2017-2018学年江苏省南京市高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

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1、二、解答题(本大题共6小题,计90分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写出答题纸的指定区域内)15(14分)已知数列an为等差数列,且a22,a810(1)求数列an的通项公式;(2)已知数列bn为等比数列,其前n项和为Sn,且b1a4,b4a11,Sn510,求n的值16(14分)如图,在ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边,b6,cosB,C(1)求c的值;(2)已知点D在边BC上,DC2,求cosDAC17(14分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AECE,ABAD,矩形的周长为8cm(1)设ABxcm,试用x表示出图中D

2、E的长度,并求出x的取值范围;(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽18(16分)已知函数f(x)ax2+ax2(aR)(1)当a1时,解关于x的不等式f(x)0;(2)解关于x的不等式f(x)3x10,其中aR19(16分)在ABC中(1)已知AD是BAC的平分线,用正弦定理证明:;已知AB2AC,ADAB+BC,求实数,的值;(2)已知E为边BC的中点,BAE,CAE,AE1,求ABC的面积20(16分)已知数列an,其前n项和Sn满足2Sn3(an1),nN(1)求数列an的通项公式;(2)已知bn,求数列bn的前n项和Tn;(3)已

3、知,对任意nN*,都有cn+1cn成立,试确定实数的取值范围2017-2018学年江苏省南京市高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写字答题卡相应位置上)1(5分)不等式(x1)(x2)0的解集是(1,2)【分析】将“不等式(x1)(x2)0”转化为“不等式组 或”,利用一元一次不等式的解法求解【解答】解:依题意,不等式化为 不等式组 或,解得1x2,故答案为:(1,2)【点评】本题主要考查不等式的解法,关键是将不等式转化为特定的不等式去解2(5分)已知数列an为等差数列,公差是2,a35,则a23【分析】利用等差数列的通项公式即

4、可得出【解答】解:由a35a1+22,解得a11则 a21+23故答案为:3【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题3(5分)已知三个实数3,x,12成等比数列,则x6【分析】根据等比数列的性质得到x2312,由此求得x的值【解答】解:三个实数 3,x,12 成等比数列,x231236,x6故答案是:6【点评】本题考查了等比数列通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题4(5分)已知函数f(x)x+(x0),则函数f(x)的最小值是2【分析】方法一,先求导,判断函数的单调性,根据函数的单调性即可求出最小值方法二,利用基本不等式即可求出【解答】解:方法一:f

5、 ( x )x+( x0),f(x)1,令f(x)0,解得x,x(舍去),当f(x)0时,解得x,即函数f(x)单调递增,当f(x)0时,解得0x,即函数f(x)单调递减,f(x)minf()+2,方法二:f(x)x+22,当且仅当x时取等号,故答案为:2【点评】本题考了导数和函数单调性和最值的关系,考查了运算能力,属于中档题5(5分)在ABC中,a,b分别是A,B所对的边,A,B,b8,则a的值为4【分析】运用三角形的正弦定理可得a,代入计算可得所求值【解答】解:A,B,b8,由正弦定理可得a4,故答案为:4【点评】本题考查三角形的正弦定理的运用,考查运算能力,属于基础题6(5分)已知数列a

6、n为等差数列,其前n项和为Sn,若a58,a924,则S13208【分析】设等差数列an的公差为d,由a58,a924,利用通项公式可得a1+4d8,a1+8d24,联立解得:a1,d,再利用求和公式即可得出【解答】解:设等差数列an的公差为d,a58,a924,a1+4d8,a1+8d24,联立解得:a18,d4,则S1313(8)+208故答案为:208【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7(5分)已知m,n均为正实数,且m+2n1,则mn的最大值为【分析】由条件结合基本不等式可得m2n()2,计算可得所求最大值【解答】解:m,n 均为正实数

7、,且m+2n1,可得m2n()2,即mn,当且仅当m2n,mn取得最大值,故答案为:【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查运算能力,属于基础题8(5分)若锐角ABC的面积为,且AB5,AC8,则BC等于7【分析】利用三角形的面积公式求出A,再利用余弦定理求出BC【解答】解:因为锐角ABC的面积为,且AB5,AC8,所以,所以sinA,所以A60,所以cosA,所以BC7故答案为:7【点评】本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理的运用,比较基础9(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且S8,S7,S9成等差数列,则公比q为2【分析】当q1时,27a18a1+9a1,解得a1+,由此能

