1、 解三角形考纲解读 三年高考分析1.正弦 定理 和余 弦定 理：掌 握 正 弦定 理、 余弦 定理 ,并能解 决一 些简 单的 三角形度量 问题 .2.应用能够运 用正 弦定 理、 余弦 定理等 知识 和方 法解决一 些与测 量和 几何 计算 有关 的实际 问题.正余弦定理和三角形面积公式是考查的重点，考查学生的数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力，题型以选择填空题、解答题为主，中等难度.1、以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.2、以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实
2、际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题，中档难度.1 【2018 年新课标 2 理科 06】在ABC 中，cos ，BC 1，AC5，则 AB（ ）A4 B C D2【解答】解：在ABC 中，cos ，cosC2 ，BC1，AC5，则 AB 4 故选：A2 【2018 年新课标 3 理科 09】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则 C（ ）A B C D【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cABC 的面积为 ，S ABC ，sinC cosC，0C ，C 故选：C3 【2
3、019 年全国新课标 2 理科 15】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b6，a2c，B，则 ABC 的面积为 【解答】解：由余弦定理有 b2a 2+c22accosB，b6，a2c，B ， ，c 212， ，故答案为： 4 【2019 年浙江 14】在ABC 中，ABC 90，AB4，BC 3，点 D 在线段 AC 上，若BDC45，则 BD ，cosABD 【解答】解：在直角三角形 ABC 中，AB4，BC 3，AC5，sinC ，在BCD 中，可得 ，可得 BD ；CBD135C，sinCBDsin（135C ） （cosC+sinC ） （ ） ，即有 cosAB
4、Dcos（90 CBD）sin CBD ，故答案为： ， ，5 【2018 年浙江 13】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 a ，b2，A60，则sinB ，c 【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，ca ，b2，A60，由正弦定理得： ，即 ，解得 sinB 由余弦定理得：cos60 ，解得 c3 或 c1（舍） ，sinB ， c3故答案为： ，36 【2017 年浙江 11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术” ，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千
5、多年， “割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6，S 6 【解答】解：如图所示，单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中，AOB 是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF 的面积为S66 11sin60 故答案为： 7 【2017 年浙江 14】已知ABC，ABAC 4，BC 2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD2，连结 CD，则BDC 的面积是 ，cosBDC 【解答】解：如图，取 BC 得中点 E，ABAC4， BC2，BE BC 1，AEBC，AE ，S ABC BCAE 2 ，BD2，S BDC SABC ，BCBD2，BDCBCD，ABE
6、2BDC在 Rt ABE 中，cosABE ，cosABE2cos 2BDC1 ，cosBDC ，故答案为： ，8 【2019 年天津理科 15】在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知b+c 2a，3csin B4asin C（）求 cosB 的值；（）求 sin（2B ）的值【解答】解（）在三角形 ABC 中，由正弦定理 ，得 bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，得 3bsinC4asinC，即 3b4a又因为 b+c2a，得 b ，c ，由余弦定理可得 cosB（）由（）得 sinB ，从而 sin2B2sinBcos B ，cos2Bcos 2Bs
7、in 2B ，故 sin（2B ）sin2Bcos cos2Bsin 9 【2019 年新课标 3 理科 18】ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 asin bsinA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围【解答】解：（1）asin bsinA，即为 asin acos bsinA，可得 sinAcos sinBsinA2sin cos sinA，sinA0，cos 2sin cos ，若 cos 0，可得 B（2k+1），k Z 不成立，sin ，由 0B，可得 B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c1，由余弦定理可得 b ，
