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2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)圆x2+y22x0的圆心坐标和半径分别为()A(1,0),1B(0,1),1C(1,0),1D(1,0),22(4分)已知sin(),则sin2()ABCD3(4分)已知Sn为等比数列an的前n项和,且,则S8()A510B510C1022D10224(4分)若实数x,y满足不等式组,则x+2y的最大值为()A2B3CD145(4分)若a,bR,且ab0,则下列不等式成立的是()A2ab1B(a1)3(b1)3CDa+|b

2、|06(4分)直线ax+4y20与直线2x5y+b0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c()A2B4C6D87(4分)在ABC中,若,则()ABCD28(4分)设x表示不超过x的最大整数,如3.144,3.143已知数列an满足:a11,an+1an+n+1,则()A1B2C3D49(4分)设,则a,b,c的大小顺序为()AabcBbacCcbaDbca10(4分)已知等差数列an中,则a3+a4的取值范围是()ABCD二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)已知直线l1:ax2y10,直线l2:,则l1过定点 ;当a 时,l1与l2平行12(6分)若直

3、线l:被圆O:x2+y24截得的弦长为2,则圆心O到直线l的距离是 ;m 13(6分)在ABC中,若sinA:sinB:sinC2:3:4,则cosC ;当BC1时,则ABC的面积等于 14(6分)已知数列an成等差数列,且a1+a2+a3+a4+a5,则a3 ;若函数f(x)sin2x+2cos2,记ynf(an),则数列yn的前5项和y1+y2+y3+y4+y5 15(4分)已知点A(2a,1),B(2,3a)在直线x+2ay10的两侧,则实数a的取值范围是 16(4分)已知实数x,y,a,b满足:a2+b21,则ax+by的最大值为 17(4分)设ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,

4、B,C已知a2+4b2c2,则tanB的最大值为 三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18(14分)已知函数()求函数f(x)的最大值、最小值以及相应的x的值;()解关于x的方程f(x)19(15分)已知ABC三边是连续的三个自然数()求最小边的取值范围;()是否存在这样的ABC,使得其最大内角是最小内角的两倍?若存在,试求出这个三角形的三边;若不存在,请说明理由20(15分)已知圆O1:x2+y2+2x+8y80,圆O2:x2+y24x4y20()试判断圆O1与圆O2的位置关系;()在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A,使得对于圆O2上任意一点P都

5、有为同一常数21(15分)已知函数f(x)(m+1)x2mx+m1(mR)()当m2时,解不等式f(x)m;()若不等式f(x)x2x+1的解集为D,若1,1D,求m的取值范围22(15分)已知数列an满足a1,anan+1+2an3an+10,nN*()求证:是等比数列,并写出an的通项公式;()设an的前n项和为Sn,求证:2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)圆x2+y22x0的圆心坐标和半径分别为()A(1,0),1B(0,1),1C

6、(1,0),1D(1,0),2【分析】把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径【解答】解:圆x2+y22x0 即 (x1)2+y21,表示以(1,0)为圆心、半径等于1的圆,故选:A【点评】本题主要考查圆的标准方程的特征,属于基础题2(4分)已知sin(),则sin2()ABCD【分析】由已知利用两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值可求sincos,两边平方,利用二倍角的正弦函数公式可求sin2的值【解答】解:sin(),(sincos),解得:sincos,两边平方可得:1sin2,sin2故选:A【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值,二倍角的正弦函数公式在三角函

7、数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题3(4分)已知Sn为等比数列an的前n项和,且,则S8()A510B510C1022D1022【分析】求出a12A,a2S2S1(22A)(2A)A,a3S3S2(2A22)(22A)2A,由a1,a2,a3是等比数列,求出A4,从而a12,q2,由此能求出S8【解答】解:Sn为等比数列an的前n项和,且,a12A,a2S2S1(22A)(2A)A,a3S3S2(2A22)(22A)2A,a1,a2,a3是等比数列,A2(2A)(2A),解得A4或A0(舍),a12,a24,q,S8510故选:B【点评】本题考查等比数列的前8项和的求法,考查等比数

8、列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4(4分)若实数x,y满足不等式组,则x+2y的最大值为()A2B3CD14【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解:由实数x,y满足不等式组作出可行域如图,令zx+2y,化为y+,由图可知,当直线y+过B时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值由解得B(4,5),x+2y的最大值为14故选:D【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题5(4分)若a,bR,且ab0,则下列不等式成立的是()A2ab1B(a1)3(b1)3

9、CDa+|b|0【分析】根据不等式的性质即可判断【解答】解:ab0,ab0,a1b1,02ab1,(a1)3(b1)3,a+|b|0,故选:C【点评】本题考查了不等式的性质,属于基础题6(4分)直线ax+4y20与直线2x5y+b0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c()A2B4C6D8【分析】由题意可得:1,a+4c20,25c+b0,联立解出即可得出【解答】解:由题意可得:1,a+4c20,25c+b0,解得a10,c2,b12a+b+c4故选:B【点评】本题考查了直线垂直与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7(4分)在ABC中,若,则()ABCD2【分析】由A的度数求出si