8、求出q的值【解答】解:等比数列an 的前 n 项和为 Sn,且 S8,S7,S9 成等差数列,2S7S8+S9,当q1时,27a18a1+9a1,解得a10,不成立;当q1时,2S7S8+S9,即+,q7(q2+q2)0,解得q2或q1(舍),q2故答案为:2【点评】本题考查数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用10(5分)在ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,且,则C15或105【分析】根据余弦定理表示出cosA,把已知的等式代入化简后得到cosA的值,由A的范围,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,进而求出sinA的值,又b比a的值,利用正

9、弦定理得到sinB与sinA的比值,进而求出sinB的值,由B的范围,利用特殊角的三角函数值求出B的度数,再根据三角形的内角和定理求出C的度数【解答】解:因为,所以根据余弦定理得:cosA,由A(0,180),得到A30,则sinA,又,根据正弦定理得:,即sinBsinA,由B(0,180),得到B45或135,则C15或105故答案为:15或105【点评】此题的突破点是利用余弦定理表示出cosA,把已知的等式代入求出cosA的值本题的答案有两解,产生两解的原因是在(0,180)范围内正弦值对应两个角,学生做题时容易遗漏解11(5分)已知f(n)+,若f(n)10,则正整数n的最大值为119

10、【分析】由,利用累加求和、裂项求和方法即可得出【解答】解:,f(n)+1,由f(n)10,110,解得n120则正整数n的最大值为119故答案为:119【点评】本题考查了数列的通项公式与求和、裂项求和方法、累加求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)关于 x 的不等式 2kx2+kx0 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是(3,0【分析】根据题意,讨论k0与k0时,不等式解集为空集的k满足的条件,从而得出k的取值范围【解答】解:根据题意,得;当k0时,不等式化为0,其解集为空集,满足题意;当k0时,应满足,即,解得,即3k0;综上,k的取值范围是(3,0故答案为:(3,0【

11、点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题,解题时应结合二次函数的图象与性质进行讨论,是基础题13(5分)若x,y(0,+),x+y+xy4,则的取值范围是(,【分析】由基本不等式可得x+y+xy2+xy,可得()2+40,可得0xy2,即有1xy+13,化简所求式子,运用对勾函数的单调性,可得所求范围【解答】解:x,y(0,+),x+y+xy4,可得x+y+xy2+xy,可得()2+40,2,可得0xy2,即有1xy+13,则,可令txy+1,由(xy+1)+t+在(1,3递减,可得(xy+1)+,17),则的取值范围是(,故答案为:(,【点评】本题考查基本不等式的运用:求取值范围,注意运用变形

12、和对勾函数的单调性,考查运算能力,属于中档题14(5分)对于数列an,定义bn(k)an+an+k,其中n,kN*若a11,a322a330,且对任意n,kN*,都有bn+1(k)bn(k),则实数的取值范围为或【分析】由题意可得an+an+1,an+an+2,an+an+3成等比数列,故an为等比数列,求得a33,设q(q为an的公比),可得q23,即可得到所求范围【解答】解:对任意n,kN*,都有bn+1(k)bn(k),可得任意n,kN*,an+an+k均为等比数列,即an+an+1,an+an+2,an+an+3成等比数列,故an为等比数列,又a322a330,解得a33或a31又a1

13、10,故a33,设q(q为an的公比),可得q23,即q或q,即或故答案为:或【点评】本题考查实数的范围,注意运用等比数列的定义和通项公式,以及不等式的解法,考查运算能力,属于中档题二、解答题(本大题共6小题,计90分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写出答题纸的指定区域内)15(14分)已知数列an为等差数列,且a22,a810(1)求数列an的通项公式;(2)已知数列bn为等比数列,其前n项和为Sn,且b1a4,b4a11,Sn510,求n的值【分析】(1)设等差数列an的公差为d,由a22,a810可得a1+d2,a1+7d10,联立解得a1,d,即可得出(2)设等

14、比数列bn的公比为q,且b1a42,b4a112116162q3,解得q利用求和公式即可得出【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,a22,a810a1+d2,a1+7d10,联立解得a14,d2,an4+2(n1)2n6(2)设等比数列bn的公比为q,且b1a42,b4a112116162q3,解得q2Sn510,解得n8【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16(14分)如图,在ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边,b6,cosB,C(1)求c的值;(2)已知点D在边BC上,DC2,求cosDAC【分析】(1)运用三角形的

15、正弦定理和同角的平方关系,即可得到所求值;(2)运用余弦定理求得AD,再由余弦定理可得所求值【解答】解:(1)b6,cos B,C,可得sinB,解得c5;(2)在ADC中,可得AD2AC2+DC22ACDCcosC36+426228,即有AD2,则cosDAC【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题17(14分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AECE,ABAD,矩形的周长为8cm(1)设ABxcm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围;(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使ADE的面积最大,