8、由三角形 ABC 为锐角三角形，可得 a2+a2a+11 且 1+a2a+1 a 2，解得 a2，可得ABC 面积 S asin a（ ， ） 10 【2019 年新课标 1 理科 17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c设（sin BsinC）2sin 2AsinBsin C（1）求 A；（2）若 a+b2c ，求 sinC【解答】解：（1）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c设（sinBsinC） 2sin 2AsinBsin C则 sin2B+sin2C2sinBsinCsin 2AsinBsin C，由正弦定理得：b 2+c2a 2bc，cosA ，0
9、A，A （2） a+b2c ，A ，由正弦定理得 ，解得 sin（C ） ，C ，C ，sinCsin （ ）sincos cossin 11 【2019 年北京理科 15】在ABC 中，a3，bc2，cosB （）求 b，c 的值；（）求 sin（BC）的值【解答】解：（）a3，bc2，cosB 由余弦定理，得 b2a 2+c22accosB，b7，cb25；（）在ABC 中，cosB ，sinB ，由正弦定理有： ， ，bc，B C，C 为锐角，cosC ，sin（BC）sinBcosCcosBsinC12 【2019 年江苏 15】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（
10、1）若 a3c，b ，cosB ，求 c 的值；（2）若 ，求 sin（B ）的值【解答】解：（1）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，ca3c，b ，cos B ，由余弦定理得：cosB ，解得 c （2） ，由正弦定理得： ，2sinBcosB，sin 2B+cos2B1，sinB ， cosB ，sin（B ）cosB 13 【2018 年江苏 17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形
11、ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解答】解：（1）S 矩形 ABCD（40sin+10）80cos800（4sincos +cos） ，SCDP 80cos（4040sin）1600（cos cossin ） ，当 B、N 重合时， 最小，此时 sin ；当 C、P 重合时， 最大，
12、此时 sin1，sin 的取值范围是 ，1） ；（2）设年总产值为 y，甲种蔬菜单位面积年产值为 4t（t0） ，乙种蔬菜单位面积年产值为 3t，则 y3200t（4sincos+cos）+4800 t（cos cos sin）8000t（sincos +cos） ，其中 sin，1） ；设 f（）sincos+cos ，则 f（）cos 2sin 2sin 2sin 2sin+1 ；令 f（）0，解得 sin ，此时 ，cos ；当 sin， ）时，f（ ）0，f（）单调递增；当 sin（，1）时，f（）0，f（ ）单调递减； 时，f（ ）取得最大值，即总产值 y 最大S 矩形 ABCD80
13、0（4sin cos+cos） ，SCDP 1600（coscossin） ，sin，1） ；答： 时总产值 y 最大14 【2018 年新课标 1 理科 17】在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求 cosADB；（2）若 DC2 ，求 BC【解答】解：（1）ADC90，A45，AB2，BD5由正弦定理得： ，即 ，sinADB ，ABBD ，ADBA，cosADB （2）ADC90，cosBDCsinADB ，DC2 ，BC515 【2018 年北京理科 15】在ABC 中，a7，b8，cosB （）求A；（）求 AC 边上的高【解答】解：（）ab，AB，即
14、 A 是锐角，cosB ，sinB ，由正弦定理得 得 sinA ，则 A （）由余弦定理得 b2a 2+c22accosB，即 6449+c 2+27c ，即 c2+2c15 0，得（c3） （c+5）0，得 c3 或 c5（舍） ，则 AC 边上的高 hc sinA3 16 【2018 年天津理科 15】在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 bsinAacos （B） （）求角 B 的大小；（）设 a2，c3，求 b 和 sin（2AB）的值【解答】解：（）在ABC 中，由正弦定理得 ，得 bsinAasin B，又 bsinAacos（B ） asinBacos
15、（B ） ，即 sinBcos （B ）cos Bcos sinBsin cosB ，tanB ，又 B（0，） ，B （）在ABC 中，a2，c3，B ，由余弦定理得 b ，由 bsinAacos（B ） ，得 sinA ，ac，cosA ，sin2A2sinAcosA ，cos2A2cos 2A1 ，sin（2AB）sin2AcosB cos2 AsinB 17 【2017 年新课标 1 理科 17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC1，a 3，求ABC 的周长【解答】解：（1）由三角形的面积公
16、式可得 SABC acsinB ，3csin BsinA2a，由正弦定理可得 3sinCsinBsinA2sinA，sinA0，sinBsinC ；（2）6cosB cosC1，cosBcos C ，cosBcos CsinBsinC ，cos（B +C） ，cosA ，0A，A ， 2R 2 ，sinBsinC ，bc8，a 2b 2+c22bc cosA，b 2+c2bc 9，（b+c） 29+3cb9+2433，b+c周长 a+b+c3 18 【2017 年新课标 2 理科 17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）8sin 2 （1）求 cosB
