1、2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）圆x2+y22x0的圆心坐标和半径分别为（）A（1，0），1B（0，1），1C（1，0），1D（1，0），22（4分）已知sin（），则sin2（）ABCD3（4分）已知Sn为等比数列an的前n项和，且，则S8（）A510B510C1022D10224（4分）若实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）A2B3CD145（4分）若a，bR，且ab0，则下列不等式成立的是（）A2ab1B（a1）3（b1）3CDa+|b
2、|06（4分）直线ax+4y20与直线2x5y+b0垂直，垂足为（1，c），则a+b+c（）A2B4C6D87（4分）在ABC中，若，则（）ABCD28（4分）设x表示不超过x的最大整数，如3.144，3.143已知数列an满足：a11，an+1an+n+1，则（）A1B2C3D49（4分）设，则a，b，c的大小顺序为（）AabcBbacCcbaDbca10（4分）已知等差数列an中，则a3+a4的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知直线l1：ax2y10，直线l2：，则l1过定点 ；当a 时，l1与l2平行12（6分）若直
3、线l：被圆O：x2+y24截得的弦长为2，则圆心O到直线l的距离是 ；m 13（6分）在ABC中，若sinA：sinB：sinC2：3：4，则cosC ；当BC1时，则ABC的面积等于 14（6分）已知数列an成等差数列，且a1+a2+a3+a4+a5，则a3 ；若函数f（x）sin2x+2cos2，记ynf（an），则数列yn的前5项和y1+y2+y3+y4+y5 15（4分）已知点A（2a，1），B（2，3a）在直线x+2ay10的两侧，则实数a的取值范围是 16（4分）已知实数x，y，a，b满足：a2+b21，则ax+by的最大值为 17（4分）设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，
4、B，C已知a2+4b2c2，则tanB的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（14分）已知函数（）求函数f（x）的最大值、最小值以及相应的x的值；（）解关于x的方程f（x）19（15分）已知ABC三边是连续的三个自然数（）求最小边的取值范围；（）是否存在这样的ABC，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由20（15分）已知圆O1：x2+y2+2x+8y80，圆O2：x2+y24x4y20（）试判断圆O1与圆O2的位置关系；（）在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A，使得对于圆O2上任意一点P都
5、有为同一常数21（15分）已知函数f（x）（m+1）x2mx+m1（mR）（）当m2时，解不等式f（x）m；（）若不等式f（x）x2x+1的解集为D，若1，1D，求m的取值范围22（15分）已知数列an满足a1，anan+1+2an3an+10，nN*（）求证：是等比数列，并写出an的通项公式；（）设an的前n项和为Sn，求证：2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）圆x2+y22x0的圆心坐标和半径分别为（）A（1，0），1B（0，1），1C
6、（1，0），1D（1，0），2【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径【解答】解：圆x2+y22x0 即 （x1）2+y21，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，故选：A【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题2（4分）已知sin（），则sin2（）ABCD【分析】由已知利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值可求sincos，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2的值【解答】解：sin（），（sincos），解得：sincos，两边平方可得：1sin2，sin2故选：A【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，二倍角的正弦函数公式在三角函
7、数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题3（4分）已知Sn为等比数列an的前n项和，且，则S8（）A510B510C1022D1022【分析】求出a12A，a2S2S1（22A）（2A）A，a3S3S2（2A22）（22A）2A，由a1，a2，a3是等比数列，求出A4，从而a12，q2，由此能求出S8【解答】解：Sn为等比数列an的前n项和，且，a12A，a2S2S1（22A）（2A）A，a3S3S2（2A22）（22A）2A，a1，a2，a3是等比数列，A2（2A）（2A），解得A4或A0（舍），a12，a24，q，S8510故选：B【点评】本题考查等比数列的前8项和的求法，考查等比数
8、列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（4分）若实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）A2B3CD14【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由实数x，y满足不等式组作出可行域如图，令zx+2y，化为y+，由图可知，当直线y+过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值由解得B（4，5），x+2y的最大值为14故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5（4分）若a，bR，且ab0，则下列不等式成立的是（）A2ab1B（a1）3（b1）3