10、nA的值,利用正弦定理表示出比例式,再由a的值及求出的sinA,算出比例式的比值,根据比例的性质即可得到所求式子的值【解答】解:由A60,a3,根据正弦定理得:2,可得:a2sinA,b2sinB,c2sinC,则 2故选:D【点评】此题考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,以及比例的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于基础题8(4分)设x表示不超过x的最大整数,如3.144,3.143已知数列an满足:a11,an+1an+n+1,则()A1B2C3D4【分析】根据an+1an+n+1,求解通项an,在求解Sn,结合新定义,即可求解【解答】解:由a11,an+1an+n+1,可得an+1

11、ann+1,那么:anan1n,an1an2n1,a2a12,累加可得:ana12+3+4+n,an那么:故得解Sn2,1221故选:A【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用累加法和裂项法是解决本题的关键理解新定义属于中档题9(4分)设,则a,b,c的大小顺序为()AabcBbacCcbaDbca【分析】把a,b,c都化为以2为底数的对数值进行比较【解答】解:log2,bac故选:B【点评】本题考查对数值的大小比较,考查对数函数的性质,是基础题10(4分)已知等差数列an中,则a3+a4的取值范围是()ABCD【分析】设等差数列an的公差为d,由已知可令,于是d,把a3+a4转

12、化为关于的三角函数求解【解答】解:设等差数列an的公差为d,可令,于是d,a3+a41sin(+)1a3+a4故选:C【点评】本题考查等差数列的通项公式,训练了三角函数的化简求值,是中档题二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)已知直线l1:ax2y10,直线l2:,则l1过定点;当a时,l1与l2平行【分析】令直线方程中参数的系数等于零,求得x、y的值,可得直线经过的定点坐标利用两直线平行的条件,求得a的值【解答】解:对于直线l1:ax2y10,令x0,求得y,可得直线l1过定点(0,)又直线l2:,当满足,即a2时,l1与l2平行故答案为:(0,);

13、2【点评】本题主要考查直线经过定点问题,两直线平行的条件,属于基础题12(6分)若直线l:被圆O:x2+y24截得的弦长为2,则圆心O到直线l的距离是;m【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理,半径是2,半弦长是1,则弦心距是,用点到直线的距离可以求解m【解答】解:圆x2+y24的圆心为(0,0),半径为2,直线l被圆O:x2+y24截得弦长为2,圆心到直线的距离d,圆心到直线的距离d,故答案为:,【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,弦长的求法,考查计算能力13(6分)在ABC中,若sinA:sinB:sinC2:3:4,则cosC;当BC1时,则ABC的面积等于【分析】由正弦定理

14、得a:b:c2:3:4,设a2k,则b3k,c4k,利用余弦定理能求出cosC;当BC1时,AC1.5,ABC的面积S,由此能求出结果【解答】解:在ABC中,若sinA:sinB:sinC2:3:4,a:b:c2:3:4,设a2k,则b3k,c4k,cosC,当BC1时,AC1.5,ABC的面积S故答案为:,【点评】本题考查角余弦值的求法,考查三角形面积的求法,考查三角函数性质、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是中档题14(6分)已知数列an成等差数列,且a1+a2+a3+a4+a5,则a3;若函数f(x)sin2x+2cos2,记ynf(a

15、n),则数列yn的前5项和y1+y2+y3+y4+y55【分析】由已知结合等差数列的性质可得a3;利用倍角公式降幂化积f(x),再由诱导公式可得f(a1)+f(a5)f(a2)+f(a4)2,又f(a3)1,则答案可求【解答】解:在等差数列an中,由a1+a2+a3+a4+a5,得,即;a1+a5a2+a42a3,由f(x)sin2x+2cos2sin2x+cosx+1,得f(a1)+f(a5)sin2a1+cosa1+1+sin2a5+cosa5+12,同理f(a2)+f(a4)2,又f(a3)1y1+y2+y3+y4+y55故答案为:;5【点评】本题考查等差数列的性质,考查三角函数的化简求

16、值,是中档题15(4分)已知点A(2a,1),B(2,3a)在直线x+2ay10的两侧,则实数a的取值范围是【分析】根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式组进行求解即可【解答】解:若点A(2a,1),B(2,3a)在直线x+2ay10的两侧,则(2a+2a1)(2+2a(3a)1)0,即(4a1)(2a2+6a+1)0,得(4a1)(2a26a1)0,即或,得或,得a或a,即实数a的取值范围是,故答案为:【点评】本题主要考查点与直线位置关系的应用,根据条件转化为二元一次不等式是解决本题的关键16(4分)已知实数x,y,a,b满足:a2+b21,则ax+by的最大值为【分析】画出不等式组表示

17、的平面区域,得出x2+y25;利用柯西不等式(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2),求得ax+by的最大值【解答】解:实数x,y,a,b满足:a2+b21,画出不等式组表示的平面区域,如图所示;区域内的点到原点O的距离的平方的最大值为点B,由,解得B(2,1),x2+y222+125;由柯西不等式得(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)155,ax+by,即ax+by的最大值为故答案为:【点评】本题考查了线性规划与柯西不等式的应用问题,是中档题17(4分)设ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C已知a2+4b2c2,则tanB的最大值为【分析】根据诱导公式以及两角和的正切公

