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2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分请把答案填写在答题卡相应位置上1(5分)若角m360+60,k360+120,(m,kZ),则角与的终边的位置关系是()A重合B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称2(5分)已知角的终边经过点P(3,4),则的正切值为()ABCD3(5分)sin162cos78+cos162sin78化简得()ABCD4(5分)在ABC中,已知a1,A60,则角C的度数为()A30B60C30或150D60或1205(5分)已知直线a,b,c和平面,下列命题中正确的是()A若ab,b,则aB若

2、ab,ca,则cbC若b,c,ab,ac,则aD若ac,bc,则ab6(5分)已知扇形的半径为6,圆心角为60,则该扇形的面积为()A2BC6D37(5分)将函数的图象向右平移个的单位长度,再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的函数解析式为()ABCD8(5分)在ABC中,已知,则此三角形的形状为()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D不能确定9(5分)若,则的值为()ABCD10(5分)已知函数,给出下列四个结论:函数f(x)的最小正周期为;函数f(x)图象关于直线对称;函数f(x)图象关于点对称;函数f(x)在上是单调增函数其中正确结论的个

3、数是()A1B2C3D411(5分)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为()A80B240C320D64012(5分)在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,ABC是边长为6的等边三角形,PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为()A64B48C36D27二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DC的中点,则异面直线AD1与EF所成角的大小为 14(5分)如图,四棱锥PABCD中,底面是边长为2的正方形,PA平面AB

4、CD,PA2,E是PB的中点,则三棱锥PAEC的体积为 15(5分)2cos40(1+tan10) 16(5分)在ABC中,已知,角A的平分线交边BC于点D,ABC的面积为,则AD的长为 三、解答题(共6小题,满分70分)17(10分)已知,(1)求sin的值;(2)求的值18(12分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AD1,CD1的中点(1)求证:MN平面ABCD;(2)求证:MNBD119(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a3,且bsin2AasinB(1)求A;(2)若,求c20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,AB2,CD

5、4,APBCBA90,平面PAB平面ABCD(1)求证:平面PAC平面PBC;(2)若M为棱PD上一点,且PB平面MAC,求的值21(12分)已知函数,g(x)sin2x(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若mf(x)g(x)对任意的恒成立,求m的取值范围22(12分)如图,有一个三角形的停车场AOB,其中,两边OA,OB足够长,在OB上的P处安装一个可旋转监控探头,OP20米,探头监控视角EPF始终为,(E,F都在OA上,且OFOE),设(1)若,求EPF的面积;(2)当监控探头旋转时,请用表示监控区域EPF的面积S(),并求当为多大时,监控区域的面积S()取最小值2018-2019学年

6、江苏省南京市六校联合体高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分请把答案填写在答题卡相应位置上1(5分)若角m360+60,k360+120,(m,kZ),则角与的终边的位置关系是()A重合B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可【解答】解:的终边和60的终边相同,的终边与120终边相同,18012060,角与的终边的位置关系是关于y轴对称,故选:D【点评】本题主要考查角的终边位置关系的判断,结合角的关系是解决本题的关键2(5分)已知角的终边经过点P(3,4),则的正切值为()ABCD【分析】利用三角函数

7、的定义,写出结果即可得解【解答】解:角的终边经过点P(3,4),由题意可得,x3,y4,可得:tan故选:B【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用,是基础题3(5分)sin162cos78+cos162sin78化简得()ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果【解答】解:sin162cos78+cos162sin78,sin(162+78),sin240,故选:C【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型4(5分)在ABC中,已知a1,A60,则角C的度数为()A30B60C30或150D60或120【分析】由已

8、知及正弦定理可得sinC,利用大边对大角可求C为锐角,由特殊角的三角函数值可求C的值【解答】解:a1,A60,由正弦定理,可得:sinC,ac,C为锐角,C30故选:A【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,特殊角的三角函数值在解三角形中的应用,属于基础题5(5分)已知直线a,b,c和平面,下列命题中正确的是()A若ab,b,则aB若ab,ca,则cbC若b,c,ab,ac,则aD若ac,bc,则ab【分析】在A中,a或a;在B中,由线线垂直的判定定理得cb;在C中,a与相交、平行或a;在D中,a与b相交、平行或异面【解答】解:由直线a,b,c和平面,知:在A中,若ab,b,则a或a,故A

