角函数中几何计算，涉及正弦定理以及三角函数的和差公式，属于基础题9（5分）若，则的值为（
12、）ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果【解答】解：已知：，所以：cos（2x）1故：故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的恒等变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型10（5分）已知函数，给出下列四个结论：函数f（x）的最小正周期为；函数f（x）图象关于直线对称；函数f（x）图象关于点对称；函数f（x）在上是单调增函数其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数，给出下列四个结论：函数f（x）的最小正周期为；故正确函数f（x）图象关于直线对称；由于f（）0故错
13、误函数f（x）图象关于点对称；当x时，f（）1故错误函数f（x）在上是单调增函数则：，故正确故选：B【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，单调性周期性和对称性的应有，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型11（5分）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（）A80B240C320D640【分析】由已知求得正棱台的斜高，然后结合公式可求出此棱台的侧面积【解答】解：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，则由等腰梯形的性质，可得斜高h再用棱台侧面积公式，得棱台的侧面积为S侧（34+316）8240故选：B【点评】本题给出正三棱台棱台上
14、下底面边长和侧棱长，求三棱台的侧面积，着重考查了正棱台的侧面积公式，属于基础题12（5分）在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABC是边长为6的等边三角形，PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A64B48C36D27【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB6，得COCFPAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，F为PAB的外心，则O为棱锥PABC的外接球球心，则外接球半径ROC该三棱锥外接球的表面积为4故选：B【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求
15、法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DC的中点，则异面直线AD1与EF所成角的大小为【分析】连接CD1，由E，F分别是DD1，DC的中点，得EFCD1，则AD1C为异面直线AD1与EF所成角，再由三角形AD1C为等边三角形得答案【解答】解：如图，连接CD1，E，F分别是DD1，DC的中点，EFCD1，AD1C为异面直线AD1与EF所成角，连接AC，则AD1C为等边三角形，可得即异面直线AD1与EF所成角的大小为故答案为：【点评】
16、本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题14（5分）如图，四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，PA2，E是PB的中点，则三棱锥PAEC的体积为【分析】推导出BCAB，BCPA，从而BC平面PAB，三棱锥PAEC的体积为VPAECVCPAE，由此能求出结果【解答】解：四棱锥PABCD中，底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，PA2，E是PB的中点，BCAB，BCPA，PAABA，BC平面PAB，SPAE1，三棱锥PAEC的体积为：VPAECVCPAE故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查化归与转化思想，以及推理论证能力和运算求解能力，
17、是中档题15（5分）2cos40（1+tan10）2【分析】化切为弦，把cos40（1+tan10）等价转化为cos40（1+），再由三角函数的和（差）公式把原式等价转化为 2sin40，由此能求出结果【解答】解：2cos40（1+tan10）2cos40（1+）2（cos10+sin10）22sin4022故答案为：2【点评】本题考查三角函数的化简求值，解题时要认真审题，仔细求解，注意三角函数恒等变换的合理运用16（5分）在ABC中，已知，角A的平分线交边BC于点D，ABC的面积为，则AD的长为【分析】设ADx，由SABD+SACDSABC，运用三角形的面积公式可得bc8，（b+c）x8，再
18、由余弦定理，解方程可得b+c，即可得到所求值【解答】解：设ADx，由SABD+SACDSABC，即为cxsin+bxsinbcsin2，可得（b+c）x8，bc8，由a2b2+c22bccos（b+c）23bc，即为12（b+c）224，可得b+c6，可得x故答案为：【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知，（1）求sin的值；（2）求的值【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果（2）利用关系式的变换的应用求出结果【解答】解：（1），sin2+cos21，5sin21，（2），【点评】
19、本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题18（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD1，CD1的中点（1）求证：MN平面ABCD；（2）求证：MNBD1【分析】（1）连结AC，由M，N分别是AD1，CD1的中点，得MNAC，再由线面平行的判定可得MN面ABCD；（2）由DD1平面ABCD，得ACDD1，再由ABCD为正方形，得ACBD，由线面垂直的判定可得AC面BD1，进一步得到ACBD1，从而得到MNBD1【解答】证明：（1）连结AC，M，N分别是AD1，CD1的中点，MNAC，MN面ABCD，AC面ABCD，MN
20、面ABCD；（2）DD1平面ABCD，AC面ABCD，ACDD1，正方形ABCD，ACBD，又BDDD1D，AC面BD1，BD1面BD1，ACBD1，又MNAC，MNBD1【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，是中档题19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，且bsin2AasinB（1）求A；（2）若，求c【分析】（1）由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBsinAcosAsinAcosB，结合sinAsinB0，可求，即可得解A的值（2）由正弦定理可求BA，利用同角三角函数基本关系
21、式可求cosB的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，由正弦定理即可得解c的值【解答】解：（1）bsin2AasinB，2sinBsinAcosAsinAcosB，sinAsinB0，（2）sinBsinA，BA，A+B+C，由正弦定理：【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，AB2，CD4，APBCBA90，平面PAB平面ABCD（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若M为棱PD上一点，且PB平面MAC，求的值【分析】（1）利用
22、面面垂直的性质可证BC面PAB，又APBC，APPB，BCPBB，利用线面垂直的判定定理可证AP面PBC，利用面面垂直是判定定理可证面APC面PBC（2）连结BD交AC于O，连结OM，利用线面平行的性质可证PBOM，可得，又ABCD，可求，即可得解【解答】解：（1）证明：平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BCAB，BC平面ABCD，BC面PAB，AP面PAB，APBC，APPB，BCPBB，AP面PBC，AP面APC，面APC面PBC（2）连结BD交AC于O，连结OM，PB面MAC，PB面PBD，面PBD面MACOM，PBOM，又ABCD，【点评】本题主要考查了面面垂直的判定
23、和性质，线面平行的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题21（12分）已知函数，g（x）sin2x（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若mf（x）g（x）对任意的恒成立，求m的取值范围【分析】（1）根据题意，由三角函数的恒等变形公式可得f（x）的解析式，进而结合三角函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，m（sinx+cosx）sin2x变形可得，令，用换元法分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，函数2sincos2sin2+1sinx+cosxsin（x+），故，单调增区间：，（2）根据题意，若m（sinx+cosx）sin2x，又由，则sinx+cosx0
24、，变形可得，令，则，又在单调增，则t0，则必有m0，即m的取值范围为m|m0【点评】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数的最值，关键是掌握三角函数恒等变形的公式22（12分）如图，有一个三角形的停车场AOB，其中，两边OA，OB足够长，在OB上的P处安装一个可旋转监控探头，OP20米，探头监控视角EPF始终为，（E，F都在OA上，且OFOE），设（1）若，求EPF的面积；（2）当监控探头旋转时，请用表示监控区域EPF的面积S（），并求当为多大时，监控区域的面积S（）取最小值【分析】（1）直接利用三角形的面积公式的应用求出结果（2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：（1），EPF为等腰直角三角形，（2）OEP中，OFP中，当时，监控区域的面积取最小值【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型