18、式和基本不等式即可求出【解答】解:已知a2+4b2c2,可得C是钝角;那么,即tanCtanAtanBtan(A+C)tanA0,当且仅当tanA时等号成立,那么tanB故答案为:【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简和基本不等式,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18(14分)已知函数()求函数f(x)的最大值、最小值以及相应的x的值;()解关于x的方程f(x)【分析】()利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,求出相位的范围,然后求函数f(x)的最大值、最小值以及相应的x的值;( II)方程通过三角函数的终边

19、相同的角的表示求解三角函数的解【解答】解:()因为,所以,当x0时,fmin(x)f(0)1,当时,( II),得,所以,(舍去)方程的解集为【点评】本题考查三角函数的化简求值,终边相同角的表示,三角方程的解法,考查计算能力19(15分)已知ABC三边是连续的三个自然数()求最小边的取值范围;()是否存在这样的ABC,使得其最大内角是最小内角的两倍?若存在,试求出这个三角形的三边;若不存在,请说明理由【分析】()直接利用三角形的三边关系式求出结果()直接利用正弦定理和余弦定理求出结果【解答】解:()设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且am1,bm,cm+1,mN,由题意,m1+mm+1所

20、以m2,所以最小边的取值范围是m|m2,mN( II)由题意,三个角中最大角为C,最小角为A由正弦定理得,得又解得m5,m0(舍去)所以三角形的三边分别为4,5,6所以存在唯一ABC三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍另解:am1,bm,cm+1,mN,三个角中最大角为C,最小角为A则C2A,cosC2cos2A1由余弦定理得,代入上式化简得2m37m217m+100,(2m1)(m+2)(m5)0,解得m5,所以三角形的三边分别为4,5,6所以存在唯一ABC三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍【点评】本题考查的知识要点:三角形的三边关系式,余弦定理和正弦定理的应用及一元二次方

21、程的解法的应用20(15分)已知圆O1:x2+y2+2x+8y80,圆O2:x2+y24x4y20()试判断圆O1与圆O2的位置关系;()在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A,使得对于圆O2上任意一点P都有为同一常数【分析】()法一:求出圆心距,两圆的半径之差,两圆的半径之和 ,由,得到两圆相交法二:联立,得到两组解,从而两圆相交()由题意得:O1O2的方程为y2x2,设A(a,2a2),P(x,y),由题意得,由此能求出点的坐标【解答】解:()解法一:由,得:,由,得:,圆心距两圆的半径之差,两圆的半径之和 因为,所以两圆相交(7分)解法二:联立,解得,所以两圆相交(7分)()由题意得

22、:O1O2的方程为y2x2,设A(a,2a2),P(x,y),由题意得,(9分)化简得:,(11分)由题意上式与圆O2的方程为同一方程.,(13分)解得a1,1,此时,A,O1重合,舍去.,所求的点的坐标为(15分)【点评】本题考查两圆的位置关系的判断,考查点的坐标的求法,考查圆、直线方程、两点间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题21(15分)已知函数f(x)(m+1)x2mx+m1(mR)()当m2时,解不等式f(x)m;()若不等式f(x)x2x+1的解集为D,若1,1D,求m的取值范围【分析】()当m2时,f(x)m;即(m+1)x2mx+m1m,因式分解

23、,对m进行讨论,可得解集;()不等式f(x)x2x+1的解集为D,转化为x1,1分离参数,基本不等式的性质恒求解m的取值范围,【解答】解:()当m2时,f(x)m;即(m+1)x2mx+m1m可得:(m+1)x+1(x1)0m2当m+10时,即m1,不等式的解集为x|x1当2m1时,(x+)(x1)0,不等式的解集为x|x1当m1时,(x+)(x1)0,不等式的解集为x|x1或x(2)不等式f(x)x2x+1的解集为D1,1D,对任意x1,1,不等式(m+1)x2mx+m1x2x+1恒成立即m(x2x+1)2xx1,1时,(x2x+1)0恒成立可得:m设t2x,1t3则x2t可得:,当且仅当t

24、是取等号,当且仅当x2是取等号故得m的取值范围,+)【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法和讨论思想的应用,同时考查了分析求解的能力和计算能力,恒成立问题的转化,属于中档题22(15分)已知数列an满足a1,anan+1+2an3an+10,nN*()求证:是等比数列,并写出an的通项公式;()设an的前n项和为Sn,求证:【分析】( I)显然an0,由anan+13an+1+2an0两边同除以an+1an得;,变形为1,即可证明结论,再利用等比数列的通项公式即可得出( II)由( I)可得:an,利用求和公式即可证明左边不等式成立另一方面:an,再利用求和公式即可证明右边不等式成立【解答】证明:( I)显然an0,由anan+13an+1+2an0两边同除以an+1an得;,即1,又因为,是等比数列,因此,+1,( II)由( I)可得an,Sn另一方面:an,Sn+,n3,又S1,S2,因此,Sn【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、放缩法、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题