9、错误;在B中,若ab,ca,则由线线垂直的判定定理得cb,故B正确;在C中,若b,c,ab,ac,则a与相交、平行或a,故C错误;在D中,若ac,bc,则a与b相交、平行或异面,故D错误故选:B【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题6(5分)已知扇形的半径为6,圆心角为60,则该扇形的面积为()A2BC6D3【分析】已知了扇形的圆心角和半径长,可直接根据扇形的面积公式求解【解答】解:扇形的半径为6cm,圆心角为60,S6故选:C【点评】本题考查了扇形面积的计算此题属于基础题,只要熟记扇形面积公式即可解题7(5分)将函数的图象

10、向右平移个的单位长度,再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的函数解析式为()ABCD【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】解:函数的图象向右平移个的单位长度,得到:函数ysin(x+)的图象,再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的函数解析式为的图象故选:B【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型8(5分)在ABC中,已知,则此三角形的形状为()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角

11、形D不能确定【分析】根据题意,由正弦定理分析可得2cosB,变形可得2cosBsinCsinAsin(B+C),结合三角函数的和差公式可得sinBcosCcosCsinB0,即sin(BC)0,则有BC,据此分析可得答案【解答】解:根据题意,在ABC中,则有2cosB,变形可得2cosBsinCsinAsin(B+C),则有2cosBsinCsinBcosC+cosCsinB,进而可得:sinBcosCcosCsinB0,即sin(BC)0,则有BC,则此三角形的形状为等腰三角形;故选:B【点评】本题考查三角函数中几何计算,涉及正弦定理以及三角函数的和差公式,属于基础题9(5分)若,则的值为(

12、)ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果【解答】解:已知:,所以:cos(2x)1故:故选:C【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,角的恒等变换的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型10(5分)已知函数,给出下列四个结论:函数f(x)的最小正周期为;函数f(x)图象关于直线对称;函数f(x)图象关于点对称;函数f(x)在上是单调增函数其中正确结论的个数是()A1B2C3D4【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解:函数,给出下列四个结论:函数f(x)的最小正周期为;故正确函数f(x)图象关于直线对称;由于f()0故错

13、误函数f(x)图象关于点对称;当x时,f()1故错误函数f(x)在上是单调增函数则:,故正确故选:B【点评】本题考查的知识要点:正弦型函数性质的应用,单调性周期性和对称性的应有,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型11(5分)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为()A80B240C320D640【分析】由已知求得正棱台的斜高,然后结合公式可求出此棱台的侧面积【解答】解:作出一个侧面等腰梯形的高,也是棱台的斜高,则由等腰梯形的性质,可得斜高h再用棱台侧面积公式,得棱台的侧面积为S侧(34+316)8240故选:B【点评】本题给出正三棱台棱台上

14、下底面边长和侧棱长,求三棱台的侧面积,着重考查了正棱台的侧面积公式,属于基础题12(5分)在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,ABC是边长为6的等边三角形,PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为()A64B48C36D27【分析】由题意画出图形,由已知求出三棱锥外接球的半径,代入表面积公式得答案【解答】解:如图,在等边三角形ABC中,取AB中点F,设其中心为O,由AB6,得COCFPAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,F为PAB的外心,则O为棱锥PABC的外接球球心,则外接球半径ROC该三棱锥外接球的表面积为4故选:B【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求

15、法,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DC的中点,则异面直线AD1与EF所成角的大小为【分析】连接CD1,由E,F分别是DD1,DC的中点,得EFCD1,则AD1C为异面直线AD1与EF所成角,再由三角形AD1C为等边三角形得答案【解答】解:如图,连接CD1,E,F分别是DD1,DC的中点,EFCD1,AD1C为异面直线AD1与EF所成角,连接AC,则AD1C为等边三角形,可得即异面直线AD1与EF所成角的大小为故答案为:【点评】

16、本题考查异面直线所成角的求法,考查数学转化思想方法,是基础题14(5分)如图,四棱锥PABCD中,底面是边长为2的正方形,PA平面ABCD,PA2,E是PB的中点,则三棱锥PAEC的体积为【分析】推导出BCAB,BCPA,从而BC平面PAB,三棱锥PAEC的体积为VPAECVCPAE,由此能求出结果【解答】解:四棱锥PABCD中,底面是边长为2的正方形,PA平面ABCD,PA2,E是PB的中点,BCAB,BCPA,PAABA,BC平面PAB,SPAE1,三棱锥PAEC的体积为:VPAECVCPAE故答案为:【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查化归与转化思想,以及推理论证能力和运算求解能力,

17、是中档题15(5分)2cos40(1+tan10)2【分析】化切为弦,把cos40(1+tan10)等价转化为cos40(1+),再由三角函数的和(差)公式把原式等价转化为 2sin40,由此能求出结果【解答】解:2cos40(1+tan10)2cos40(1+)2(cos10+sin10)22sin4022故答案为:2【点评】本题考查三角函数的化简求值,解题时要认真审题,仔细求解,注意三角函数恒等变换的合理运用16(5分)在ABC中,已知,角A的平分线交边BC于点D,ABC的面积为,则AD的长为【分析】设ADx,由SABD+SACDSABC,运用三角形的面积公式可得bc8,(b+c)x8,再