9、CDa+|b|0【分析】根据不等式的性质即可判断【解答】解：ab0，ab0，a1b1，02ab1，（a1）3（b1）3，a+|b|0，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题6（4分）直线ax+4y20与直线2x5y+b0垂直，垂足为（1，c），则a+b+c（）A2B4C6D8【分析】由题意可得：1，a+4c20，25c+b0，联立解出即可得出【解答】解：由题意可得：1，a+4c20，25c+b0，解得a10，c2，b12a+b+c4故选：B【点评】本题考查了直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）在ABC中，若，则（）ABCD2【分析】由A的度数求出si
10、nA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值【解答】解：由A60，a3，根据正弦定理得：2，可得：a2sinA，b2sinB，c2sinC，则 2故选：D【点评】此题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，以及比例的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题8（4分）设x表示不超过x的最大整数，如3.144，3.143已知数列an满足：a11，an+1an+n+1，则（）A1B2C3D4【分析】根据an+1an+n+1，求解通项an，在求解Sn，结合新定义，即可求解【解答】解：由a11，an+1an+n+1，可得an+1
11、ann+1，那么：anan1n，an1an2n1，a2a12，累加可得：ana12+3+4+n，an那么：故得解Sn2，1221故选：A【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用累加法和裂项法是解决本题的关键理解新定义属于中档题9（4分）设，则a，b，c的大小顺序为（）AabcBbacCcbaDbca【分析】把a，b，c都化为以2为底数的对数值进行比较【解答】解：log2，bac故选：B【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数的性质，是基础题10（4分）已知等差数列an中，则a3+a4的取值范围是（）ABCD【分析】设等差数列an的公差为d，由已知可令，于是d，把a3+a4转
12、化为关于的三角函数求解【解答】解：设等差数列an的公差为d，可令，于是d，a3+a41sin（+）1a3+a4故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，训练了三角函数的化简求值，是中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知直线l1：ax2y10，直线l2：，则l1过定点；当a时，l1与l2平行【分析】令直线方程中参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过的定点坐标利用两直线平行的条件，求得a的值【解答】解：对于直线l1：ax2y10，令x0，求得y，可得直线l1过定点（0，）又直线l2：，当满足，即a2时，l1与l2平行故答案为：（0，）；
13、2【点评】本题主要考查直线经过定点问题，两直线平行的条件，属于基础题12（6分）若直线l：被圆O：x2+y24截得的弦长为2，则圆心O到直线l的距离是；m【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是1，则弦心距是，用点到直线的距离可以求解m【解答】解：圆x2+y24的圆心为（0，0），半径为2，直线l被圆O：x2+y24截得弦长为2，圆心到直线的距离d，圆心到直线的距离d，故答案为：，【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力13（6分）在ABC中，若sinA：sinB：sinC2：3：4，则cosC；当BC1时，则ABC的面积等于【分析】由正弦定理
14、得a：b：c2：3：4，设a2k，则b3k，c4k，利用余弦定理能求出cosC；当BC1时，AC1.5，ABC的面积S，由此能求出结果【解答】解：在ABC中，若sinA：sinB：sinC2：3：4，a：b：c2：3：4，设a2k，则b3k，c4k，cosC，当BC1时，AC1.5，ABC的面积S故答案为：，【点评】本题考查角余弦值的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题14（6分）已知数列an成等差数列，且a1+a2+a3+a4+a5，则a3；若函数f（x）sin2x+2cos2，记ynf（a
15、n），则数列yn的前5项和y1+y2+y3+y4+y55【分析】由已知结合等差数列的性质可得a3；利用倍角公式降幂化积f（x），再由诱导公式可得f（a1）+f（a5）f（a2）+f（a4）2，又f（a3）1，则答案可求【解答】解：在等差数列an中，由a1+a2+a3+a4+a5，得，即；a1+a5a2+a42a3，由f（x）sin2x+2cos2sin2x+cosx+1，得f（a1）+f（a5）sin2a1+cosa1+1+sin2a5+cosa5+12，同理f（a2）+f（a4）2，又f（a3）1y1+y2+y3+y4+y55故答案为：；5【点评】本题考查等差数列的性质，考查三角函数的化简求
16、值，是中档题15（4分）已知点A（2a，1），B（2，3a）在直线x+2ay10的两侧，则实数a的取值范围是【分析】根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式组进行求解即可【解答】解：若点A（2a，1），B（2，3a）在直线x+2ay10的两侧，则（2a+2a1）（2+2a（3a）1）0，即（4a1）（2a2+6a+1）0，得（4a1）（2a26a1）0，即或，得或，得a或a，即实数a的取值范围是，故答案为：【点评】本题主要考查点与直线位置关系的应用，根据条件转化为二元一次不等式是解决本题的关键16（4分）已知实数x，y，a，b满足：a2+b21，则ax+by的最大值为【分析】画出不等式组表示