17、；（2）若 a+c6，ABC 的面积为 2，求 b【解答】解：（1）sin（A+C）8sin 2 ，sinB4（1cosB） ，sin 2B+cos2B1，16（1cosB） 2+cos2B1，16（1cosB） 2+cos2B10，16（cosB 1 ） 2+（cosB1） （cosB+1）0，（17cosB 15 ） （cos B1） 0，cosB ；（2）由（1）可知 sinB ，S ABC acsinB2，ac ，b 2a 2+c22ac cosBa 2+c22a 2+c215（a+c） 22ac153617154，b219 【2017 年新课标 3 理科 17】ABC 的内角 A，B
18、，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinA cosA 0，a2 ， b2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积【解答】解：（1）sinA cosA0，tanA ，0A，A ，由余弦定理可得 a2b 2+c22bccosA，即 284+c 222c （ ） ，即 c2+2c24 0，解得 c6（舍去）或 c4，故 c4（2）c 2b 2+a22abcosC，1628+422 2cosC，cosC ，CDCD BCS ABC ABACsinBAC 42 2 ，S ABD SABC20 【2017 年上海 18】已知函数 f（x ）cos 2xsin 2x
19、，x（0， ） （1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a ，角 B 所对边 b5，若 f（A）0，求ABC 的面积【解答】解：（1）函数 f（x）cos 2xsin 2xcos2x ，x （0，） ，由 2k 2x 2k ，解得 k xk ，kZ，k1 时，x，可得 f（x）的增区间为 ， ） ；（2）设ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a ，角 B 所对边 b5，若 f（A）0，即有 cos2A 0，解得 2A ，即 A ，由余弦定理可得 a2b 2+c22bccosA，化为 c25c+6 0，解得 c2 或 3，若 c2，则 cosB 0，即有
20、 B 为钝角，c 2 不成立，则 c3，ABC 的面积为 S bcsinA 53 21 【2017 年北京理科 15】在ABC 中，A60，c a（1）求 sinC 的值；（2）若 a7，求ABC 的面积【解答】解：（1）A60，c a，由正弦定理可得 sinC sinA ，（2）a7，则 c3，CA，sin 2C+cos2C1，又由（1）可得 cosC ，sinBsin（A+C ）sinAcosC +cosAsinC ，S ABC acsinB 73 6 22 【2017 年天津理科 15】在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ab，a5，c 6，sinB （）求 b
21、 和 sinA 的值；（）求 sin（2A ）的值【解答】解：（）在ABC 中，ab，故由 sinB ，可得 cosB 由已知及余弦定理，有 13，b 由正弦定理 ，得 sinA b ，sinA ；（）由（）及 ac，得 cosA ，sin2A2sinAcos A ，cos2A12sin 2A 故 sin（2A ） 1 【安徽省黄山市 2019 届高三毕业班第三次质量检测】设 的内角 所对边的长分别是 ，且，则的值为（ ）A B4 C D【答案】C【解析】在ABC 中，A2B， ，b3，c 1，可得 ，整理得 a6cosB，由余弦定理可得：a6 ，a2 ，故选 C.2 【江西省新八校 2019
22、 届高三第二次联考】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积” ，设 ABC的三个内角 ,ABC所对的边分别为 ,abc，面积为 S，则“三斜求积”公式为，若 ，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为（ ）A32B C12D【答案】A【解析】,因为 ，所以 ，从而 ABC的面积为 ，故选 A.3 【安徽省合肥市 2019 届高三第三次教学质量检测】已知 ABC 的内角 ， B， C的对边分别是 a，b， c，若 ， 3b，1cos4B，则 的面积为（ ）A 915B9156C3156D916【答案】B【解析】由 结合正弦定理可得 2abc，则 2ac=.由余弦定理 ，
23、可得 ，解得32c，则 a.又 ，所以 .故选 B.4 【湖北省黄冈市 2019 届高三 2 月联考】如图，在 ABC中， ， AD，则 的面积为（ ）A32B372C 3D 37【答案】B【解析】过点 D分别作 AB和 C的垂线，垂足分别为 ,EF，由 ，得 EF，则 为 的平分线， ，又 ，即 ，解得 2AC;在 B中， ， ， .故选 B.5 【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019 届高三 5 月联合考试】在 ABC中，则 （ ）A 9:78B C 6:87D【答案】B【解析】设所以 ，所以 ，所以 ，得所以故选：B6 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考】在 VAB