18、由余弦定理,解方程可得b+c,即可得到所求值【解答】解:设ADx,由SABD+SACDSABC,即为cxsin+bxsinbcsin2,可得(b+c)x8,bc8,由a2b2+c22bccos(b+c)23bc,即为12(b+c)224,可得b+c6,可得x故答案为:【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题三、解答题(共6小题,满分70分)17(10分)已知,(1)求sin的值;(2)求的值【分析】(1)直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果(2)利用关系式的变换的应用求出结果【解答】解:(1),sin2+cos21,5sin21,(2),【点评】

19、本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题18(12分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AD1,CD1的中点(1)求证:MN平面ABCD;(2)求证:MNBD1【分析】(1)连结AC,由M,N分别是AD1,CD1的中点,得MNAC,再由线面平行的判定可得MN面ABCD;(2)由DD1平面ABCD,得ACDD1,再由ABCD为正方形,得ACBD,由线面垂直的判定可得AC面BD1,进一步得到ACBD1,从而得到MNBD1【解答】证明:(1)连结AC,M,N分别是AD1,CD1的中点,MNAC,MN面ABCD,AC面ABCD,MN

20、面ABCD;(2)DD1平面ABCD,AC面ABCD,ACDD1,正方形ABCD,ACBD,又BDDD1D,AC面BD1,BD1面BD1,ACBD1,又MNAC,MNBD1【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面垂直的判定与性质,考查空间想象能力与思维能力,是中档题19(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a3,且bsin2AasinB(1)求A;(2)若,求c【分析】(1)由正弦定理,二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBsinAcosAsinAcosB,结合sinAsinB0,可求,即可得解A的值(2)由正弦定理可求BA,利用同角三角函数基本关系

21、式可求cosB的值,根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值,由正弦定理即可得解c的值【解答】解:(1)bsin2AasinB,2sinBsinAcosAsinAcosB,sinAsinB0,(2)sinBsinA,BA,A+B+C,由正弦定理:【点评】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式,同角三角函数基本关系式,两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,AB2,CD4,APBCBA90,平面PAB平面ABCD(1)求证:平面PAC平面PBC;(2)若M为棱PD上一点,且PB平面MAC,求的值【分析】(1)利用

22、面面垂直的性质可证BC面PAB,又APBC,APPB,BCPBB,利用线面垂直的判定定理可证AP面PBC,利用面面垂直是判定定理可证面APC面PBC(2)连结BD交AC于O,连结OM,利用线面平行的性质可证PBOM,可得,又ABCD,可求,即可得解【解答】解:(1)证明:平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,BCAB,BC平面ABCD,BC面PAB,AP面PAB,APBC,APPB,BCPBB,AP面PBC,AP面APC,面APC面PBC(2)连结BD交AC于O,连结OM,PB面MAC,PB面PBD,面PBD面MACOM,PBOM,又ABCD,【点评】本题主要考查了面面垂直的判定

23、和性质,线面平行的性质,线面垂直的判定,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题21(12分)已知函数,g(x)sin2x(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若mf(x)g(x)对任意的恒成立,求m的取值范围【分析】(1)根据题意,由三角函数的恒等变形公式可得f(x)的解析式,进而结合三角函数的性质分析可得答案;(2)根据题意,m(sinx+cosx)sin2x变形可得,令,用换元法分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,函数2sincos2sin2+1sinx+cosxsin(x+),故,单调增区间:,(2)根据题意,若m(sinx+cosx)sin2x,又由,则sinx+cosx0

24、,变形可得,令,则,又在单调增,则t0,则必有m0,即m的取值范围为m|m0【点评】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数的最值,关键是掌握三角函数恒等变形的公式22(12分)如图,有一个三角形的停车场AOB,其中,两边OA,OB足够长,在OB上的P处安装一个可旋转监控探头,OP20米,探头监控视角EPF始终为,(E,F都在OA上,且OFOE),设(1)若,求EPF的面积;(2)当监控探头旋转时,请用表示监控区域EPF的面积S(),并求当为多大时,监控区域的面积S()取最小值【分析】(1)直接利用三角形的面积公式的应用求出结果(2)利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解:(1),EPF为等腰直角三角形,(2)OEP中,OFP中,当时,监控区域的面积取最小值【点评】本题考查的知识要点:正弦定理余弦定理和三角形面积的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型