1、2020年高考理科数学 解三角形题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1的内角，的对边分别为，已知(1)求(2)若，面积为2，求【答案】（1）（2）【解析】由题设及得，故上式两边平方，整理得，解得（舍去），.（2）由得，故又，则由余弦定理及得所以【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 的内角的对边分别为,若,则 .【答案】【解析】.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的
2、对边，若b1，c，C，则SABC_.【答案】【解析】因为cb，所以BC，所以由正弦定理得，即2，即sin B，所以B，所以A.所以SABCbc sin A.【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例1在中，角的对边分别为，且成等差数列(1)若，求的面积(2)若成等比数列，试判断的形状【答案】(1) (2)等边三角形【解析】(1)由A，B，C成等差数列，有2BAC(1)因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC(2)得B，b2a2c22accosB(3)所以 解得或(舍去)所以(2)
3、由a，b，c成等比数列，有b2ac(4)由余弦定理及(3)，可得b2a2c22accosBa2c2ac再由(4)，得a2c2acac，即(ac)20。因此ac从而AC(5)由(2)(3)(5)，得ABC所以ABC为等边三角形【易错点】等差数列，等比数列容易混淆【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了.例2在ABC中，已知，试判断ABC的形状。【答案】等边三角形【解析】，又，所以，所以，即，因而；由得。所以，ABC为等边三角形。【易错点】条件的转化运用【思维点拨】判定三角形
4、形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理题型三与三角形中有关的不等式问题例1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.（1）求;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求ABC的周长.【答案】（1） ；（2）【解析】【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考
5、题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.例2已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,.(1)求A的大小； (2)若a7,求ABC的周长的取值范围【答案】(1) (2)(14,21【解析】(1)由正弦定理得：；(2)由已知：,由余弦定理当且仅当bc7时等号成立,又bc7,7bc14,从而ABC的周长的取值范围是(14,21【易错点】求周长范
6、围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.例3ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)若b=23,求a+c的最大值.【答案】(1)B=（2）43【解析】:(1)2c-a=2bcos A,根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin Bcos A.A+B=-C,sin C=sin(A+B)=sin Bcos A+cos Bsin A,代入式,得2sin
7、Bcos A=2sin Bcos A+2cos Bsin A-sin A,化简得(2cos B-1)sin A=0.A是三角形的内角,sin A0,2cos B-1=0,解得cos B=12,B(0,),B=.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得12=a2+c2-ac.(a+c)2-3ac=12,12(a+c)2-34(a+c)2,当且仅当a=c=23时取等号,a+c43【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A0得到cos
8、B,从而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值.【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.题型四解三角形的实际应用例1在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50，且到A的距离为2，
9、C点的俯角为70，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A. B. C. D.【答案】 D【解析】 因BAC120，AB2，AC3.BC2AB2AC22ABAC cos BAC49223cos 12019.BC.【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题例2设甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析
10、】设甲楼为，乙楼为，如图，在， ，在中，设，由余弦定理得： ，即，解得，则甲、乙两楼的高分别是，【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用1.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知a=2， 2sinA=sinC=时，求b及c的长【答案】b=或2；。【解析】当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由sinC=，及0C得co
11、sC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 或 2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II）若ABC的面积，求角A的大小.【答案】（1）略 （2）或【解析】（I）由正弦定理得故于是，又,故所以或因此（舍去）或所以，（II）由得，故有，因为，得又，所以当时，；当时，综上，或3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长【答案】（I）；（II）【解析】（I）由已知及正弦定理得，故可得，所以(II)由已知，.又，所以.由已知及余弦定理得，.故
12、，从而.所以的周长为题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cos A，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为cacosB(2ab)cos A， C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos AsinBcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin AcosB2sin Acos AsinBcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以A或BA或
13、BA(舍去)，所以ABC为等腰或直角三角形2.在ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则ABC的形状是.【答案】等腰三角形【解析】由已知等式得a=2c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故ABC为等腰三角形.3. ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形【答案】A【解析】依题意，得cos A，sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有
14、cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形，选A.题型三 与三角形有关的不等式问题1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2Bcos B1cos A cos C.(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若b2，求ABC的面积的最大值【答案】（1）略 （2）.【解析】(1)证明：在ABC中，cos Bcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cos A cos C，sin2B(cos A cos Csin A sin C)cos A cos C，化简，得sin2Bsin A sin C. 由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比数列(2)由(1)及题设条
15、件，得ac4.则cos B，当且仅当ac时，等号成立0B，sin B.SABCac sin B4.ABC的面积的最大值为.2在中，内角的对边分别为已知.(1).求角A的大小；(2).若， 的面积为，求的值【答案】(1). (2). 【解析】(1).由已知得，化简得，整理得，即，由于，则，所以(2).因为，所以根据余弦定理得，即，所以3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2Ccos2A2sin(1)求角A的大小；(2)若a，且ba，求2bc的取值范围【答案】（1）A或.（2），2)【解析】(1)由已知得2sin2A2sin2C，化简得sin2A，sin A，又0A，s
16、in A， 故A或.(2)由，得b2sinB，c2sinC，因为ba，所以BA，所以A，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBcos B2sin.因为ba，所以B，所以B，所以2bc的取值范围为，2)题型四 解三角形的实际应用1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是 ()A10海里 B10海里 C20海里 D20海里【答案】A【解析】如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45， 根据正弦定理得，解得BC10(海里)2. 要测量对岸两点之间的距离，选取相距的两点，并测得，求之间的距离.【答案】【解析】如图所示，在中，.在中，.中，由余弦定理，得，所以.，之间的距离为. 3.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于A B C D【答案】C【解析】，11
