1、2018-2019学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB（）A0B1C1，2D0，1，22（5分）为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A10B12C18D243（5分）一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是（）ABCD4（5分）已知tan2，则sin2+sin23cos2的值为（）AB1CD5（5分
2、）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A4B3C2D6（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B60，b2ac，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形7（5分）直线l1：（3+a）x+4y53a和直线l2：2x+（5+a）y8平行，则a（）A7或1B7C7或1D18（5分）直线l过（1，1）且在x轴与y轴上的截距相等，则l的方程为（）Ayx+2ByxCyx+2和yxDyx+29（5分）ABC中，a1，b，A30，则B等于（）A60B60或120C30或150D12010（5分）如图，在正四棱锥PABCD
3、中，AB2，侧面积为8，则它的体积为（）A4B8C12D1611（5分）在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若2，且+，则（）ABCD12（5分）若圆（x5）2+（y1）2r2上有且仅有两点到直线4x+3y+20的距离等于1，则r的取值范围为（）A4，6B（4，6）C5，7D（5，7）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置上。13（5分）已知，都是锐角，sin，cos（+），则sin 14（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（1，1），若直线xym0上存在点P使得PAPB，则实数m的取值范围是 15（5分）设，为互不
4、重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：若mn，n，则m若m，n，m，n，则若，m，n，则mn若，m，n，nm，则n；其中正确命题的序号为 16（5分）已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数当x0时，f（x），关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且仅有5个不同实数根，则实数a+b的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）某校高一年级有学生480名，对他们进行政治面貌和性别的调查，其结果如下：性别团员群众男x80女180y（1）若随机抽取一人，是团员的概率为，求x，y；（
5、2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1，A1A底面ABC，且ABC为正三角形，AB4，AA12，D为AC中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求二面角C1DBC的大小19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a5，c6，sinB（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+）的值20（12分）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120的公路（长度均超过千
6、米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM千米，AN千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值21（12分）已知圆C：（x4）2+（y1）24，直线l：2mx（3m+1）y+20（1）求直线l所过定点A的坐标；（2）求直线l被圆C所截得的弦长最短时，最短弦长；（3）已知点M（4，5），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标22（10分）已知f（x）+m，m是实常数（1）当m0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给
7、出证明；（2）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x）+f（a）0有解，求a的取值范围2018-2019学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB（）A0B1C1，2D0，1，2【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案【解答】解：Ax|x10x|x1，B0，1，2，ABx|x10，1，21，2故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题2（5分）为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60
8、名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A10B12C18D24【分析】利用分层抽样的性质直接求解【解答】解：为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，从C学校中应抽取的人数为：6010故选：A【点评】本题考查样本中单元数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用3（5分）一枚骰子连续投两次，则两次向上点数均为1的概率是（）ABCD【分析】一枚骰子连续投两次，基本事件总数n6636，两次向上点数均为
9、1包含的基本事件个数m111，由此能求出两次向上点数均为1的概率【解答】解：一枚骰子连续投两次，基本事件总数n6636，两次向上点数均为1包含的基本事件个数m111，则两次向上点数均为1的概率是p故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知tan2，则sin2+sin23cos2的值为（）AB1CD【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果【解答】解：已知tan2，则sin2+sin23cos21故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和
10、转换能力，属于基础题型5（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A4B3C2D【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1212，故选：C【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力6（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B60，b2ac，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出【解答】