17、的平面区域，得出x2+y25；利用柯西不等式（ax+by）2（a2+b2）（x2+y2），求得ax+by的最大值【解答】解：实数x，y，a，b满足：a2+b21，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；区域内的点到原点O的距离的平方的最大值为点B，由，解得B（2，1），x2+y222+125；由柯西不等式得（ax+by）2（a2+b2）（x2+y2）155，ax+by，即ax+by的最大值为故答案为：【点评】本题考查了线性规划与柯西不等式的应用问题，是中档题17（4分）设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C已知a2+4b2c2，则tanB的最大值为【分析】根据诱导公式以及两角和的正切公
18、式和基本不等式即可求出【解答】解：已知a2+4b2c2，可得C是钝角；那么，即tanCtanAtanBtan（A+C）tanA0，当且仅当tanA时等号成立，那么tanB故答案为：【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简和基本不等式，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（14分）已知函数（）求函数f（x）的最大值、最小值以及相应的x的值；（）解关于x的方程f（x）【分析】（）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出相位的范围，然后求函数f（x）的最大值、最小值以及相应的x的值；（ II）方程通过三角函数的终边
19、相同的角的表示求解三角函数的解【解答】解：（）因为，所以，当x0时，fmin（x）f（0）1，当时，（ II），得，所以，（舍去）方程的解集为【点评】本题考查三角函数的化简求值，终边相同角的表示，三角方程的解法，考查计算能力19（15分）已知ABC三边是连续的三个自然数（）求最小边的取值范围；（）是否存在这样的ABC，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由【分析】（）直接利用三角形的三边关系式求出结果（）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果【解答】解：（）设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且am1，bm，cm+1，mN，由题意，m1+mm+1所
20、以m2，所以最小边的取值范围是m|m2，mN（ II）由题意，三个角中最大角为C，最小角为A由正弦定理得，得又解得m5，m0（舍去）所以三角形的三边分别为4，5，6所以存在唯一ABC三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍另解：am1，bm，cm+1，mN，三个角中最大角为C，最小角为A则C2A，cosC2cos2A1由余弦定理得，代入上式化简得2m37m217m+100，（2m1）（m+2）（m5）0，解得m5，所以三角形的三边分别为4，5，6所以存在唯一ABC三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍【点评】本题考查的知识要点：三角形的三边关系式，余弦定理和正弦定理的应用及一元二次方
21、程的解法的应用20（15分）已知圆O1：x2+y2+2x+8y80，圆O2：x2+y24x4y20（）试判断圆O1与圆O2的位置关系；（）在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A，使得对于圆O2上任意一点P都有为同一常数【分析】（）法一：求出圆心距，两圆的半径之差，两圆的半径之和 ，由，得到两圆相交法二：联立，得到两组解，从而两圆相交（）由题意得：O1O2的方程为y2x2，设A（a，2a2），P（x，y），由题意得，由此能求出点的坐标【解答】解：（）解法一：由，得：，由，得：，圆心距两圆的半径之差，两圆的半径之和 因为，所以两圆相交（7分）解法二：联立，解得，所以两圆相交（7分）（）由题意得
22、：O1O2的方程为y2x2，设A（a，2a2），P（x，y），由题意得，（9分）化简得：，（11分）由题意上式与圆O2的方程为同一方程.，（13分）解得a1，1，此时，A，O1重合，舍去.，所求的点的坐标为（15分）【点评】本题考查两圆的位置关系的判断，考查点的坐标的求法，考查圆、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（15分）已知函数f（x）（m+1）x2mx+m1（mR）（）当m2时，解不等式f（x）m；（）若不等式f（x）x2x+1的解集为D，若1，1D，求m的取值范围【分析】（）当m2时，f（x）m；即（m+1）x2mx+m1m，因式分解
23、，对m进行讨论，可得解集；（）不等式f（x）x2x+1的解集为D，转化为x1，1分离参数，基本不等式的性质恒求解m的取值范围，【解答】解：（）当m2时，f（x）m；即（m+1）x2mx+m1m可得：（m+1）x+1（x1）0m2当m+10时，即m1，不等式的解集为x|x1当2m1时，（x+）（x1）0，不等式的解集为x|x1当m1时，（x+）（x1）0，不等式的解集为x|x1或x（2）不等式f（x）x2x+1的解集为D1，1D，对任意x1，1，不等式（m+1）x2mx+m1x2x+1恒成立即m（x2x+1）2xx1，1时，（x2x+1）0恒成立可得：m设t2x，1t3则x2t可得：，当且仅当t
24、是取等号，当且仅当x2是取等号故得m的取值范围，+）【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法和讨论思想的应用，同时考查了分析求解的能力和计算能力，恒成立问题的转化，属于中档题22（15分）已知数列an满足a1，anan+1+2an3an+10，nN*（）求证：是等比数列，并写出an的通项公式；（）设an的前n项和为Sn，求证：【分析】（ I）显然an0，由anan+13an+1+2an0两边同除以an+1an得；，变形为1，即可证明结论，再利用等比数列的通项公式即可得出（ II）由（ I）可得：an，利用求和公式即可证明左边不等式成立另一方面：an，再利用求和公式即可证明右边不等式成立【解答】证明：（ I）显然an0，由anan+13an+1+2an0两边同除以an+1an得；，即1，又因为，是等比数列，因此，+1，（ II）由（ I）可得an，Sn另一方面：an，Sn+，n3，又S1，S2，因此，Sn【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题
