1、2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一 指数运算与对数运算例1 已知函数则f(f(1)f的值是()A.5 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】由题意可知f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，f+1213，所以f(f(1)f5.【易错点】确定的范围再代入.【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数.例2 定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 019)()A1 B0 C1 D2【答案】D【解析】2 01963373，f(2 019)f(3)log2(13)2.故选D.【易错点】转化过程【思维点拨】x6时可以将函数看作周
2、期函数，得到f(2 019)f(3)，然后再带入3，得出f(3)f(3).题型二 指对幂函数的图象与简单性质例1 函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0【答案】D【解析】由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.【易错点】注意b的符号【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图
3、象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论例2 已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cabC.acb D.cba【答案】B【解析】由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，所以f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数，log0.53log23，log25|log23|0，bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)，故选B.【易错点】对称性的条件转化；利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小.
4、【思维点拨】函数的图象关于对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小. 题型三 二次函数的图象与性质例1 已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_【答案】（，0）【解析】由于f(x)x2mx1mx(x21)，可视f(x)为关于m的一次函数，故根据题意有解得m0.【思维点拨】恒成立问题转化为最值问题.例2 已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值【答案】a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x.当1，即a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0，1内
5、，f(x)在上单调递减，在上单调递增f(x)min.当1，即0a1时，f(x)ax22x的图象的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0，1上单调递减f(x)minf(1)a2.当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0)在区间m，n上的最大或最小值如下：(1)当m，n，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是；若，f(x)的最大值为f(n)；若，f(x)的最大值为f(m)(2)当m，n，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在m，n上是单调函数若m，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n0,排除D；当x趋近于正无
6、穷大时，f(x)趋近于正无穷大,故选B.【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性根据选项代入特殊值判断函数值正负根据极限判断趋近值.题型五 复合函数的简单性质例1 设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_.【答案】(1，0).【解析】由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1，1).由f(x)0，可得01，1x0.【易错点】奇偶性判断【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数.常见奇函数：或；或常见偶函数：（如）、（如）例2 若函数在区间上是增函数，求a的取值范围.【答案】【
7、解析】令，函数为减函数，在区间上递减，且满足，解得，所以，的取值范围为.【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组.题型六 函数性质综合例1 设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1C2 D4【答案】C.【解析】设(x，y)是函数yf(x)图象上任意一点，它关于直线yx的对称点为(y，x)，由yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，可知(y，x)在y2xa的图象上，即x2ya，解得ylog2(x)a，所以f(2)f(4)log22alog24a1，解得a2，选C.【易错点】关于直线
8、对称的函数求法例2 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_【答案】【解析】由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时，0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x41时，a，b，c的大小关系是()A.cab B.cbaC.abc D.ac1时，所以cab.3. 当0x时，4xlo
9、gax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)【答案】B【解析】由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，2，即函数y4x的图象过点.把点代入函数ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.题型三 二次函数的图象与性质1.若时恒成立,求实数a的取值范围.【答案】【解析】分离参数a,可得则当时，令所以f(x)在时单调递增，所以也可利用二次函数性质分类讨论.2.设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实
10、数m的取值范围是()A. B2，)C(，02，) D0,2【答案】D【解析】二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.a0也可利用f(x)ax22axc=a(x22x)c=a(x1)2ac在对称轴左边递减得到.3.已知函数f(x)x22ax5(a1)(1)若f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围【答案】
11、（1）a2；（2）2,3【解析】(1)f(x)(xa)25a2(a1)，f(x)在1，a上是减函数又定义域和值域均为1，a解得a2.(2)f(x)在区间(，2上是减函数，a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，2a3.故实数a的取值范围是2,3题型四 函数图象的综合考查1.函数的图象大致是（ ）【答案】D【解析】 从奇偶性可排除B，且易知当x1时，原函数大于0，排除A，当x0时，对函数求导单调性可排除C.故选D.2.函数f(x
12、)ln的图象是()【答案】B.【解析】自变量x满足，当x0时，可得x1，当x0时，可得1x0，即函数f(x)的定义域是(1,0)(1，)，据此排除选项A、D；函数y单调递增，故函数f(x)ln()在(1,0)，(1，)上单调递增，故选B.3.函数y在2,2的图象大致为()【答案】D.【解析】利用导数研究函数y在0,2上的图象，利用排除法求解f(x)|，x2,2是偶函数，又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B.设g(x)，则g(x)4xex.又g(0)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.题型五 复合函数的简单性质1.已知函数为
13、奇函数则实数的值为 【答案】1.【解析】由奇函数得：,因为,所以2.若函数f(x)loga(x2ax5)(a0，且a1)满足对任意的x1，x2，当x1x2时，f(x2)f(x1)0，则实数a的取值范围为_【答案】(1,2).【解析】 当x1x2时，f(x2)f(x1)0，即函数在区间(，上为减函数，设g(x)x2ax5，则，解得1a2.3.函数的值域为()A(0，) B(1，)C1，) D(，)【答案】B【解析】令2xt，则函数可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1.所求值域为(1，)故选B.题型六 函数性质综合1.设方程的根分别为x1，x2，则()A0x1
14、x21 Bx1x21C1x1x22 Dx1x22【答案】A.【解析】方程的根分别为x1，x2，所以，可得x2，令f(x)，则f(2)f(1)0，所以1x12，所以x1x21，即0x1x21.故选A.2.若函数的值域是4，)，求实数a的取值范围【答案】【解析】当x2时，f(x)x6，f(x)在(，2上为减函数，f(x)4，)当x2时，若a(0,1)，则f(x)3logax在(2，)上为减函数，f(x)(，3loga2)，显然不满足题意，a1，此时f(x)在(2，)上为增函数，f(x)(3loga2，)，由题意可知(3loga2，)4，)，则3loga24，即loga21，1a2.3.已知定义域为R的函数是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围【答案】（1）a2，b1;（2）.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1.从而有.又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k.