11、解：由余弦定理可得：b2a2+c22accosBa2+c2acac，化为（ac）20，解得ac又B60，可得ABC是等边三角形，故选：C【点评】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）直线l1：（3+a）x+4y53a和直线l2：2x+（5+a）y8平行，则a（）A7或1B7C7或1D1【分析】利用直线平行的充要条件：斜率相等、截距不等即可得出【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y53a和直线l2：2x+（5+a）y8平行，解得a7故选：B【点评】本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题8（5分）直线l过（1，1）且在x轴与y轴上的截距相等，则
12、l的方程为（）Ayx+2ByxCyx+2和yxDyx+2【分析】当在x轴上的截距a0时，在y轴上的截距b0，直线l过点（1，1），（0，0），当在x轴上的截距a0时，在y轴上的截距ba，直线l的方程为，再把（1，1）代入，能求出直线l的方程【解答】解：直线l过（1，1）且在x轴与y轴上的截距相等，当在x轴上的截距a0时，在y轴上的截距b0，直线l过点（1，1），（0，0），直线l的方程为，即yx，当在x轴上的截距a0时，在y轴上的截距ba，直线l的方程为，把（1，1）代入，得a不存在综上，直线l的方程为yx故选：B【点评】本题考查直线方程的的求法，考查两点式方程、截距式方程等基础知识，考查运算
13、求解能力，是基础题9（5分）ABC中，a1，b，A30，则B等于（）A60B60或120C30或150D120【分析】由正弦定理可得 ，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小【解答】解：由正弦定理可得 ，sinB又 0B，B 或，故选：B【点评】本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点10（5分）如图，在正四棱锥PABCD中，AB2，侧面积为8，则它的体积为（）A4B8C12D16【分析】作PO平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE2，从而PO1，由此能求出正四棱锥PABCD的体积【解答】解：作PO平面ABCD，取BC中点E
14、，连结OE，PE，正四棱锥PABCD中，AB2，侧面积为8，O是四边形ABCD的中点，E是BC的中点，PEBC，4BCPE8，解得PE2，PO1，正四棱锥PABCD的体积V4故选：A【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11（5分）在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若2，且+，则（）ABCD【分析】通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出【解答】解：（+）+）+（）+，故选：A【点评】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）若圆（x5）2+（y1）2r2
15、上有且仅有两点到直线4x+3y+20的距离等于1，则r的取值范围为（）A4，6B（4，6）C5，7D（5，7）【分析】先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于1，以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件，可得要求的r的范围【解答】解：圆（x5）2+（y1）2r2（r0）的圆心到直线4x+3y+20的距离为：d5，当r4时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，当r6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，圆（x5）2+（y1）2r2上有且仅有两点到直线4x+3y+20的距离等于1时，圆的半径r的取值范围是：4r6，故选：B【点评】本题考查直线和圆的位
16、置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置上。13（5分）已知，都是锐角，sin，cos（+），则sin【分析】由，都是锐角，得出+的范围，由sin和cos（+）的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cos和sin（+）的值，然后把所求式子的角变为（+），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值【解答】解：，都是锐角，+（0，），又sin，cos（+），cos，sin（+），则sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和
17、与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围14（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（1，1），若直线xym0上存在点P使得PAPB，则实数m的取值范围是2，2【分析】根据题意，设出点P（x，xm），代入PAPB，化简得2x22mx+m260，由0，求出实数m的取值范围【解答】解：设P（x，xm），PAPB，|PA|23|PB|2，（3x）2+（3x+m）23（1x）2+3（1x+m）2，化简得2x22mx+m260，则4m242（m26）0，解得2m2，即实数m的取值范围是2，2故答案为：2，2【点评】本题考查直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式
18、的应用问题，考查运算求解能力，是中档题15（5分）设，为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：若mn，n，则m若m，n，m，n，则若，m，n，则mn若，m，n，nm，则n；其中正确命题的序号为【分析】根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，及面面垂直的性质定理，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案【解答】解：当mn，n，则m也可能成立，故错误；当m，n，m，n，m与n相交时，但m与n平行时，与不一定平行，故错误；若，m，n，则m与n可能平行也可能异面，故错误；若，m，n，nm，由面面平行的性质，易得n，故正确故答案为：【点评】本题考查的知识点
19、是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键16（5分）已知函数yf（x）是定义域为R的偶函数当x0时，f（x），关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且仅有5个不同实数根，则实数a+b的取值范围是（，1）【分析】做出f（x）的函数图象，令f（x）t，根据图象得出方程f（x）t的解的情况，得出t的范围，从而得出a+b的范围【解答】解：当x0时，f（x），可得f（x）的最大值为，作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）t，显然，当t0时，方程f（x）t只有一解x0，当1t时，方程f（x）t
20、有四个解，当t1或时，方程f（x）t有两解，当t0或t时，方程f（x）t无解关于x的方程f（x）2+af（x）+b0，a，bR有且仅有5个不同实数根，关于t的方程t2+at+b0，tR有两解，且一解为t10，另一解t2（1，），b0，t2+at0的两解分别为t10，t2a，1a，解得a1可得a+b的范围是（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）某校高一年级有学生480名，对他们进行政治面貌和性别的调查，其结果如