24、C中，角 ， B， C的对边分别为 a，b， c,若 ，且 2c ，3sin5C，则 的面积为（ ）A 3B 3C 或13D 6或23【答案】C【解析】因为 ，所以 ，故 ，因此 AB或 2；因为3sin5C，所以 2AB舍去；故 AB；所以 ab；当 2C时，由3sin5得4co，又 c，所以，根据余弦定理 可得 ，解得2109a，因此， ；当 2C时，由3sin5得4cosC，又 2c，所以，根据余弦定理 可得 ，解得 210a，因此， .故选 C7 【山东省栖霞市 2019 届高三高考模拟卷】设锐角三角形 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,abc，若 ，则 b的取值范围为（ ）A (0,
25、4) B (2,3)C 23D 4【答案】C【解析】由锐角三角形 AB的内角 ,C所对的边分别为 ,abc，若 ，02， 3,，04A,由正弦定理得 ，即 4cosbA 则 b 的取值范围为 (2,3),故选 C.8 【河北廊坊 2018-2019 学年高一年级第二学期期中联合调研考试】在 ABC中，角 ， B， C所对的边分别是 a， ， c， 60A， 43a， b，则 B（ ）A 30B或 15B 150C D 6【答案】C【解析】解： 60A， 43a， b由正弦定理得： ab60B3故选 C.9 【辽宁省葫芦岛市普通高中 2019 届高三第二次模拟考试】在 ABC中，角 ,的对边分别
26、为 ,abc，若 ABC为锐角三角形，且满足， ，则等式成立的是（ ）A 2baB 2abC 2D 2【答案】B【解析】依题意得 , ,，即 ，由正弦定理得 2ab，故选 B.10 【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019 届高三第五次测评】 ABC中，角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，若 2， 4c.且 ，则 的面积为（ ）A2 B3 C4 D 32【答案】A【解析】由余弦定理得： ，即解得： 10a本题正确选项： A11 【广东省潮州市 2019 届高三第二次模拟考试】在 ABC 中，角 、 B、 C的对边分别为 a、b、 c， BC边上的高为 2a，则bc的最大值是_【答
27、案】【解析】因为 BC边上的高为 2a，所以 ，即 ，可得，故 2bc的最大值是 2故答案为 12 【云南省陆良县 2019 届高三上学期第一次摸底考试】 ABC外接圆半径为 3，内角 A， B， C对应的边分别为 a， b， c，若 60A， 2b，则 c的值为_【答案】 61【解析】由正弦定理可得：，解得： 3a由余弦定理可得：解得： 16c或 （舍去） 61c本题正确结果：13 【四川省名校联盟 2019 届高考模拟信息卷（一)】三角形 ABC中， ， 2BC，2AC，则三角形 ABC的面积为_.【答案】 3【解析】解法 1：在 ABC中， ， 2BC， 2A.由余弦定理得 ，即 ，解得
28、 AB6.三角形 ABC的面积为 .解法 2：在 中， ， 2C， 2.由正弦定理得 ， ， ，由勾股定理，得.所以，三角形 ABC的面积为 .14 【天津市河东区 2019 届高三二模】如图，已知 ， 2AB， ，2O，则 O_.【答案】 23【解析】设 0m， AOB，在ABO 中，由余弦定理可得： ，整理可得： ， 由平面向量数量积的定义可得： AB2cosm， 由有： ，解得： ，即ABO 为等边三角形， 2m，由题意可得： ，故： OBC.15 【黑龙江省大庆第一中学 2019 届高三第三次模拟】已知 ABC中，角 、 、 的对边分别为abc， ，若 （）求 B；（）若 2 ，求 A
29、C面积的最大值。【答案】 （） 4（） 1【解析】（）由正弦定理可得： sin0C又 (,)B 4.（） 由余弦定理可得 ，又 故42ac，当且仅当 ac时，等号成立.所以 .所以面积最大为 21.16 【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身】已知 VABC中 ，角,ABC的对边分别为 ,abc（1）若 ,c依次成等差数列，且公差为 2，求 c的值；（2）若 V的外接圆面积为 ，求 VABC周长的最大值【答案】 （1） 7c；（2） 3.【解析】（1） ,ab依次成等差数列，且公差为 2 2c， 4，由余弦定理得：整理得： ，解得： 7c或 2又 ，则 4c7c（2）
30、设 B，外接圆的半径为 R，则 2，解得： 1R由正弦定理可得：可得： 2sinb， ， 3cABC的周长又0,3当 2，即： 6时， f取得最大值 2317 【北京市昌平区 2019 年高三年级第二次统一练习】在ABC 中，AC=4， 43BC=， （）求 ABC的大小；（）若 D 为 BC 边上一点， 7AD，求 DC 的长度【答案】 （） 6；（） 3C或 3【解析】（）在 ABC中，由正弦定理得 ，所以 因为 ，所以 ，所以 6ABC（）在 ABC中， 在 D中，由余弦定理 ，得 ，即 ，解得 3DC或 3经检验，都符合题意18 【山东省聊城市 2019 届高三三模】在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，且 .（1）求 A的大小；（2）若 BC的外接圆的半径为 23，面积为 3，求 的周长.【答案】 （1）23；（2） 64.【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得， ，由三角形内角和定理和诱导公式可得，代入上式可得， ，所以 .因为 sin0B，所以 ，即1cos2A.由于 A，所以23.（2）因为 BC的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得，.又 AB的面积为 3，所以 ，即 ，所以 12bc.由余弦定理得 ，则 ，所以 ，即 43bc.