16、那么应怎样设计队徽的长和宽【分析】(1)由题意可得AD4x,求得2x4,再由直角三角形ADE中运用勾股定理,化简可得DE的函数式;(2)运用三角形的面积公式,化简整理再由基本不等式即可得到所求最大值,以及矩形的长和宽【解答】解:(1)由题意可得AD4x,且x4x0,可得2x4,由CEAExDE,在直角三角形ADE中,可得AE2AD2+DE2,即(xDE)2(4x)2+DE2,化简可得DE4(2x4);(2)SADEADDE(4x)(4)2(6x)2(62)128,当且仅当x2,4x42,即有队徽的长和宽分别为2,42,可得ADE的面积取得最大值【点评】本题考查函数在实际问题中的运用,考查基本不

17、等式的运用:求最值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题18(16分)已知函数f(x)ax2+ax2(aR)(1)当a1时,解关于x的不等式f(x)0;(2)解关于x的不等式f(x)3x10,其中aR【分析】(1)中把a1代入解不等式即可,(2)中需将a进行分区间讨论,分别解出【解答】解:(1)当a1时,f(x)x2+x2,解x2+x20得x2或x1故不等式 f ( x)0的解集为x|x2或x1(2)f ( x)3x10,ax2+ax23x10,ax2+(a3)x30,即(x+1)(ax3)0,当a0时,解得x1,当a0时,解得x1或x,当a0时,不等式(x+1)(ax3)0,即为(x+1

18、)(x)0,当a3时,解得x1,当3a0时,解得x1,当a3时,解得1x,故当a0时,解集为x|x1或x,当a0时,解集为x|x1,当3a0,解集为x|x1当a3时,解集为x|x1,当a3时,解集为x|1x【点评】本题考查不等式的解法和含参二次不等式的解法,解题的关键是转化和对参数的范围进行分类讨论,分类解不等式,解答此类题时要严谨,避免考虑不完善出错19(16分)在ABC中(1)已知AD是BAC的平分线,用正弦定理证明:;已知AB2AC,ADAB+BC,求实数,的值;(2)已知E为边BC的中点,BAE,CAE,AE1,求ABC的面积【分析】(1)分别在ABD和ACD中运用正弦定理,结合诱导公

19、式,即可得证;运用平面向量基本定理,以及向量的加减运算,即可得到所求值;(2)在ABE和ACE中,运用正弦定理可得,再由由SABCSABE+SAEC,化简计算可得所求值【解答】解:(1)证明:在ABD中,可得,同样在ACD中,可得,由sinADCsin(180ADB)sinADB,且sinBADsinCAD,两式相除可得;AB2AC,ADAB+BC,由可得2,+,而+()+,可得,则1,;(2)E为边BC的中点,即BECE,BAE,CAE,AE1,在ABE中,可得,即为,在ACE中,可得,即为,两式相除可得,即有,由SABCSABE+SAEC,可得ABACsinABAEsin+ACAEsin,

20、化为(+)ABAC2AB+2AC,解得AC22,AB,则SABC(22)()1【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用,考查等积法和向量法的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题20(16分)已知数列an,其前n项和Sn满足2Sn3(an1),nN(1)求数列an的通项公式;(2)已知bn,求数列bn的前n项和Tn;(3)已知,对任意nN*,都有cn+1cn成立,试确定实数的取值范围【分析】(1)Sn(an1),a1S1,解得a13,anSnSn1,n2,从而,进而数列an是首项为3,公比为3的等比数列,由此能求出an(2)由bn,利用错位相减法能求出数列bn的前n项和Tn(3)由4

21、n1+(1)n13n,得(1)n1恒成立由此能求出实数的取值范围【解答】解:(1)数列an,其前n项和Sn满足2Sn3(an1),nNSn(an1),nNa1S1,解得a13,anSnSn1,n2,数列an是首项为3,公比为3的等比数列,an3n(2)bn,数列bn的前n项和:Tn1,1,得:+nn,Tn(3)4n1+(1)n13n,对任意nN*,都有cn+1cn成立,4n+(1)n3n+14n1+(1)n13n,即有(1)n1恒成立当n为奇数时,由递增,可得n1时,取得最小值,即有;当n为偶数时,由递增,可得n2时,取得最小值,即有,解得;故实数的取值范围是(,)【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查实数的取值范围的求法,考查等差数列和等比数列的通项公式的运用、数列的单调性问题的解法等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类讨论与整合思想、函数与方程思想,是中档题

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