21、下：性别团员群众男x80女180y（1）若随机抽取一人，是团员的概率为，求x，y；（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率【分析】（1）由古典概型和分层抽样的性质列出方程组，能求出x，y的值（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，抽中男生2人，抽中女生3人，在这5名团员中任选2人，基本事件总数n10，两人中至多有1个女生包含的基本事件个数m7，由此能求出两人中至多有1个女生的概率【解答】解：（1）由题意得：，解得x120，y100（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽
22、取一个样本容量为5的样本，抽中男生：52人，抽中女生：53人，在这5名团员中任选2人，基本事件总数n10，两人中至多有1个女生包含的基本事件个数m7，两人中至多有1个女生的概率p【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型和分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1，A1A底面ABC，且ABC为正三角形，AB4，AA12，D为AC中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求二面角C1DBC的大小【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AB1平面BC1D（2）求出平面B
23、C1D的法向量，平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角C1DBC的大小【解答】解：（1）证明：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），D（0，0，0），C1（2，0，2），（2，），（2，0，2），（0，2，0），设平面BC1D的法向量（x，y，z），则，取x，得（，0，1），2+0+20，AB平面BC1D，直线AB1平面BC1D（2）解：平面BDC的法向量（0，0，1），设二面角C1DBC的大小为，则cos，60二面角C1DBC的大小为60【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求
24、法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a5，c6，sinB（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+）的值【分析】（）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案【解答】解：（）在ABC中，ab，故由sinB，可得cosB由已知及余弦定理，有13，b由正弦定理，得sinAb，sinA；（）由（）及ac，得cosA，sin2A2s
25、inAcosA，cos2A12sin2A故sin（2A+）【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题20（12分）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120的公路（长度均超过千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM千米，AN千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值【分析】（1）在AMN中，利用余弦定理得到MN；（2）设PMN，得到PNM120，利用正弦定理将PM+PN用
26、表示，结合三角函数的有界性求最值【解答】解：（1）在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos1203+32（）3，所以线段MN的长度为3千米（2）设PMN，因为MPN60，所以PNM120在PMN中，由正弦定理得，因为，所以PM2sin（120），PN2sin因此PM+PN2sin（120）+2sin2（ cos+sin）+2sin3sin+3cos6sin（+30），因为0120，所以30+30150所以当+3090，即60时，PM+PN取到最大值6答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米【点评】本题考查解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角
27、形21（12分）已知圆C：（x4）2+（y1）24，直线l：2mx（3m+1）y+20（1）求直线l所过定点A的坐标；（2）求直线l被圆C所截得的弦长最短时，最短弦长；（3）已知点M（4，5），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标【分析】（1）直线l的方程化为m（2x3y）+（2y）0，令2x3y0且2y0，求得直线l所过的定点；（2）当ACl时所截得弦长最短，由互相垂直时kACkl1列方程求得m的值；（3）设出点P的坐标，根据得出方程|PM|22|PN|2，代入点M、N的坐标化简，再结合题意求得的值【解答】解：
28、（1）依题意得，m（2x3y）+（2y）0，令2x3y0且2y0，得x3，y2直线l过定点A（3，2）；（2）当ACl时，所截得弦长最短，由题知C（4，1），r2；|AC|，则最短弦长为；（3）由题知，直线MC的方程为x4，假设存在定点N（4，t）满足题意，设P（x，y），由，得|PM|22|PN|2（0），且（x4）24（y1）24（y1）2+（y5）2422（y1）2+2（yt）2，整理得，（22t）2+8y+（3+t2）2280上式对任意y1，3恒成立，（22t）2+80且（3+t2）2280，整理得t27t+100，解得t2或t5（舍去，与M重合），24，解得2综上可知，在直线MC上存
29、在定点N（4，2），使得为常数2【点评】本题考查直线与圆的方程应用问题，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题22（10分）已知f（x）+m，m是实常数（1）当m0时，判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x）+f（a）0有解，求a的取值范围【分析】（1）当m0时，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可【解答】解：（1）f（x）为非奇非偶函数当m0时，f（x），f（1），f（1），因为f（1）f（1），所以f（x）不是偶函数；又因为f（1）f（1），所
30、以f（x）不是奇函数，即f（x）为非奇非偶函数（2）因为f（x）是奇函数，所以f（x）f（x）恒成立，即对xR恒成立，化简整理得2m，即m1下用定义法研究f（x）1的单调性；设任意x1，x2R，且x1x2，f（x1）f（x2），所以函数f（x）在R上单调递减，因为f（f（x）+f（a）0有解，且函数为奇函数，所以f（f（x）+f（a）0有解，且函数为奇函数，所以f（f（x）f（a）f（a）有解，又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）a有解，即fmax（x）a有解，又因为函数f（x）的值域为（1，1），所以a1，即a1【点评】本题主要考查函数值域，奇偶性以及函数单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，可以求得结果
